Доказательство теоремы 1. Докажем теорему индукцией по числу m -порядку матрицы А

4. Доказательство теоремы 1. Докажем теорему индукцией по числу m -порядку матрицы А.

Пусть m=2, т.е.

Если то утверждение теоремы выполняется при Р=Е, где Е - единичная матрица второго порядка. Если , то , т.к. При этом у матрицы

все угловые миноры отличны от нуля.

Пусть утверждение теоремы верно для любых квадратных матриц порядка m-1. Покажем, что оно верно и .для матриц порядка m. Разобьем матрицу А порядка m на блоки

где

Достаточно рассмотреть два случая : и . В первом случае по предположению индукции существует матрица перестановок порядка m-1 такая, что имеет отличные от нуля угловые миноры. Тогда для матрицы перестановок

имеем

причем . Тем самым все угловые миноры матрицы РА отличны от нуля.

Рассмотрим второй случай, когда . Т.к. , найдется хотя бы один отличный от нуля минор порядка m-1 матрицы А, полученный вычеркиванием последнего столбца и какой-либо строки. Пусть, например,

где .

Переставляя в матрице А строки с номерами l и m, получим матрицу , у которой угловой минор порядка m-1 имеет вид

и отличается от (23) только перестановкой строк. Следовательно, этот минор не равен нулю и мы приходим к рассмотренному выше случаю.

Теорема доказана.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ МЕТОДОМ ГАУССА С ВЫБОРОМ ГЛАВНОГО ЭЛЕМЕНТА.

Одновременно с решением системы линейных алгебраических уравнений

можно вычислить определитель матрицы А.

Пусть в процессе исключения найдено распожение

т.е. построены матрицы L и U . Тогда

и, таким образом, произведение диагональных елементов матрицы L (ведущих, главных елементов метода исключения) равно определителю матрицы РА. Поскольку матрицы РА и А отличаются только перестановкой строк, определитель матрицы РА может отличаться от определителей матрицы А только знаком.

А именно,

Таким образом, для вычисления определителя необходимо знать, сколько перестановок было осуществлено в процессе сключения.

Если матрица А выроджена, то при использовании метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу на некотором шаге исключения К все элементы которого столбца, находящиеся ниже главной диагонали и на ней, окажутся равными нулю.При этом дальнейшее исключение становится невозможным и программа должна выдать информацию о том, что определитель матрицы равен нулю.

ОБРАЩЕНИЕ МАТРИЦ.

Нахождение матрицы, обратной матрице А , еквивалентно решению матричного уравнения

(1)

где Е - единичная матрица, X - искомая квадратная матрица.

Уравнение (1) можно записать в виде системы уравнений

(2)

где

Можно заметить, что система (2) распадается на m независимых систем уравнений с одной и той же матрицей А , но с различными правыми частями. Эти системы имеют

вид ( фиксируем j ) :

(3)

где у вектора - столбца равна единице j-та компонента и равны нулю остальные компоненты.

Например, для матрицы второго порядка система (2) распадается на две независимые системы:

Для решения систем (3) используется метод Гаусса ( обычный или с выбором главного элемента).

Рассмотрим применение метода Гаусса без выбора главного элемента. Поскольку все системы (3) имеют одну и ту же матрицу А , достаточно один раз совершить прямой ход метода Гаусса, т.е. получить разложение A=LU и запомнить матрицы L i U .

Обратный ход осуществляется путем решения систем уравнений

с треугольными матрицами L и U.

При осуществлении обратного хода можно сократить число действий, принимая во внимание специальный вид правых частей системы (4).

Запишем подробнее первые j-1 уравнений системы (4):

Учитывая невырожденность матрицы L ( т.е.

отсюда получаем

При этом оставшиеся уравнения системы (4) имеют вид

Отсюда последовательно находятся неизвестные по формулам:

Можно показать, что общее число действий умножения и деления, необходимое для обращения матрицы указанным способом, порядка . Тем самым обращение матрицы требует не намного больше времени, чем решение системы уравнений.

ІТЕРАЦІЙНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ

АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ.

Розглядається система лінійних алгебраїчних рівнянь

(1)

де - квадратна матриця вимірності

- вектор - стовпець правих частин системи;

- вектор - стовпець невідомих.

Ідея найпростіших ітераційних методів розв’язання системи (1) полягає у наступному. За допомогою еквівалентних перетво-рень система (1) зводиться до системи вигляду

(2)

де -квадратна матріця

-відомий вектор.

А потім задається деяке початкове наближення (наприклад, у якості береться вектор , або деякий розв’язок системи (1), який одержується іншим методом з деякою похибкою). Інші наближення послі-довно знаходяться за рекурентною формулою

(3)

доки на деякому кроці не буде досягнута задана точність

обчислення значення невідомого вектору .

Виникає питання, за яких умов на послідовність

збігається (у певному розумінні) до точного розв’язку .

Не зупиняючись на подробицях (дивись спецкурс ‘Додат-кові розділи чисельного аналізу’), дамо деякі достатні умови, за яких

або

або

Швидкість збіжності оцінюється нерівністю

де - відстань між векторами та , що може бути заданою:

коли виконується умова (4);

коли виконується умова (5);

коли виконується умова (6).

Задаючи потрібну точність можна з рівності

одержати необхідну кількість ітерацій , щоб досягти задане .

Наведені умови є достатніми для збіжності методу ітерацій, але аж ніяк не необхідними. Необхідні і достатні умови збіжності методу ітерацій дає наступна теорема, яку сформулюємо без доведення.

ТЕОРЕМА: Нехай система (2) має єдиний розв’язок. Послідовні наближення (3) збігаються до розв’язку системи (2) за довільного початкового наближення тоді та й тільки тоді, коли усі власні значення матриці за модулем менше одиниці.

Повернемось зараз до способів приведення (1) до форми (2). Запишемо (1) у розгорнутій формі

Якщо для усіх , то можна (7) зобразити у вигляді

Звідси два найпростіших ітераційних метода.

Метод Якобі, який задається рекурентним співвідношенням:

Метод Зейделя, де вже знайдені компоненти беруться у правій частині співвідношення з (n+1)-го наближення, а інші- з n-го наближення:

Можна дати матричну форму методів Якобі і Зейделя.

Нехай матрицю А наведено у вигляді:

де -нижня трикутна матриця з нульовою головною діагонал-лю;

D - діагональна матриця з на головній діагоналі;

-верхня трикутна матриця з нульовою головною діагоналлю.

За припущенням існує

Тоді зображенню у формі (8) відповідає

або

Таким чином, методу Якобі відповідає ітераційна процедура

Методу Зейделя відповідає

Використовуючи сформульовані раніш достатні умови збіжності , самостійно переконайтесь, що достатніми умовами збіжності методу Якобі є

або

тобто діагональне переваження матриці А.

Можна довести, що за вказаних умов збігається і метод Зейделя.

Покажемо, що до форми (2), що задовольняє умовам збіжності, може бути зведена довільна система (1) з

Дійсно,візьмемо матрицю де -матриця з достатньо малими за модулем елементами. Множачи (1) зліва на С маємо

тобто одержали форму (2) з

За рахунок вибору достатньо малих можна задовольнити умовам збіжності.

Процес ітерації, що збігається, володіє властивістю стій-кості, тобто окрема похибка у обчисленнях не позначається на кінцевому результаті, тому що хибне наближення можна роз-глядати як новий початковий вектор.

ІТЕРАЦІЙНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ

АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ.

Розглядається система лінійних алгебраїчних рівнянь

(1)

де - квадратна матриця вимірності

- вектор - стовпець правих частин системи;

- вектор - стовпець невідомих.

Ідея найпростіших ітераційних методів розв’язання системи (1) полягає у наступному. За допомогою еквівалентних перетворень система (1) зводиться до системи вигляду

(2)

де -квадратна матріця

-відомий вектор.

А потім задається деяке початкове наближення (наприклад, у якості береться вектор , або деякий розв’язок системи (1), який одержується іншим методом з деякою похибкою). Інші наближення послідовно знаходяться за рекурентною формулою

(3)

доки на деякому кроці не буде досягнута задана точність

обчислення значення невідомого вектору .

Виникає питання, за яких умов на послідовність

збігається (у певному розумінні) до точного розв’язку .

Не зупиняючись на подробицях (дивись спецкурс ‘Додаткові розділи чисельного аналізу’), дамо деякі достатні умови, за яких

або

або

Швидкість збіжності оцінюється нерівністю

де - відстань між векторами та , що може бути заданою:

коли виконується умова (4);

коли виконується умова (5);

коли виконується умова (6).

Задаючи потрібну точність можна з рівності

одержати необхідну кількість ітерацій , щоб досягти задане .

Наведені умови є достатніми для збіжності методу ітерацій, але аж ніяк не необхідними. Необхідні і достатні умови збіжності методу ітерацій дає наступна теорема, яку сформулюємо без доведення.

ТЕОРЕМА: Нехай система (2) має єдиний розв’язок. Послідовні наближення (3) збігаються до розв’язку системи (2) за довільного початкового наближення тоді та й тільки тоді, коли усі власні значення матриці за модулем менше одиниці.

Повернемось зараз до способів приведення (1) до форми (2). Запишемо (1) у розгорнутій формі

Якщо для усіх , то можна (7) зобразити у вигляді

Звідси два найпростіших ітераційних метода.

Метод Якобі, який задається рекурентним співвідношенням:

Метод Зейделя, де вже знайдені компоненти беруться у правій частині співвідношення з (n+1)-го наближення, а інші- з n-го наближення:

Можна дати матричну форму методів Якобі і Зейделя.

Нехай матрицю А наведено у вигляді:

де -нижня трикутна матриця з нульовою головною діагоналлю;

D - діагональна матриця з на головній діагоналі;

-верхня трикутна матриця з нульовою головною діагоналлю.

За припущенням існує

Тоді зображенню у формі (8) відповідає

або

Таким чином, методу Якобі відповідає ітераційна процедура

Методу Зейделя відповідає

Використовуючи сформульовані раніш достатні умови збіжності , самостійно переконайтесь, що достатніми умовами збіжності методу Якобі є

або

тобто діагональне переваження матриці А.

Можна довести, що за вказаних умов збігається і метод Зейделя.

Покажемо, що до форми (2), що задовольняє умовам збіжності, може бути зведена довільна система (1) з

Дійсно,візьмемо матрицю де -матриця з достатньо малими за модулем елементами. Множачи (1) зліва на С маємо

тобто одержали форму (2) з

За рахунок вибору достатньо малих можна задовольнити умовам збіжності.

Процес ітерації, що збігається, володіє властивістю стійкості, тобто окрема похибка у обчисленнях не позначається на кінцевому результаті, тому що хибне наближення можна розглядати як новий початковий вектор.

МЕТОД ПРОГОНКИ.

Система уравнений для определения коэффициентов сплайна представляет собой частный случай систем линейных алгебраических уравнений

с трехдиагональной матрицей , т.е. с матрицей, все элементы которой,не лежащие на главной и двух побочных диагоналях, равны нулю при та

В общем случае системы линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей имеют вид

Для численного решения систем трехдиагональными матрицами применяется метод прогонки, который представляет собой вариант метода последовательного исключения неизвестных.

Т.е. матрицу А можно записать

Идея метода прогонки состоит в следующем. Решение системы (1) ищется в виде

где -неизвестные коэффициенты, которые последовательно находятся от до (прямая прогонка ), а затем последовательно вычисляются (обратная прогонка) .

Выведем формулы для вычисления Из (3) можно получить

Подставляя имеющиеся выражения для в уравнение (1),приходим при к уравнению Последнее уравнение будет выполнено если коэффициенты выбрать такими, чтобы выражения в квадратных скобках обращались в нуль.

А именно, достаточно положить Для отыскания всех достаточно задать

Эти начальные значения находим из требования эквивалентности условия (3) при т.е. условия , первому из уравнений (2).

Таким образом, получаем

(5)

Нахождение коэффициентов по формулам (4), (5) называется прямой прогонкой. После того, как прогоночные коэффициенты найдены, решение системи (1), (2) находится по рекуррентной формуле (3), начиная с Для начала счета по этой формуле требуется знать , которое определяется из уравнений

И равно

.

Нахождение по формулам

(6)

называется обратной прогонкой. Алгоритм решения системы (1), (2) определяемый формулами (4)-(6) называется методом прогонки.

Метод прогонки можно пременять, если знаменатели выражений (4), (6) не обрщаются в нуль.

Покажем, что для возможности применения метод прогонки достаточно потребовать, чтобы коэффициенты системы (1), (2) удовлетворяли условиям

(8)

Сначала докажем по индукции, что при условиях (7), (8) модули прогоночных коэффициентов не превосходят единицы. Согласно (5), (8) имеем . Предположим,что для некоторого и докажем, что

Прежде всего для любых двух комплексных чисел и докажем неравенство

Из неравенства треугольника имеем

Откуда

Вернемся теперь к доказательству , если . Согласно имеем оценку

а, используя (7) , получаем

т.е. знаменатели выражений (4) не обращаются в нуль.

Более того

Следовательно,

Далее, учитывая второе из условий (8) и только что доказанное неравенство , имеем

т.е. не обращается в нуль и знаменатель в выражении для .

К аналогичному выводу можно прийти и в том случае, когда условия (7), (8) заменяются условиями

Таким образом при выполнении условий (7), (8) (так же как и условий (9), (10)) система (1), (2) эквивалентна системе (4)-(6). Поэтому эти условия гарантируют существование и единственность решения системы (1), (2) и возможность нахождения этого решения методом прогонки.

Кроме того, доказанные неравенства , обеспечивают устойчивость счета по рекуррентным формулам (6). Последнее означает, что погрешность,внесенная на каком-либо шаге вычислений, не будет возрастать при переходе к следующим шагам.

Действительно, пусть в формуле (6) при вместо вычислена величина

Тогда на следующем шаге вычислений, т.е. при

вместо

получим величину и погрешность окажется равной

Отсюда получаем, что ,т.е. погрешность не возрастает.

Подсчитаем число арифметических действий, выполняемых при решении задачи (1), (2) методом прогонки.

По формулам (4), что реализуемые с помощью шести арифметических действий, вычисления производятся раз, по формуле (6) выполняется 5 арифметических действий, наконец по формуле (3), требующей всего два действия, вычисления осуществляются раз. Итак в методе прогонки всего затрачивается

арифметических действий, т.е. число действий растет линейно относительно числа неизвестных

При решении же произвольной системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусcа число действий пропорционально кубу числа неизвестных.

ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ МАТРИЦ.

Большое число задач математики и физики требует отыскания собственных значений и собственных векторов матриц, т.е. отыскания таких значений +, для которых существуют нетривиальные решения однородной системы линейных алгебраических уравнений

, (1)

и отыскания этих нетривиальных решений.

Здесь -квадратная матрица порядка m , - неизвестный вектор - столбец.

Из курса алгебры известно, что нетривиальное решение системы (1) существует тогда и только тогда, когда

, (2)

где Е - единичная матрица. Если раскрыть определитель , получается алгебраическое уравнение степени m относительно .Таким образом задача отыскания собственных значений сводится к проблеме раскрытия определителя по степеням и последующему решению алгебраического уравнения m- й степени.

Определитель называется характеристическим (или вековым ) определителем, а уравнение (2) называется характеристическим (или вековым ) уравнением.

Различают полную проблему собственных значений, когда необходимо отыскать все собственные значения матрицы А и соответствующие собственные векторы, и частичную проблему собственных значений, когда необходимо отыскать только некоторые собственные значения, например, максимальное по модулю собственное значение .

Метод Данилевского развертывание векового определителя.

Определение. Квадратная матрица Р порядка m называется подобной матрице А , если она представлена в виде

,

где S - невыродженная квадратная матрица порядка m.

ТЕОРЕМА. Характеристический определитель исходной и подобной матрицы совпадают .

Доказательство.

Идея метода Данилевского состоит в том, что матрица А подобным преобразованиям приводится, к так называемой нормальной форме Фробениуса

.

Характеристическое уравнение для матрицы Р имеет простой вид

т.е. коэффициенты при степенях характеристического полинома непосредственно выражаются через элементы первой строки матрицы Р.

Приведение матрицы А к нормальной форме Фробениуса Р осуществляется последовательно построкам, начиная с последеней строки.

Приведем матрицу А

подобным преобразование к виду

Пусть Можн проверить,что такой вид имеет матрица , которая равна

где

Слудующий шаг - приведение матрицы подобным преобразованием к виду , где и вторая снизу строка имеет единицу в -ом столбце, а все остальные элементы строки равны нулю:

Если то можно проверить, что такой вид имеет матрица :

где

Таким образом

Далее процедура аналогичная, если на кождом шаге в очередной строке, на месте которого подобным преобразованием нужно получить единицу, не равную нулю.

В этом случае ( будем называт его регулярным ) нормальная формула Фробениуса будет получена за ( m-1 ) шагов и будет иметь вид

Рассмотрим нерегулярный случай, когда матрица, полученная в результате подобных преобразований приведена уже к виду

и элемент . Таким образом обычная процедура метода Данилевского не подходит из-за необходимости деления на ноль.

В этой ситуации возможно два случая. В первом случае к-й

строке левее элемента есть элемент

Тогда домножая матрицу слева и справа на элементарную матрицу перестановок , получаем матрицу

,

у которой по сравнению с матрицей переставлены l -я и (k-1 )-я строка l-й и ( k-1)- й стодбец. В результате на необходимом нам месте оказывается ненулевой элемент , уже преобразованная часть матрицы не меняется, можно применять обычный шаг метода Данилевского к матрице . Она подбна матрице (и, следовательно, исходной матрице А ), т.к. елементарная матрица перестановок совпадает со своей обратной, т.е.

Рассмотрим второй нерегулярный случай, когда в матрице элемент и все элементы этой строки, которые тоже находятся левее его, тоже равны нулю. В этом случае характеристический определитель матрицы можно представить в виде

где і - единичные матрицы соответствующей размерности, а квадратные матрицы и имееют вид:

Обративм внимание на то, что матрица уже нормальную форму Фробениуса, и поэтому сомножитель просто развертывается в виде многочлена с коэффциентами, равными элементам первой строки.

Сомножитель , есть характеристический определитель матрицы . Для развертывания можн опять применять метод Данилевского, приводя матрицу подобными преобразованиями к нормальной форме Фробениуса.

Предположим теперь, что матрица А подобным преобразованиям

уже приведена к нормальной форме Фробениуса. Решая характеристическое уравнение

,

находим одним из известных методов его корни которые являются собственными значениями матрицы Р и исходной матрицы А.

Теперь стоит задача отыскать собственные векторы, соответствующие этим собственным значениям, т.е. векторы такие, что

Решим ее следующим образом: найдем собственные векторы матрицы Р , а затем по определенному соотношению я пересчитаем собственные векторы матрицы А . Это соотношение дает следующая теорема.

ТЕОРЕМА. Пусть є есть собственное значение , а есть соответствующий собственный вектор матрицы Р , которая подобна матрице А ,т.е.

Тогда есть собственный вектор матрицы А , соответствующий собственному значению

Доказательство.Тривиально следует из того, что

Домножая левую и правую часть этого равенства слева на S ,

имеем

А это и означает, что -собственный вектор матрицы А ,

отвечающий собственному значению

Найдем собственный вектор матрицы Р , которая имеет нормальную форму Фробениуса и подобна матрице А. Записывая в развернутой форме, имеем

или

В этой системе одна из переменных может быть сделана свободной и ей может быть придано произвольное значение. В качестве таковой возьмем и положим

Тогда последовательно находим

,

т.е. искомый собственный вектор матрицы Р имеет вид

.

Если процесс приведения матрицы А к форме Р был регулярным, то

В соответствии с теоремой собственным вектором матрицы А для собственного значения будет вектор

Таким образом, задача вычисления собственных векторов матрицы А решена.

НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ. ЗАДАЧА ІНТЕРПОЛЯЦІЇ.

Задача наближення функцій виникає при розв’язанні багатьох задач ( обробка експериментальних даних, чисельне диференціювання та інтегрування функцій, розв’язання диференціальних та інтегральних рівнянь).

Дуже зручною у використанні на практиці функцією є многочлен. Щоб задати многочлен, треба задати тільки скінченну кількість його коефіцієнтів. Значення многочлена просто обчислюються (згадаємо схему Горнера), його легко продиференціювати, проінтегрувати і т.і. Тому алгебраїчні многочлени знайшли широке застосування для наближення (апроксимації) функцій.

Розглянемо декілька задач наближення функцій.

Постановка задачі інтерполяції. Нехай відомі значення деякої функції у різних точках які позначимо

Виникає задача поновлення ( наближеного) функції у довільній точці .

Іноді відомо, що наближену функцію доцільно шукати у вигляді

де вигляд функції відомий, а параметри треба визначити.

Коли параметри визначаються з умови збігу і наближеної функції у точках тобто то такий спосіб наближення називається інтерполяцією. Точки називаються вузлами інтерполяції.

Серед способів інтерполяції найбільш поширеним є випадок лінійної інтерполяції .

де - деякі відомі функції. Значення коефіцієнтів визначаються з умови збігу з вихідною функцією у вузлах інтерполяції

(1)

тобто з системи n +1 лінійних рівнянь з n+1 невідомими

У окремому випадку, коли

(2)

тобто інтерполяція здійснюється многочленом, який називається інтерполяційним.

ТЕОРЕМА. Якщо вузли интерполяції різні, то існує єдиний інтерполяційний многочлен n-го ступеню.

Доведення . Дійсно, система рівнянь (1) у цьому випадку має вигляд

(3)

Її визначник є визначником Вандермонда

(4)

У тому, що має місце права частина рівності (4) , можна переконатися наступним чином.

Віднімаючи перший рядок з усіх наступних, маємо

Віднімаючи тепер з кожного стовпця попередній, що множиться на одержуємо

де

теж є визначником Вандермонда, порядок якого на одиницю менше порядку попереднього.

Зробивши з ним те ж, що з попереднім, одержимо

Продовжуючи аналогічні викладки остаточно одержимо рівність (4).

Бачимо, що при Тобто система (3) має єдиний розв’язок. Теорема доведена.

Таким чином, інтерполяційний поліном можна одержати шляхом розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь (3).

Інтерполяційний многочлен Лагранжа.

Інтерполяційний многочлен може бути записаний не тільки у формі (2). Існують і інші форми зображення інтерполяційного многочлена, які можна записати відразу через вихідні дані задачі , тобто через не розв’язуючи систему (3).

ТЕОРЕМА. Інтерполяційний многочлен може бути записаний у формі

(5)

яка називається інтерполяційним многочленом Лагранжа .

Доведення . Переконаємось у цьому безпосередньо.

При n=1 маємо

(6)

Бачимо, що вираз (6) є многочлен першого ступеню, причому підстановкою переконуємося , що

При n=2

тобто маємо многочлен другого ступеню і

Нарешті , для довільного натурального n

(7)

де

(8)

Функції (8) є многочленами ступеню n. Отже (7) теж є алгебраїчним многочленом ступеню n . Оскільки при маємо

Функціії (многочлени ) (8) називаються лагранжевими коефіцієнтами .

Зауважимо , що оскільки інтерполяційний многочлен (7) лінійно залежить від значень функції то інтерполяційний многочлен суми двох функцій дорівнює сумі інтерполяційних многочленів доданків (коли вузли інтерполяції співпадають ) .

ПОХИБКА ІНТЕРПОЛЯЦІЇ МНОГОЧЛЕНОМ .

Можна записати рівність

(9)

де -похибка інтерполяції. Якщо відносно функції f нічого не відомо, крім її значень у вузлах інтерполяції, то ніяких корисних висновків відносно зробити неможливо. Одержимо деякий вираз похибки інтерполяції у припущенні, що тобто - функція неперервна разом зі своїми похідними, -відрізок,

що містить усі вузли інтерполяції і точку .

Введемо позначення

(10)

ТЕОРЕМА. Якщо , відрізок містить усі вузли інтерполяції, то для маємо

(11)

(12)

де деяка невідома точка.

Доведення. Шукаємо у наступному вигляді

(13)

де деяка функція, значення якої у вузлах інтерполяції можна задати які завгодно, бо

Зафіксуємо довільне та розглянемо наступну функцію від

(14)

Ця функція внаслідок (1), (9), (10), (13) дорівнює нулеві при та тобто у всякому випадку у точках відрізку на якому змінюється

За теоремою Ролля дорівнює нулеві не менше ніж у точках інтервалу дорівнює нулеві мінімум у n точках цього інтервалу і т. д. Таким чином, відшукається хоча б одна точка у якій Звідси та з (14), враховуючи, що

одержуємо Отже,

звідки, у відповідності з (13), (9) має місце (11), (12).

З (12) одержуємо оцінку похибки інтерполяції у точці :

(15)

та оцінку максимальної похибки на усьому відрізку :

(16)

де

Інтерполяція з рівновіддаленими вузлами.

Розглянемо особливі побудови інтерполяційного многочлена Лагранжа у випадку рівномірного розподілу вузлів.

Нехай - вузли інтерполяції, - крок, - задані значення функції причому

Введемо безрозмірну незалежну змінну

Тоді вузлу відповідає

і, окрім того, виконуються співвідношення

При цьому інтерполяційний многочлен Лагранжа, що відповідає випадку записується у вигляді

У загальному випадку інтерполяційний многочлен Лагранжа

одержить наступний вигляд:

де

Оскільки

де

залишковий член інтерполяційного многочлена може бути поданий у вигляді

Зауважимо ,що з означення виходить ,що зміні змінної на відрізку відповідає зміна змінної на відрізку

Тому оцінку максимальної похибки інтерполяціі на відрізку

можна записати у наступному вигляді :

де

Величина не залежить від . Її можна заздалегідь обчислити чи оцінити. Зокрема ,

Враховуючи , що можна зробити висновок , що максимальна похибка інтерполяціі на відрізку , тобто

Зауважимо ,що (враховуючи ) при зменшенні кроку вдвічі права частина оцінки зменшиться мінімум у разів.

Виходячи з підсиленої оцінки ,що одержується з нерівності , у яку замість підставлене , вибирають крок таблиці значень функції на відрізку з тим щоб забезпечити задану точність інтерполяції. При цьому є ще можливість змінювати у деяких границях ступінь інтерполяційного многочлена. Якщо функція достатньо гладка, то підвищення спочатку, як правило, веде до підвищення припустимого , але, з другого боку, ускладнює інтерполяцію і підсилює вплив неусувних похибок табличних значень. На практиці рідко використовують інтерполяцію з

Зауваження. При заданому вузли інтерполяції

розташовані з кроком , доцільно вибирати з сукупності усіх вузлів заданої таблиці функції так, щоб точка опинилась як можна ближче до середини відрізку . Це пов’язано з тим , що коливання функцій та поблизу середини згаданого відрізку менше,

ніж у його кінців.

СКІНЧЕННІ ТА ПОДІЛЕНІ РІЗНИЦІ.

Скінченні різниці. Нехай де - ціле,

. Величина

(1)

називається скінченною різницею першого порядку функції у точці

(з кроком ).

Величина

називається скінченною різницею другого порядку функції у точці

.

Взагалі, скінченна різниця n-го порядку функції у точці

означається рекурентним співвідношенням

(3)

де .

При обчисленнях скінченні різниці зручно записувати у вигляді таблиці

Розглянемо деякі властивості скінченних різниць.

Лема 1. Якщо , то існує така точка

, що

. (4)

Доведення . При n=1 маємо з формули скінченних приростів

Лагранжа та з (1)

При маємо. Позначимо

Тоді згідно (2)

і тому за формулою скінченних приростів Лагранжа

(5)

Але .

Застосовуючи ще раз формулу скінченних приростів Лагранжа до ,

маємо

(6)

де деяка точка. З (5), (6)

виходить

тобто твердження леми при .

Для лема доводиться аналогічно.

Висновок з леми 1. Скінченна різниця -го порядку алгебраічного многочлена -го ступеню стала, тобто не залежить від , а скінченні різниці ще вищих порядків дорівнюють нулеві.

Одне з практичних застосувань скінченних різниць полягає у наступному. Згідно леми 1, якщо , то величина яку можна обчислити через табличні значення функції за допомогою формули (3), дорівнює значенню похідної у деякій точці , де

Тому , якщо мале, то число можна наближено прийняти за величину

та використати в оцінці похибки інтерполяції з рівновіддаленими вузлами. Такою нестрогою оцінкою похибки користуються, якщо достатньо складне обчислення похідної , або, взагалі, маємо у розпорядженні тільки табличні значення n+1 раз диференційовної функції.

Поділені різниці. Нехай тепер -довільні точки (вузли) осі , причому при .

Значення функції у вузлах називаються поділеними різницями нульового порядку.

Число

(7)

називається поділеною різницею першого порядку функції (відповідно точкам ).

Очевидно

(8)

тобто поділена різниця першого порядку є симетричною функцією аргументів і .

Поділена різниця -го порядку означається через поділені різниці -го порядку за рекурентною формулою

(9)

При обчисленнях поділені різниці записують у вигляді таблиці

Лема 2. Поділена різниця -го порядку може бути подана через вузлові значення функції за формулою

тобто є симетричною функцією своїх аргументів .

Доведення . При твердження леми виходить з рівності (8).

При згідно з (9) маємо

Для довільного доведення проводиться за індукцією .

Згідно леми 2 значення поділеної різниці не залежить від порядку нумерації вузлів, за якими вона будується. Всього маємо

варіантів нумерації вузлів цілими числами від 0 до .

Лема 3. Якщо тобто вузли розміщуються на осі з сталим кроком то між поділеною різницею -го порядку та скінченною різницею -го порядку існує наступний зв’язок:

. (12)

Доведення. Для =1 рівність (12) виходить з (1), (7). При довільному доведення провадиться за індукцією. При цьому враховується той факт, що при визначенні кожної наступної за порядком скінченної різниці відбувається згідно (3) віднімання попередніх різниць , а при обчисленні наступної поділеної різниці згідно з формулою (9) провадиться додаткове ділення на величину

Звідси й виникає величина у знаменнику правої частини рівності (12).

Лема 4. Нехай -мінімальний відрізок, що містить вузли

. Тоді існує така точка

що

. (13)

Доведення . Для вузлів, що розміщені з сталим кроком, рівність (13) безпосередньо виходить з лем 1, 3.

Доведення у загальному випадку можна здійснити наступним чином. Візьмемо точку та побудуємо поділену різницю -го порядку

З цього виразу можна одержати

Співставляючи останнє з раніш одержаним виразом для похибки

, одержуємо

Покладаючи тепер , одержимо (13).

Висновок з леми 4. Поділена різниця -го порядку від алгебраічного многочлена -го ступеню має стале значення, що не залежить від вузлів а поділені різниці ще вищих порядків дорівнюють нулеві.

Скінченні і поділені різниці мають різноманітні застосування. Далі розглянемо їх використання для побудови інтерполяційних многочленів.

Інтерполяційний многочлен Ньютона .

Нехай -довільні вузли, що не співпадають і у яких відомі значення функції .

Лема 1. Алгебраїчний многочлен -го ступеню

є інтерполяційним, тобто

(2)

Доведення. Поперш за все зауважимо,що поділені різниці є числа (не залежать від ), і тому функція (1) дійсно є алгебраїчний многочлен -го ступеню. Доведемо (2) при . Маємо

Очевидно ,

Тобто при n=1 рівності (2) справедливі.

Доведемо (2) при . Маємо

При рівності (2) доведені .

При довільному натуральному рівності (2) доводяться за індукцією.

Многочлен (1) називається інтерполяційним многочленом Ньютона для нерівних проміжків .

Згідно теоремі єдності він тотожньо співпадає з інтерполяційним многочленом Лагранжа, тобто Таким чином ми маємо різні записи інтерполяційного многочлена.Залишковий член інтерполяційного многочлена Ньютона той же, що і інтерполяційного многочлена Лагранжа, тобто всюди в оціночних рівностях і нерівностях можна замінити на

У інтерполяційного многочлена Лагранжа видно його явну залежність від кожного значення функції Це у багатьох випадках буває корисним. Але при зміні інтерполяційний многочлен Лагранжа треба будувати заново. У цьому є його недолік.

Інтерполяційний многочлен Лагранжа (1) містить не значення функції , а її поділені різниці. При зміні степеню у інтерполяційного многочлена Ньютона треба добавити або відкинути відповідну кількість стандартних доданків. Це зручно на практиці.

Випадок равновіддалених вузлів. Нехай

Тоді, враховуючи зв’язок поділеної різниці із скінченною різницею

і вводячи безрозмірну змінну

інтерполяційний многочлен (1) можна переписати у вигляді

Цей многочлен називається інтерполяційним многочленом Ньютона для інтерполяції вперед.

У ньому початок відліку знаходиться у крайньому вузлі , а використані скінченні різниці йдуть у таблиці різниць від вправо униз. Інтерполяційний многочлен (3) зручно використовувати на початку таблиці.

Інтерполяційний многочлен з вулами ,

,де , має вигляд

(4)

і називається інтерполяційним многочленом Ньютона для інтерполяції назад.

У ньому початок відліку розташований у крайньому правому вузлі , а вікористані скінченні різниці йдуть у таблиці від вправо угору .

Інтерполяційний многочлен (4) зручно використовувати при інтерполяції у кінці таблиці.

Якщо при заданому у таблиці значень функції з кроком

маємо достатню кількість вузлів з кожного боку від , то доцільно вузли інтерполяції вибирати так, щоб точка опинилась як можна ближче до середини мінімального відрізку, що містить вузли. При цьому інтерполяційний многочлен можна будувати по- різному.

Найбільш істотньо задати інтерполяційний многочлен у вигляді (1), де за береться найближчий до вузол, далі за приймається найближчий до вузол, що міститься з протилежного від боку, ніж . Наступні вузли призначаються по черзі з різних боків від , що містяться як можливо ближче до . При токому виборі вузлів доданки, що слідують один за одним у виразі (1), як правило, спадають, якщо мале, а невелике.

Можливо також у розглянутому випадку використовувати інтерполяційні многочлени (3), (4), а також інтерполяційний многочлен Лагранжа.

На закінчення зазначимо, що залишковий член многочлена (3) має той же вигляд, що і у випадку інтерполяційного многочлена Лагранжа з рівновіддаленими вуздами, тобто

а залишковий член інтерполяційного многочлена (4) може бути подано у вигляді

де -похідна від , -деяка точка мінімального відрізку, що містить вузли інтерполяції і точку .

Згідно лемі, у якій показано, що та при умові, що мале, а функція достатньо гладка, поточний доданок у виразі (3) інтерполяційного многочлена Ньютона приблизно дорівнює похибці інтерполяції многочленом, побудованим з усіх попередніх доданків. Це зауваження стосується й до інтерполяційного многочлена (4) для інтерполяції назад.

МЕТОД ГАУССА С ВЫБОРОМ ГЛАВНОГО ЭЛЕМЕНТА.

Основная идея метода. Может оказаться, что система

Ax=f (1)

имеет единственное решение, хотя какой-либо из угловых миноров матрицы А равен нулю. В этом случае обычный метод Гаусса оказывается непригодным, но может быть применен метод Гаусса с выбором главного элемента.

Основная идея метода состоит в том, чтобы на очередном шаге исключать не следующее по номеру неизвестное, а то неизвестное, коэффициент при котором является наибольшим по модулю. Таким образом, в качестве ведущего элемента здесь выбирается главный, т.е. наибольший по модулю элемент. Тем самым, если , то в процессе вычислений не будет происходить деление на нуль.

Различные варианты метода Гаусса с выбором главного элемента проиллюстрируем на примере системы из двух уравнений

(2)

Предположим, что . Тогда на первом шаге будем исключать переменное . Такой прием эквивалентен тому, что си­стема (2) переписывается в виде

(3)

и к (3) применяется первый шаг обычного метода Гаусса. Указанный способ исключения называется методом Гаусса с выбором главного элемента по строке. Он эквивалентен применению обычного метода Гаусса к системе, в которой на каждом шаге исключения про­водится соответствующая перенумерация переменных.

Применяется также метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу. Предположим, что . Перепишем систему (2) в виде

и к новой системе применим на первом шаге обычный метод Гаусса. Таким образом, метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу эквивалентен применению обычного метода Гаусса к системе, в которой на каждом шаге исключения проводится соответствующая перенумерация уравнений.

Иногда применяется и метод Гаусса с выбором главного элемента по всей матрице, когда в качестве ведущего выбирается максималь­ный по модулю элемент среди всех элементов матрицы системы.

Матрицы перестановок. Ранее было показано, что обычный метод Гаусса можно записать в виде

где -элементарные нижние треугольные матрицы. Чтобы получить аналогичную запись метода Гаусса с выбором главного элемента, необходимо рассмотреть матрицы перестановок.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Матрицей перестановок Р называется квад­ратная матрица, у которой в каждой строке и в каждом столбце только один элемент отличен от нуля и равен единице.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Элементарной матрицей перестановок на­зывается матрица, полученная из единичной матрицы перестановкой к-й и l-й строк.

Например, элементарными матрицами перестановок третьего по­рядка являются матрицы

Можно отметить следующие свойства элементарных матриц пере­становок, вытекающие непосредственно из их определения .

Произведение двух (а следовательно, и любого числа) элементар­ных матриц перестановок является матрицей перестановок (не обязательно элементарной).

Для любой квадратной матрицы А матрица отличается от А перестановкой к-й и l-й строк.

Для любой квадратной матрицы А матрица отлича­ется от А перестановкой к-го и l-го столбцов.

Применение элементарных матриц перестановок для описания метода Гаусса с выбором главного элемента по столбцу можно пояс­нить на следующем примере системы третьего порядка:

(4)

Система имеет вид (1), где

(5)

Максимальный элемент первого столбца матрицы А находится во вто­рой строке. Поэтому надо поменять местами вторую и первую строки и перейти к эквивалентной системе

(6)

Систему (6) можно записать в виде

(7)

т.е. она получается из системы (4) путем умножения на матрицу

пе­рестановок

Далее, к системе (6) надо применить первый шаг обычного метода ис­ключения Гаусса. Этот шаг эквивалентен умножению системы (7) на элементарную нижнюю треугольную матрицу

В результате от системы (7) перейдем к эквивалентной системе

(8)

или в развернутом виде

(9)

Из последних двух уравнений системы (9) надо теперь исключить перемен­ное . Поскольку максимальным элементом первого столбца уко­роченной системы

(10)

является элемент второй строки, делаем в (10) перестановку строк и тем самым от системы (9) переходим к эквивалентной системе

(11)

которую можно записать в матричном виде как

. (12)

Таким образом система (12) получена из (8) применением элемен-тар­ной матрицы перестановок

Далее к системе (11) надо применить второй шаг исключения обычного метода Гаусса. Это эквивалентно умножению системы (11) на элементарную нижнюю треугольную матрицу

В результате получим систему

(13)

или

(14)

Заключительный шаг прямого хода метода Гаусса состоит в замене последнего уравнения системы (14) уравнением

что эквивалентно умножению (13) на элементарную нижнюю треугольную мат­рицу

Таким образом, для рассмотренного примера процесс исключения Гаусса с вы­бором главного элемента по столбцу записывается в

виде

(15)

По построению матрица

(16)

является верхней треугольной матрицей с единичной главной диаго­налью.

Отличие от обычного метода Гаусса состоит в том, что в качестве сомножителей в (16) наряду с элементарными треугольными матри­цами могут присутствовать элементарные матрицы перестановок .

Покажем еще, что из (16) следует разложение

PA=LU, (17)

где L -нижняя треугольная матрица, имеющая обратную, P - матрица перестановок.

Для этого найдем матрицу

(18)

По свойству 2) матрица получается из матрицы переста­новкой второй и третьей строк,

Матрица согласно свойству 3) получается из перестановкой второго и третьего столбцов

т.е. -нижняя треугольная матрица, имеющая обратную.

Из (18), учитывая равенство , получим

(19)

Отсюда и из (16) видно, что

где обозначено . Поскольку Р-матрица перестановок и L-нижняя треугольная матрица, свойство (17) доказано. Оно означает, что метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу эквивалентен обычному методу Гаусса, примененному к мат­рице РА, т.е. к системе, полученной из исходной системы перестанов­кой некоторых уравнений.

Общий вывод. Результат, полученный ранее для очень частного примера, справедлив и в случае общей системы уравнений (1).

А именно, метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу можно записать в виде

(20)

где - элементарные матрицы перестановок такие, что

и -элементарные нижние треугольные матрицы.

Отсюда, используя соотношения перестановочности, аналогичные (19), можно показать, что метод Гаусса с выбором главного элемента эквивалентен обычному методу Гаусса, примененному к си­стеме

PAx=Pf, (21)

где Р - некоторая матрица перестановок.

Теоретическое обоснование метода Гаусса с выбором главного элемента содержится в следующей теореме.

ТЕОРЕМА 1. Если то существует матрица перестано-

вок Р такая, что матрица РА имеет отличные от нуля угловые ми-

норы.

Доказательство в п.4.

СЛЕДСТВИЕ. Если то существует матрица престана-

вок Р такая, что справедливо разложение

РА=LU, (22)

где L- нижняя треугольная матрица с отличными от нуля диагональными элементами и U- верхняя треугольная матрица с единичной главной диагональю. В этом случае для решения системы (1) можно применять метод Гаусса с выбором главного элемента.

4. Доказательство теоремы 1. Докажем теорему индукцией по числу m -порядку матрицы А.

Пусть m=2, т.е.

Если то утверждение теоремы выполняется при Р=Е, где Е - единичная матрица второго порядка. Если , то , т.к. При этом у матрицы

все угловые миноры отличны от нуля.

Пусть утверждение теоремы верно для любых квадратных матриц порядка m-1. Покажем, что оно верно и .для матриц порядка m. Разобьем матрицу А порядка m на блоки

где

Достаточно рассмотреть два случая : и . В первом случае по предположению индукции существует матрица перестановок порядка m-1 такая, что имеет отличные от нуля угловые миноры. Тогда для матрицы перестановок

имеем

причем . Тем самым все угловые миноры матрицы РА отличны от нуля.

Рассмотрим второй случай, когда . Т.к. , найдется хотя бы один отличный от нуля минор порядка m-1 матрицы А, полученный вычеркиванием последнего столбца и какой-либо строки. Пусть, например,

где .

Переставляя в матрице А строки с номерами l и m, получим матрицу , у которой угловой минор порядка m-1 имеет вид

и отличается от (23) только перестановкой строк. Следовательно, этот минор не равен нулю и мы приходим к рассмотренному выше случаю.

Теорема дока