Однородная система линейных алгебраических уравнений

15. Однородная система линейных алгебраических уравнений.

Система m линейных ур-ий с n переменными называется системой линейных однородных уравнений, если все свободные члены равны 0. Система линейных однородных ур-ий всегда совместна, т.к. она всегда имеет, по крайней мере, нулевое решение. Система линейных однородных ур-ий имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг её матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. при rang A < n. Всякая лин. комбинация решений системы лин. однородн. ур-ий также является решением этой системы. Система лин.независимых решений е₁, е₂,…,е_k называется фундаментальной, если каждое решение системы является линейной комбинацией решений. Теорема: если ранг r матрицы коэффициентов при переменных системы линейных однородных уравнений меньше числа переменных n, то всякая фундаментальная система решений системы состоит из n-r решений. Поэтому общее решение системы лин. однордн. ур-ий имеет вид: с₁е₁+с₂е₂+…+с_kе_k, где е₁, е₂,…, е_{k –} любая фундаментальная система решений, с₁, с₂,…,с_k – произвольные числа и k=n-r. Общее решение системы m линейных ур-ий с n переменными равно сумме общего решения соответствующей ей системы однородн. линейных ур-ий и произвольного частного решения этой системы.

1 (16). Скалярные и векторные величины. Основные определения.

В математике используется 2 вида величин: а) скалярные – величины, которые полностью определяются заданием их числовых значений (длина, площадь, объём, масса и т.д.); б) векторные – величины, для полного определения которых помимо численного значения требуются ещё и направления в пространстве (изображаются при помощи векторов). Вектор – направленный отрезок на плоскости или в пространстве, имеющий определённую длину, у которого одна из точек принята за начало, а другая за конец. Координатами вектора `а являются координаты его конечной точки. Длиной вектора (нормой) или модулем называется число, равное длине отрезка, изображающего вектор [ïaï=Öx<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>(+z<sup>2</sup>)]. Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым и обозначается `0. ( направление `0 произвольно, не определено). Для каждого `а, отличного от 0, существует противоположный -`а, который имеет модуль, равный ïаï, коллиниарен с ним, но направлен в другую сторону. Два вектора `а и`в называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Два вектора называются равными, если они: 1)имеют равные модули; 2)коллиниарны; 3)направлены в одну сторону.

2 (17). Линейные операции над векторами. Свойства линейных операций.

1)Сложение 2-х векторов: (правило треугольников) суммой 2-х векторов `а и`в называют вектор `с =`а +`в, начало которого совпадает с началом `а, а конец- с концом `в при условии, что начало `в совпадает с концом`а. 2) Сложение нескольких векторов: (правило многоугольника) сумма 4-х векторов `а,`в,`с,`d есть вектор`е =`а +`в +`с +`d, начало которого совпадает с началом `а, а конец- с концом`d. (правило параллелепипеда) сумма 3-х векторов `а,`в,`с определяется как `d =`а +`в +`с. 3)Вычитание 2-х векторов: разностью 2-х векторов `а и `в называется сумма `а и -`в (противоположного). 4) Суммой 2-х векторов одинаковой размерности n называется вектор, каждая компонента которого равна сумме соответствующих компонент слагаемых вектора: `S = `x +`y, S_i=xi + yi  "i. 5) Произведением `x на действительное число а называется `в = а`x, каждая компонента которого равна а×`x_i. Cвойства лин. операций над векторами: 1)коммутативное св-во суммы (переместительное); 2)ассоциативное св-во суммы (сочетательное); 3)ассоциативное относительно числового множителя: a(b *`c) = (ab)`c; 4)дистрибьютивное (распределительное; 5)существование нулевого вектора, такого, что `c+0=`c "`c ; 6)для любого `c существует такой противоположный -`c , что `c+(-`c)=0"`c; 7)для любого `c справедливо: `c*1=`c.

3 (18). Векторное пространство, его размерность. Понятие Базиса.

N-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n-действительных чисел, записанных в виде `x=(x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>,x<sub>i</sub>,x<sub>n</sub>), где Xi-компонента `X. Два N-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты: `x =`y, если x_i=y_i "i. Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее всем сво-вам суммы( коммутативное, ассоциативные), называется векторным пространством. Размерность векторного пространства равна количеству векторов в базисе этого пространства. Совокупность n-мерных векторов, рассматриваемая с определёнными в ней операциями сложения векторов и умножения вектора на число, называется n-мерным координатным пространством. Система n—мерных лин. независимых векторов называется базисом Rⁿ(R²-плоскость,R³-пространство), если каждый вектор этого пространства R разлагается по векторам этой системы. Базисом называется совокупность всех лин. независимых векторов системы пространства. Теорема: для того, чтобы -- 1)2 вектора на плоскости (2)3-в пространстве) были линейно не зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были не 1) коллиниарны (2) компланарны). Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости. Два вектора `а и`в называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Теорема: если диагональная система является частью n-мерных векторов, то она же является базисом этой системы. Теорема: любой вектор системы векторов единственным образов разлагается по векторам её базиса.  

4 (19). Базис на плоскости. Разложение вектора по базису R.

Система n—мерных лин. независимых векторов называется базисом Rⁿ(R²-плоскость,R³-пространство), если каждый вектор этого пространства R разлагается по векторам этой системы. Базисом называется совокупность всех лин. независимых векторов системы пространства.

5 (20). Базис в пространстве. Разложение вектора по базису R.

Система n—мерных лин. независимых векторов называется базисом Rⁿ(R²-плоскость,R³-пространство), если каждый вектор этого пространства R разлагается по векторам этой системы. Базисом называется совокупность всех лин. независимых векторов системы пространства.

6 (21). Линейные операции над векторами, заданные координатами.

7 (22). Проекция вектора а на вектор b. Направляющие косинусы вектора.

8 (23). Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения.

Скалярным произведением 2-х векторов `а и`в называется число, равное произведению модулей, перемноженных на cos угла между ними: а *`в=ï`а ï*ï`в ï*Cosj, где j-угол`а между`в. Скалярное произведение может быть найдено также по формуле: `а *`в =ï`а ï* пр._а `в =ï`вï* пр._в `а® скалярное произведение 2-х векторов равно произведению модуля одного из них на проекцию на него другого вектора. Свойства скалярного произведения: 1)Переместительное (`а*`в=`в *`а); 2)Сочетательное относительно числового множителя (l(`а *`в)=l`а *l`в); 3)Распорядительное ( (`а +`в )×`с=`а ×`с +`в×`с); 4)Если скалярное пр-е равно 0, то либо равен 0 один из перемножаемых векторов, любо Cos угла между ними, т.е. векторы перпендикулярны. Скалярное произведение само на себя равно квадрату его модуля.

9 (24). Скалярное произведение ортов. Скалярное произведение векторов, заданных координатами.

10 (25). Определение угла между двумя векторами.

11 (26). Условия параллельности и перпендикулярности двух векторов.

12 (27). Векторное произведение.

Векторным произведением вектора `а на вектор `в называется вектор `с, который определяется следующим образом: 1) модуль `с численно равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах как на сторонах úсú=úаú×úвú ×Sinj. 2) вектор с перпендикулярен обоим перемножаемым векторам; 3) направление вектора с таково, что если смотреть из его конца вдоль вектора а к вектору в, осуществляется против часовой стрелки. Геометрич. смысл векторного произведения –модуль векторн.пр-я равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах. Если векторы заданы в координатной форме, то их векторн. Произведение находится по формуле: `а ×`в =ú i j kú

úa_x a_y a_zú

úb_x b_y b_zú.

13 (28). Свойства векторного произведения.

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет свой знак на противоположный, сохраняя при этом свой модуль: `а ×`в =(`в) ×`а. 2)Векторн.пр-е обладает сочетательным св-вом относительно числового (скалярного) множителя: l×(`а×`в)=(l`а)×`в=`а×(l×`в). 3)Векторн.пр-е обладает распределительным св-ом. 4) Если векторн.пр-е 2-х векторов равно 0-вектору, то либо равен 0 один из перемножаемых векторов, любо синус угла между ними, т.е. векторы коллиниарны (параллельны). ÞДля того, чтобы 2 ненулевых вектора были коллиниарны необходимо и достаточно, чтобы их векторное пр-е было равно нуль-вектору.

14 (29). Векторное произведение ортов.

15 (30). Векторное произведение векторов, заданных проекциями.

16 (31). Смешанное произведение векторов. Свойства смешанного произведения. Геометрический смысл смешанного произведения.

Рассмотрим произведение векторов а, в и с, составленное следующим образом: (`а *`в) – векторно, а затем полученной произведение умножают на `с скалярно. (`а *`в) ×`с. Такое произведение называется векторно-скалярным или смешанным. Оно представляет собой некоторое число. Скалярным произведением двух векторов называется произведение длин двух векторов на косинус угла между ними. Смешанное произведение равно определителю 3-го порядка, в строках которого стоят соответствующие проекции перемножаемых векторов.

Свойства: 1)если внутри смешанного произведения в векторном произведении поменять множители местами, то смешанное пр-е поменяет свой знак на противоположный, т.е. (`а *`в) ×`с = - (`в *`а) ×`с; (`а *`в) ×`с = `с × (`а *`в). 2)Для того, чтобы 3 вектора а, в и с были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось 0: (`а *`в) ×`с=0. Векторы, параллельные одной плоскости или лежащие в одной плоскости, называются компланарными. Геометрич. смысл смешанного произведения: состоит в том, что смешанное пр-е с точностью до знака равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах как на рёбрах.

1 (32). Координаты на прямой. Деление отрезка в данном отношении.

Положение каждой точки на оси определяется числом, равным отношению длины отрезка прямой от точки 0 до заданной точки к выбранной единице длины. Положение каждой точки на вертикальной оси определяется координатой, которая называется ордината. Координата на горизонтальной оси называется абсцисса. Метод координат на плоскости ставит в соответствие каждой точки плоскости упорядоченную пару действительных чисел – координаты этой точки. Расстояние между 2-мя точками возможно найти 2-мя путями: 1)если обе точки лежат на одной оси, то расстояние между ними по оси ординат (или абсцисс) равно 0, а по оси абсцисс (ординат) абсолютной величине разности между абсциссами конца и начала отрезка +рис.; 2) если 2 точки лежат в одной плоскости, длина отрезка равна квадратному корню из суммы квадратов разностей соответствующих координат концов отрезков.

Деление отрезков в данном отношении: даны 2 точки М₁(c₁g₁) и М₂(c₂g₂). Требуется найти внутри отрезка точку М с координатами (c;g), такую, что отрезок М1М2 поделится точкой М в соотношении М₁М/М₂М=l. Найти координаты М, удовлетворяющие данному равенству. Решение: М1М/М2М=АА1/АА2. АА1=X-X1, AA2=X2-X. M1M/M2M=(X-X1)/(X2-X) =l. X-X1=l(X2-X), X-X1=lX2-lX. X+lX=X1+lX2ÞX (1+l) =X1+lX2, X=X1+lX2/1+l.

2 (33). Общее уравнение прямой и его исследование.

Рассмотрим ур-е первой степени с двумя переменными в общем виде: Ax+By+C=0, в котором коэффициенты А и В не равны одновременно нулю, т.е.А²+В² ¹0. 1)Пусть В¹0. Тогда ур-е Аx+By+C=0 можно записать в виде y= -Ax/B – C/B. Обозначим k= -А/В, b= -C/B. Если А¹0, С¹0, то получим y=kx+b (ур-е прямой, проходящей ч/з начало координат); если А=0, С¹0, то y=b (ур-е прямой, параллельной оси Оy); если А=0, С=0, то y=0 (ур-е оси Оx). 2)Пусть В=0, А¹0. Тогда ур-е Аx+By+C=0 примет вид x= - C/A. Если С¹0, то получим x=a (ур-е прямой, параллельной оси Оy); если С=0, то x=0 (ур-е оси Оy). Таким образом, при любых значениях коэффициентов А, В (не равных одновременно нулю) и С ур-е Ax+By+C=0 есть ур-е некоторой прямой линии на плоскости Оxy. Это ур-е называется общим ур-ем прямой. Ур-е прямой, заданное в общем виде, не даёт представления о расположении прямой на плоскости, но из него легко находятся все основные хар-ки прямой: 1)k= -A/B; 2)начальная ордината b= - C/B; 3) отрезки, отсекаемые прямой на осях ординат: Ax+By+C=0 /¸(-C)

-Ax/C-By/C=1

a= - C/A; b= - C/B.

3 (34). Уравнение прямой, проходящей через точку М (x, y) перпендикулярно нормальному вектору n (A, B).

4 (35). Уравнение прямой, проходящей через точку М (x, y) параллельно направляющему вектору q (l, m).

5 (36). Уравнение прямой, проходящей через две точки М ₁(x₁, y₁) М₂ (x₂, y₂).

Это ур-е является частным случаем ур-я пучка прямых. Прямая задана 2-мя лежащими на ней точками М₁ (x₁;y₁) и M₂(x₂;y₂), x1¹x2, y1¹y2(при равенстве - применение ур-япрямой, проход.ч.з 2 точки, невозможно). Для составления ур-я прямой М1М2 необходимо ур-е пучка прямых, проходящих ч/з точку М1: y-y1=k(x-x1). Т.к. точка M₂(x₂;y₂) лежит на данной прямой, то чтобы выделить её из пучка, подставим в ур-е пучка прямых координаты М2 и найдём угловой коэффициент: k=y₂-y₁/x₂-x₁.

Теперь ур-е прямой, проходящеё через 2 заданные точки, примет вид: y-y1=(x-x1) * y2-y1/x2-x1Þ y-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1.

(др. способ: после ур-я углового коэф-та вывожу: tg a=M2*N/M1*N, M2N=y2-y1; M1N=x2-x1Þ tg a=K=y2-y1/x2-x1. Подставим это ур-е в ур-е пучка прямых: y-y1=(x-x1)*y2-y1/

/x2-x1 |¸( y2-y1)Þ y-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1. )

 

6 (37). Уравнение прямой в отрезках.

Прямая задана отрезками, которые она отсекает на осях координат. Найду ур-е прямой по заданным отрезкам а¹0 и b¹0, отсекаемым на осях координат. Используя ур-е прямой, проходящей через точки А(а;0) и В(0;b) - y-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1—ур-е прямой в отрезках примет вид: y-0/b-0= x-a/0-a или: -ay= b(x-a), -ay-bx+ab=0 |¸ab; -y/b-x/a+1=0 |¸(-1);

x/a+y/b=1. А-отрезок, отсекаемый на оси Оx; В-отрезок на оси Оy. Тогда прямую можно определить как прямую, заданную двумя точкамиÞA(a;b) на осиOx и B(0:b) на оси Oy. Подставив координаты этих точек в ур-е прямой, проходящей через две заданные точки, получим ур-е прямой в отрезках.

7 (38). Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Угловой коэффициент прямой- одна из характеристик расположения прямой на плоскости; её наклон относительно оси Оx (за угол наклона принимается Ða, отсчитываемый от оси Оx против движения часовой стрелки до этой прямой); tg угла наклона этой прямой к оси Оx. Если k>0, то a -острый; если a=0, то k=0, прямая параллельна оси Оx; если a=90°, то прямая параллельна оси Оy, k-не существует. Пусть положение прямой в прямоугольной системе координат задано величиной отрезка, отсекаемого этой прямой на оси Оy и k этой прямой. Возьмём произвольную точку М (c;g). Тогда tg угла a наклона прямой найдём из прямоугольного треугольника МВN: tg a = MN/NB= y-b/x. Введём угловой коэффициент прямой k=tg a; получим k=y-b/x. y=kx+b - ур-е прямой с угловым коэффициентом. В зависимости от величин k и b возможны следующие варианты расположения прямой: 1) при в>0, прямая пересекает ось Оx выше начала координат; при в<0, прямая Ç Оx ниже начала координат. 2)при k>0, прямая образует острый угол с Оx; при k<0,-тупой угол; при k=0-параллельна оси Оx; при k=µ-перпендикулярна Оx.

8 (39). Уравнение прямой, проходящей через данную точку М (x, y) с данным угловым коэффициентом k.

9 (40). Нормальное уравнение плоскости.

Нормальное ур-е плоскости: x(Cos a) +y(Cos b)+z(Cos g)+r=0, где Cos a, Cos b, Cos g-направляющие Cos –сы нормального вектора; r-расстояние от начала координат до плоскости. Общее ур-е приводится к нормальному виду путём умножения на нормирующий множитель.

10 (41). Условие параллельности и перпендикулярности прямых.

1)Если прямые параллельны, то они образуют с осью OX одинаковые углы. Поэтому угловые коэф-ты k1 и k2 этих прямых равны. Обратно, если k1= k2, то углы наклона прямых к оси OX одинаковы, откуда следует, что данные прямые параллельны. Условием параллельности 2-х прямых яв-ся равенство их угловых коэффициентов. 2)Формула tga=k2-k1/1+k1k2 определяет угол a между пересекающимися прямыми через tga. Если a=90, то эта формула оказывается неприменимой, т.к. tg=90 не существует. Если прямые взаимно перпендикулярны, то j2=j1+90, откуда tgj2= tg (j1+90)= -Сtgj1. tgj2= - 1/ tgj1. Заменяя tgj1 и Сtgj2 через k1 и k2, находим: k2= 1/ k1 или 1+ k1k2=0. Обратно, пусть k2= 1/ k1, это значит, что tgj2= -1/tgj1 откуда получаем j2=j1+90. Следовательно, угол между двумя данными прямыми равен 90, т.е. прямые взаимно перпендикулярны. Условие перпендикулярности 2-х прямых состоит в том, что угловые коэф-ты этих прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку: k2= -1/ k1.

11 (42). Угол между прямыми.

Угол a между 2-мя параллельными прямыми равен 0, тогда tga=0; с другой стороны, из условия параллельности, т.е. из равенства k1= k2, следует, что k1- k2=0 и по формуле tga=k2-k1/1+k1k2-угол между 2-мя пересекающимися прямыми-получаем: k1-k2/1+k1k2=0.

12 (43). Плоскость в пространстве. Виды уравнений плоскости.

Существуют следующие виды ур-ий плоскости: 1) Общее ур-е плоскости: Ax+By+Cz+D=0, где `n=(A,B,C)- нормальный вектор плоскости. 2) ур-е плоскости, проходящей через точку М1(x1;y1;z1) перпендикулярно вектору `n=(A,B,C): A(x-x1)+B(y-y1)+C(z-z1)=0. 3)Ур-е плоскости в отрезках: x/a+y/b+z/c=1, где a,b,c-величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат. 4)Нормальное ур-е плоскости: x(Cos a) +y(Cos b)+z(Cos g)+r=0, где Cos a, Cos b, Cos g-направляющие Cos –сы нормального вектора; r-расстояние от начала координат до плоскости. Общее ур-е приводится к нормальному виду путём умножения на нормирующий множитель. 5)Ур-е плоскости, проходящей через три заданные точки: М1(x1;y1;z1), М2(x2;y2;z2), М3(x3;y3;z3).

|x-x1 y-y1 z-z1|

|x2-x1 y2-y1 z2-z1| =0.

|x3-x1 y3-y1 z3-z1|

13 (44). Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.

14 (45). Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой в пространстве.

Взаимное ур-е 2-х прямых в пространстве: а) пусть прямые заданы своими канонич.ур-ями: x-x1/L1=y-y1/m1=z-z1/n1,

x-x2/L2=y-y2/m2=z-z2/n2; где `q 1(L1;m1;n1), `q2 (L2;m2;n2)- направляющие векторы. Тогда прямые параллельны, если параллельны их направляющие векторы:`q<sub>1</sub> úú`q₂ Þ L1/L2=m1/m2=n1/n2. б) пусть прямые заданы аналогично случаю а). Две прямые ^ тогда и только тогда, когда их направляющие векторы перпендикулярны (`q1^`q2).

L1L2+m1m2+n1n2=0. Существуют следующие виды ур-ий прямой в пространстве: 1)Общее ур-е прямой: прямая задаётся как линия пересечения 2-х плоскостей.

{A1x+B1y+C1z+D1=0

{A2x+B2y+C2z+D2=0, где А1, В1,С1-непропорциональные коэффициентам А2, В2, С2.

2)Ур-е прямой, проходящей через две точки (выводится аналогично ур-ю прямой на плоскости):

x-x2/x2-x1=y-y2/y2-y1=z-z2/z2-z1.

3)Каноническое уравнение прямой в пространстве (ур-е прямой, проходящей ч/з заданную точку М0 (x0;y0;z0), параллельно направляющему вектору `q (l;m;n)):

x-x₀/l=y-y₀/m=z-z₀/n.

4)Параметрическое ур-е прямой: прямая задаётся при помощи точки, лежащей на прямой, и направляющего вектора. М₀(x0;y0;z0), `q (l;m;n). íx=x0+lt

íy=y0+mt

í z=z0+nt, t-параметр.

5)Угол между 2-мя прямыми в пространстве – это, практически, угол между их направляющими векторами:

Cosj=L1L2+m1m2+n1n2/Ö L₁² +m₁²+n₁²  *Ö L₂²+m₂²+n₂² .

15 (46). Взаимное расположение прямой и плоскости.

1)Угол между прямой и плоскостью вычисляется по формуле: Cosj=|Al+Bm+Cn|¸ÖA²+B²+C² *Öl²+m²+n². Где l, m, n- координаты направляющего вектора прямой; A, B, C- координаты `n. В этом случае прямая может быть задана каноническим или параметрическим ур-ем прямой, а плоскость – общим. 2)Прямая и плоскость в пространстве параллельны: тогда и только тогда, когда скалярное произведение направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости равно 0. `n(A,B,C)`q (l;m;n)Þ Ax+By+Cz+D=0 (общее ур-е плоскости); x-x<sub>0</sub>/l=y-y<sub>0</sub>/m=z-z<sub>0</sub>/n. Т.к. `n *`q=0 ÞAl+Bm+Cn=0. 3)прямая и плоскость в пространстве перпендикулярны: тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарные (параллельны). Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно 0 или координаты пропорциональны. Т.к. `n *`q=0, А/l=B/m=C/n. 4)условия, при которых прямая принадлежит плоскости: а)скалярное произведение`n *`q=0, т.е. Al+Bm+Cn=0; б) при подстановке координат точки, лежащей на прямой, в общее ур-е плоскости получается верное равенствоÞ Ax₀+By₀+Cz₀+D=0

 {x=x0+lt,

{y=y0+mt,

{z=z0+nt (параметрич. ур-е прямой).

5)точка пересечения прямой и плоскости: для того, чтобы найти координаты точки пересечения прямой и плоскости в пространстве, необходимо совместно решить систему, составленную из ур-ий: x-x0/l=y-y0/m=z-z0/n (канонич. ур-е прямой), Ax+By+Cz+D=0 (общее ур-е плоскости). Для того,чтобы решить такую систему необходимо перейти от канонич. ур-я к параметрическому: {x=x0+lt,

{y=y0+mt,

{z=z0+nt (параметрич. ур-е прямой)

{ Ax+By+Cz+D=0.

16 (47). Кривые второго порядка. Окружность.

Кривой 2-го порядка называется линия, определяемая уравнением 2-ой степени относительно текущих декартовых координат. В общем виде ур-е принимает вид: Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0, где A, 2B, C, 2D, 2E, F- действительные числа. Кроме того, по крайней мере, одно из этих чисел ¹0. Окружность-множество точек, равно удалённых от данной точки (центра). Если обозначить через R радиус окр., а через С(x0,y0) –центр окружности, то исходя из этого определения :

Возьмём на окр. произвольную точку М (x,y). По определению, расстояние СМ= R. Выражу СМ ч/з координаты заданных точек: СМ =Ö (x-x0)²+(y-y0)² = R ÞR²=(x-x0)²+(y-y0)²-ур-е окр. С центром в точке С(x0,y0). Это ур-е называется нормальным ур-ем окружности. Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0-ур-е второй степени с 2-мя переменными в общем виде. Ax²++Cy² =d-кривая второго порядка, где А,В,С не равны 0 одновременно, т.е. А²+В²+С²¹0. x²+y²-2x₀x-2y₀y+x₀²+y₀²-R²=0; B=0, A/1=C/1ÞA=C¹0 (т.к. A²+B²+C²¹0, B=0). Получаем ур-е: Ax²+Ay²+Dx+Ey+F=0- общее ур-е оркужности. Поделим обе части этого ур-я на А¹0 и, дополнив члены, содержащие x,y, до полного квадрата, получаем: (x+(D/2A))²+(y+(E/2A))²=(D²+E²-4AF)/4A². Cравнивая это ур-е с нормальным ур-ем окр., можно сделать вывод, что ур-е: Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0-ур-е действительной окружности, если:1)А=С; 2)В=0; 3) D²+E²-4AF>0. При выполнении этих условий центр окр. расположен в точке О(-D/2A;-E/2A), а её радиус R=ÖD²+E²-4AF/2A.

17 (48). Кривые второго порядка. Эллипс.

Кривой 2-го порядка называется линия, определяемая уравнением 2-ой степени относительно текущих декартовых координат. В общем виде ур-е принимает вид: Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0, где A, 2B, C, 2D, 2E, F- действительные числа. Кроме того, по крайней мере одно из этих чисел ¹0. Эллипс (кривая эллиптического типа) - кривая 2-го порядка, где коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки.

18 (49). Кривые второго порядка. Гипербола.

Кривой 2-го порядка называется линия, определяемая уравнением 2-ой степени относительно текущих декартовых координат. В общем виде ур-е принимает вид: Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0, где A, 2B, C, 2D, 2E, F- действительные числа. Кроме того, по крайней мере одно из этих чисел ¹0. Кривая 2-го порядка называется гиперболой (или кривой гиперболического типа), если коэффициенты А и С имеют противоположные знаки, т.е. АС<0. Кривые 2го порядка описываются с помощью общего ур-я:

Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0, где

а) Каноническое ур-е параболы: y2=2px или y=ax2

19 (50). Кривые второго порядка. Парабола.

Кривой 2-го порядка называется линия, определяемая уравнением 2-ой степени относительно текущих декартовых координат. В общем виде ур-е принимает вид: Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0, где A, 2B, C, 2D, 2E, F- действительные числа. Кроме того, по крайней мере одно из этих чисел ¹0.