Методика преподавание темы Обыкновенные дроби в школьном курсе математики

Глава I . Традиционные методические подходы к изучению темы “ Обыкновенные дроби”.
Из истории возникновения обыкновенных дробей.

Дроби появились в глубокой древности. При разделе добычи, при измерениях величин, да и в других похожих случаях люди встретились с необходимостью ввести дроби.

Древние египтяне уже знали, как поделить 2 предмета на троих, для этого числа –2/3- у них был специальный значок. Между прочим, это была единственная дробь в обиходе египетских писцов, у которой в числителе не стояла единица – все остальные дроби непременно имели в числителе единицу (так называемые основные дроби): 1/2; 1/3; 1/28; … . Если египтянину нужно было использовать другие дроби, он представлял их в виде суммы основных дробей. Например, вместо 8/15 писали 1/3+1/5. Иногда это бывало удобно. В папирусе Ахмеса есть задача :

«Разделить 7 хлебов между 8 людьми». Если резать каждый хлеб на 8 частей, придётся провести 49 разрезов.

А по-египетски эта задача решалась так: Дробь 7/8 записывали в виде долей: 1/2+1/4+1/8. Значит каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба; поэтому четыре хлеба разрезали пополам, два хлеба- на 4 части и один хлеб на 8 долей, после чего каждому дали его часть.

Но складывать такие дроби было неудобно. Ведь в оба слагаемых могут входить одинаковые доли, и тогда при сложении появится дробь вида 2/n. А таких дробей египтяне не допускали. Поэтому, папирус Ахмеса начинается с таблицы, в которой все дроби такого вида от 2/5 до 2/99 записаны в виде суммы долей. С помощью этой таблицы выполняли и деление чисел. Вот, например, как 5 делили на 21:

Умели египтяне также умножать и делить дроби. Но для умножения приходилось умножать доли на доли, а потом, быть может, снова использовать таблицу. Ещё сложнее обстояло с делением.

В древнем Вавилоне предпочитали наоборот, - постоянный знаменатель, равный 60-ти. Шестидесятеричными дробями, унаследованными от Вавилона, пользовались греческие и арабские математики и астрономы. Но было неудобно работать над натуральными числами, записанными по десятичной системе, и дробями, записанными по шестидесятеричной. А работать с обыкновенными дробями было уже совсем трудно. Поэтому голландский математик Симон Стевин предложил перейти к десятичным дробям.

Интересная система дробей была в Древнем Риме. Она основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Двенадцатую долю асса называли унцией. А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью- весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. При этом, конечно, речь шла не о взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено 7/12 пути или прочтено 5/12 книги. А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия.

Даже сейчас иногда говорят:”Он скрупулёзно изучил этот вопрос.” Это значит, что вопрос изучендо конца, что не одной самой малой неясности не осталось. А происходит странное слово “скрупулёзно” от римского названия 1/288 асса - “скрупулус”. В ходу были и такие названия: ”семис”- половина асса, “секстанс”- шестая его доля, “семиунция”- половина унции, т.е. 1/24 асса и т.д. Всего применялось 18 различных названий дробей. Чтобы работать с дробями, надо было помнить для этих дробей таблицу сложения и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твёрдо знали, что при сложении триенса (1/3 асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса (2/3 асса) на сескунцию( 2/3 унции, т.е.1/8 асса) получается унция. Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из которых дошли до нас.

Современную систему записи дробей с числителем и знаменателем создали в Индии. Только там писали знаменатель сверху, а числитель - снизу, и не писали дробной черты. А записывать дроби в точности, как сейчас, стали арабы.

1.2. Арифметические действия с обыкновенными дробями.

а

Возьмём отрезок a. Чтобы найти его длину, выберем в качестве единицы длины отрезок е. (рис. 1) При измерении оказалось, что длина отрезка е

а больше 3 е, но меньше 4 е. Поэтому её е1

нельзя выразить натуральным числом рис.1

(при единице длины е). Но если разбить отрезок е на 4 равные части, каждая из которых равна е1, то длина отрезка а окажется равной 14е1. Если же вернуться к первоначальной единице длины е, то мы должны сказать, что отрезок а состоит из 14 отрезков, равных четвёртой части отрезка е, т.е., говоря о длине отрезка а, мы вынуждены оперировать двумя натуральными числами 14 и 4. Условились в такой ситуации длину отрезка записывать в виде 14/4е, а символ называть дробью.

В общем виде понятие дроби определяют так: пусть даны отрезок а и единичный отрезок е, причём отрезок е является суммой n отрезков, равных е1. Если отрезок а состоит из m отрезков, равных е1, то его длина может быть представлена в виде е. Символ называют дробью, в нём m и n – натуральные числа. Читают этот символ “эм энных”.

Вернёмся к рис.1. Выбранный отрезок е1 есть четвёртая часть отрезка е. Очевидно, что это не единственный вариант выбора такой доли отрезка е, которая укладывается целое число раз в отрезке а. Можно взять восьмую часть отрезка е, тогда отрезок а будет состоять из 28 таких долей и его длина будет равна 28/8е. Можно взять шестнадцатую часть отрезка е, тогда отрезок а будет состоять из 56 таких долей и его длина будет равна е. Если представить себе этот процесс продолженным неограниченно, получим, что длина отрезка а может быть выражена бесконечным множеством различных дробей: 14/4, 28/8 , 56/16 ,…

Вообще, если при единице длины е длина отрезка а выражается дробью , , то она может быть выражена любой дробью , где k- натуральное число.

Определение. Дроби, выражающие длину одного и того же отрезка при единице длины е, называют равными дробями.

Если дроби и равны, то пишут: = . Например, дроби 14/4 и 28/8 выражают длину одного и того же отрезка при единице длины е, следовательно, 14/4 = 28/8 .

Существует признак, пользуясь которым определяют, равны ли данные дроби:

Для того, чтобы дроби m/n и p/q были равны, необходимо и достаточно, чтобы mq = np.

Покажем, что m/n = p/q => mq = np. Так как m/n = p/q для любого натурального q, а p/q = pn/qn для любого натурального n, то, из равенства дробей m/n и p/q следует равенство mq/nq = pn/qn , из которого в свою очередь вытекает, что mq = np.

2. Покажем, что mp = pq => m/n = p/q. Если разделить обе части истинного равенства mq=np на натуральное число nq, то получим истинное равенство mq/nq = np/nq. Но mq/nq = m/n , а np/nq = p/q, => m/n = p/q.

Пример. Определим, равны ли дроби 17/19 и 23/27. Для этого сравним произведения 17*27 и 19*23; 17*27=459, 19*23=437. Так как 459  437, то 17/19 23/27.

Из рассмотренных ниже фактов вытекает основное свойство дроби: Если числитель и знаменатель данной дроби умножить на одно и тоже натуральное число, то получится дробь, равная данной. На этом свойстве основано сокращение дробей и приведение дробей к общему знаменателю.

Сокращение дробей- это замена данной дроби другой, равной данной, но с меньшим числителем и знаменателем.

Если числитель и знаменатель дроби одновременно делятся только на единицу, то дробь называют несократимой. Например, 3/19 - несократимая дробь.

Пример. Сократим дробь 48/80. Чтобы получить равную ей несократимую дробь, необходимо числитель и знаменатель данной дроби разделить на их наибольший общий делитель. Найдем его: Д (48;80) = 16. Разделив 48 на 16 и 80 на 16, получаем, что 48/80 = 3/5. Дробь 3/5 - несократимая.

Приведение дробей к общему знаменателю- это замена дробей равными им дробями, имеющими одинаковые знаменатели.

Общим знаменателем двух дробей m/n и p/q является общее кратное чисел n и q, а наименьшим общим знаменателем- их наименьшее общее кратное К (n,q).

Пример. Приведём к НОЗ дроби 8/15 и 4/35. Разложим числа 15 и 35 на простые множители: 15=3*5, 35=5*7. Тогда К (15,35)=3*5*7=105. Поскольку 105=15*7=35*3, то = 8/15 = 8*7/15*7 = 56/105, 4/35 = 4*3/35*3 = 12/105 .

Сложение и вычитание.

Пусть отрезки a,b,c таковы, что c= a+b и при выбранной единице длины ea= е, b= e (рис.2). тогда c= a+b = e+ e = 6e1= 7e1 = (6+7)*е1 = 13е1 = е1, т.е. длина отрезка е выражается числом, которое целесообразно рассматривать, как сумму чисел 6/4 и 7/4 .

a b

c

e

e1

Рис.2.

Определение: Если положительные рациональные числа представлены дробями m/n и p/n , то суммой чисел a и b называется число, представляемое дробью m+p/n .

m/n + p/n = m+p/n(1)

Если положительные рациональные числа представлены дробями с разными знаменателями, то эти дроби приводят к НОЗ, а потом складывают по правилу (1). Например: 5/12+2/15=25/60+8/60=25+8/60=33/60=11/20 .

Сумма любых двух положительных чисел существует и единственна. Сложение положительных рациональных чисел подчиняется переместительному и сочетательному законам:

a+b=b+a для любых a,b,  Q+

(a+b)+c = a+(b+c) для любых a,b,c  Q+

Различают правильные и неправильные дроби. Дробь называют правильной, если её числитель меньше знаменателя, и неправильной, если её числитель больше знаменателя или равен ему.

Пусть m/n - неправильная дробь. Тогда m  n. Если m кратно n ,то в этом случае дробь m/n является записью натурального числа. Например, если дана дробь 15/3, то 15/3 =5. Если число m не кратно n, то разделим m на n с остатком: m=nq+r, где r дробь m/n оказалась представлена в виде суммы натурального числа q и правильной дроби r/n . Это действие называют выделением целой части из неправильной дроби. Например, 13/4=4*3+1/4=4*3/4+1/4=3+1/4. Принято сумму натурального числа и правильной дроби записывать без знака сложения, т.е вместо 3+1/4 пишут 3 1/4 и называют такую запись смешанным числом.

Рассмотрим вычитание положительных рациональных чисел.

Определениe Разностью положительных рациональных чисел a и b называется такое положительное рациональное число c, что a=b+c

Понятие разности определено, а как практически из одного положительного рационального числа вычесть другое?

Пусть a=m/n, b=p/n, а разность а-b пусть представляется дробью x/n. Найти x . По определению разности m/n=p/n+x/n, а по правилу (1) p/n+x/n=p+x/n. Таким образом, m=p+x, но m, p и x _числа натуральные, а для них эта запись означает, что x=m-p.

Приходим к следующему правилу:

M/n-p/n=m-p/n (2)

Умножение и деление.

На рис.3 приведены такие отрезки : a, e, и e1, что a=11/3e; e=6/5e1. Надо узнать, каким будет значение длины данного отрезка а при единице длины е1. Так как 3a =11e, а 5е=6е1, то, умножив первое равенство на 5, а второе на 11, получим 5*3а=11*5е и 11*5е=6*11е1, или 15а=66е1. Последнее равенство означает, что а=66/15е1, т.е. длина отрезка а при единице длины е1 выражается числом 66/15, которое целесообразно рассматривать как произведение 11/3 и 6/5.

Определение Если положительные рациональные числа представлены дробями m/n и p/q, то их произведение есть число, представленное дробью mp/nq

m/n*p/q=mp/nq (3)

Определение Частное двух положительных рациональных чисел a и b называется такое число с , что a=b*c. Частное двух положительных рациональных чисел находят по формуле:

m/n:p/q=mq/np (4)

Рис.3

Заметим, что знак черты в записи дроби m/n можно рассматривать как знак действия деления. Действительно, возьмем два натуральных числа m и n, и найдем их частное по правилу (4):

m:n=m/1:n/1=m*1/n*1=m/n

Обратно, если дана дробь m/n , то m/n=m*1/n*1 . Так как m/n=m:n, то любое положительное рациональное число можно рассматривать как частное двух натуральных чисел. Кстати, термин «рациональное число» произошел от латинского слова ratio, что в переводе на русский язык означает «отношение» (частное).