Навигация
Свойства средней арифметической
23227
знаков
16
таблиц
136
изображений
3.3. Свойства средней арифметической
Средняя величина арифметическая обладает рядом свойств, позволяющих ускорить расчет.
Она не изменяется, если веса всех вариантов умножить или разделить на одно и то же число.
Если все значения признака одинаковые, то средняя равна этой же величине.
Средние суммы или разности равны сумме или разности средней:
Если из всех значений Х вычесть постоянную величину С, то средняя уменьшается на это значение.
Если все значения уменьшить в d раз (Х/d), то средняя уменьшится в d раз.
Сумма отклонений значения признака равна 0.
Сумма квадратов отклонений 
3.4. Расчет моды и медианы
Модой (М0) называется чаще всего встречающийся вариант или то значение признака, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой распределения.
В дискретном ряду мода – это вариант с наибольшей частотой. В интервальном вариационном ряду мода приближенно равна центральному варианту так называемого модального интервала.
где хМ0 - нижняя граница модального интервала;
iM0 - величина модального интервала;
fM0 - частота, соответствующего модального интервала;
fM0-1 - частота, предшествующая модальному интервалу;
fM0+1 - частота интервала, следующего за модальным.
Медиана (Ме) – это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на 2 равные части: одна часть значения варьирующая признака меньшие, чем средний вариант, а другая часть – большие. Для ранжированного ряда с нечетным числом членов медианой является варианта, расположенная в центре ряда, а с четным числом членов медианой будет средняя арифметическая из двух смежных вариант.
В интервальном вариационном ряду порядок нахождения медианы следующий: располагаем индивидуальные значения признака по ранжиру; определяем для данного ранжированного ряда накопленные частоты; по данным о накопленных частотах находим медианный интервал.
Медиана делит численность ряда пополам, следовательно, она там, где накопительная частота составляет половину или больше половины всей суммы частот, а предыдущая (накопленная) частота меньше половины численности совокупности.
Если предполагать, что внутри медианного интервала нарастание или убывание изучаемого признака происходит по прямой равномерно, то формула медианы в интервальном ряду распределения будет иметь следующий вид:
где хме - нижняя граница медианного интервала;
ime - величина медианного интервала;
Σf/2 - полусумма частот ряда;
Σfmе-1 - сумма накопительных частот, предшествующих медианному
интервалу;
fmе - частота медианного интервала.
Квартили – это значения признака, которые делят ряд на 4 равные части. Различают нижний квартиль Q1, медиану Ме и верхний квартиль Q3.
где xmin - минимальные границы квартильных интервалов;
i - интервал ряда распределения
ΣfQf-1; ΣfQ3-1 - суммы частот всех интервалов, предшествующих
квартильным;
fQ1; fQ3 - частоты квартильных интервалов
Децили (D) – варианты, которые делят ранжированный ряд на 10 равных частей. Так, первый и второй децили могут быть вычислены по формулам:
где xmin - минимальные границы децильных интервалов;
i - интервал ряда распределения
ΣfОf-1; ΣfО2-1 - суммы частот всех интервалов, предшествующих
децильным;
fD1; fD3 - частоты децильных интервалов
3.5. Понятие вариации признака, показатели вариации, дисперсия альтернативного признака. Упрощенный способ расчета дисперсии. Виды дисперсий в совокупности, разбитой на группы, правило сложения дисперсий
Способность признака принимать различные значения называют вариацией признака. Для измерения вариации признака используют различные обобщающие показатели – абсолютные и относительные.
Размах вариации – это разность максимального и минимального значений признака: R = хmax - хmin.
Среднее линейное отклонение – это средняя из абсолютных значений отклонений признака от своей средней:
Средняя из квадратов отклонений значений признака от своей средней, т.е. дисперсия:
Дисперсия есть разность среднего квадрата и квадрата средней
или
- простая
- взвешенная
Дисперсия
может быть
определена
методом условных
моментов. Момент
распределения
– это средняя
m
отклонений
значений признака
от какой-либо величины А: если А
= 0, то момент
называется
начальным; если
А
= 
,
то моменты –
центральными;
если А
= С,
то моменты –
условными.
В зависимости от показателя степени К, в которую возведены отклонения (х – А)к, моменты называются моментами 1-го, 2-го и т.д. порядков.
Расчет дисперсии методом условных моментов состоит в следующем:
Выбор условного нуля С;
Преобразование фактических значений признака х в упрощенные хґ путем отсчета от условного нуля С и уменьшения в d раз: 
Расчет 1-го условного момента: 
Расчет 2-го условного момента: 
Расчет 1-го порядка начального момента: 
Дисперсии 
Среднее квадратичное отклонение рассчитывается по данным о дисперсии = 2
Относительные величины вариации
Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней 
Относительное линейное отклонение: 
Коэффициент вариации: 
Коэффициент асимметрии: 
Виды дисперсий и правило сложения дисперсий
Общая дисперсия: 
где 
- общая
средняя всей
совокупности
Межгрупповая дисперсия: 
где 
- средняя
по отдельным
группам
Средняя внутри групповых дисперсий 
Общая
дисперсия равна
сумме из межгрупповой
дисперсии и
средней внутригрупповой
дисперсии: 
Дисперсия альтернативного признака.
Она равна произведению доли единиц, обладающих признаком и доли единиц, не обладающих им
Тема 4. Ряды динамики
Похожие работы
... динамики курса доллара и цен на золото. Разнонаправленность движения этих показателей обусловлена историческим ходом конкурентной борьбы, которую вели между собой доллар и золото за право верховенства в рамках мировой валютной системы. Следовательно, факторы, вызывающие снижение курса доллара (прежде всего, ухудшение общеэкономической ситуации в США), в той или иной мере могут стимулировать рост ...
... фондов и не подлежат изъятию на какие-либо цели, прямо не предусмотренные законом; 6) расходование средств из фондов осуществляется по распоряжению Правительства РФ или специально уполномоченного на то органа (правление фонда. Государственными внебюджетными фондами Российской Федерации являются: 1) Пенсионный фонд Российской Федерации; 2) Фонд социального страхования Российской Федерации; ...
... а самых активных. Их зовут лидерами общественного мнения. Нарушения социальных норм могут быть серьёзными и несерьёзными, сознательными и несознательными. Алкоголизм и наркомания – типичный вид девиантного поведения. Алкоголик и наркоман – не только больной человек, но и девиант, он не способен нормально выполнять социальные роли. Самоубийство, т.е. свободное и намеренное прекращение своей жизни, ...
0 комментариев