Нестандартные, эвристические задачи

2.3. Нестандартные, эвристические задачи.

Какая задача называется нестандартной? «Нестан­дартные задачи — это такие, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения»[9].

Однако следует заметить, что понятие «нестандартная задача» является относительным. Одна и та же задача может быть стандартной и нестандартной, в зависимости от того, знаком решающий задачу со способами решения задач такого типа или нет. Например, задача «Представьте выражение 2х² + 2у² в виде суммы двух квадратов» ([5], № 1264) является для учащихся нестандартной до тех пор, пока учащиеся не познакомились со способами решения таких задач. Но если после решения этой задачи учащимся предложить несколько аналогичных задач, такие задачи становятся для них стандартными. Аналогично задача «При каких натуральных значениях х и у верно равенство 3х + 7у = 23?» ([5], № 1278) является нестандартной для учащихся VII класса до тех пор, пока учитель не познакомит их со способами решения таких задач (что, кстати сказать, можно сделать при обучении учащихся математике уже в VI классе).

Таким образом, нестандартная задача — это задача, алгоритм решения которой учащимся неизвестен, то есть учащиеся не знают заранее ни способа ее решения, ни того, на какой учебный материал опирается решение.

К сожалению, иногда учителя единственным способом обучения решению задач считают показ способов решения определенных видов задач, после чего следует порой изнурительная практика по овладению ими. Нельзя не согласиться с мнением известного американского математика и методиста Д. Пойа, что, если преподаватель математики «заполнит отведенное ему учебное время натаскиванию учащихся в шаблонных упражнениях, он убьет их интерес, затормозит их умственное развитие и упустит свои возможности».

Как же помочь учащимся научиться решать нестандартные задачи?

Универсального метода, позволяющего решить любую нестандартную задачу, к сожалению, видимо нет, так как нестандартные задачи в какой-то степени неповторимы. Однако опыт работы многих передовых учителей, добивающихся хороших результатов в математическом развитии учащихся как у нас в стране, так и за рубежом, позволяет сформулировать некоторые методические приемы обучения учащихся способам решения нестандартных задач.

В литературе (отечественной и зарубежной) методические принципы обучения учащихся умением решать нестандартные задачи описаны неплохо. Наиболее удачными, на наш взгляд, в этом отношении являются книги Д. Пойа «Как решать задачу», «Математическое открытие», «Математика и правдоподобные рассуждения» Л. М. Фридмана, Е. Н. Турецкого «Как научиться решать задачу», Ю. М. Колягина, В. А. Оганесяна «Учись решать задачи». И хотя некоторые из них адресованы учащимся, желающим научиться решать задачи, они, без сомнения, могут быть использовании учителями при обучении школьников умениям решать нестандартные задачи.

Прежде всего отметим, что научить учащихся решать задачи (в том числе и нестандартные) можно только в том случае, если у учащихся будет желание их решать, то есть если задачи будут содержательными и интересными с точки зрения ученика. Поэтому проблема первостепенной важности, стоящая перед учителем,— вызвать у учащихся интерес к решению той или иной задачи. Необходимо тщательно отбирать интересные задачи и делать их привлекательными для учащихся. Как это сделать — решать самому учителю. Наибольший интерес вызывают у учащихся задачи, взятые из окружающей их жизни, задачи, естественным образом связанные со знакомыми учащимся вещами, опытом, служащие понятной ученику цели.

Другой пример. Желая научить учащихся решать в натуральных числах уравнения вида ах + by = с, можно, конечно, предложить учащимся выполнить упражнение № 1278 из [20] (При каких натуральных значениях х и у верно равенство 3х+7у=23?). Но, как показывают наши наблюдения, учащиеся легче и с бóльшим интересом учатся способам решения таких уравнений, если им предложить, например, следующую задачу: «Чтобы купить вещь, нужно уплатить 19 р. У покупателя только трехрублёвые купюры, у кассира только десятирублевые. Может ли покупатель расплатиться за покупку? А если у кассира только пятирублевые купюры?» Много таких же интересных задач на соответствующую тематику имеется в журнале «Квант».

Мы понимаем, конечно, что нельзя приучать учащихся решать только те задачи, которые вызывают у них интерес. Но нельзя и забывать, что такие задачи учащийся решает легче и свой интерес к решению одной или нескольких задач он может в дальнейшем перенести и на «скучные» разделы, неизбежные при изучении любого предмета, в том числе и математики.

Таким образом, учитель, желающий научить школьников решать задачи, должен, на наш взгляд, вызвать у них интерес к задаче, убедить, что от решения математической задачи можно получить такое же удовольствие, как от разгадывания кроссворда или ребуса.

Задачи не должны быть слишком легкими, но и не должны быть слишком трудными, так как учащиеся, не решив задачу или не разобравшись в решении, предложенном учителем, могут потерять веру в свои силы. Не следует предлагать учащимся задачу, если нет уверенности, что они смогут ее решить. Решение нестандартной задачи — очень сложный процесс, для успешного осуществления которого учащийся должен уметь думать, догадываться. Необходимо также хорошее знание фактического материала, владение общими подходами к решению задач, опыт в решении нестандартных задач.

В процессе решения каждой задачи и ученику, решающему задачу, и учителю, обучающему решению задач, целесообразно четко разделять четыре ступени: 1) изучение условия задачи; 2) поиск плана решения и его составление; 3) осуществление плана, то есть оформление найденного решения; 4) изучение полученного решения — критический анализ результата решения и отбор полезной информации.

Даже при решении несложной задачи учащиеся много времени тратят на рассуждения о том, за что взяться, с чего начать. «Чтобы помочь учащимся найти путь к решению задач, учитель должен уметь поставить себя на место решающего задачу, попытаться увидеть и понять источник его возможных затруднений, направить его усилия в наиболее естественное русло. Умелая помощь ученику, оставляющая ему разумную долю самостоятельной работы, позволит учащемуся развить математические способности, накопить опыт, который в дальнейшем поможет находить путь к решению новых задач.»[10]

«Лучшее, что может сделать учитель для учащегося, состоит в том, чтобы путем неназойливой помощи подсказать ему блестящую идею… Хорошие идеи имеют своим источником прошлый опыт и ранее приобретенные знания… Часто оказывается уместным начать работу с вопроса: «Известна ли вам какая-нибудь родственная задача?» (Пойа Д.). Таким образом, хорошим средством обучения решению задач, средством для нахождения плана решения являются вспомогательные задачи. Умение подбирать вспомогательные задачи свидетельствует о том, что учащийся уже владеет определенным запасом различных приемов решения задач. Если этот запас не велик (что вполне очевидно для учащихся VII классов), то учитель, видя затруднения учащегося, должен сам предложить вспомогательные задачи. «Умело поставленные вспомогательные вопросы, вспомогательная задача или система вспомогательных задач помогут понять идею решения. Необходимо стремиться к тому, чтобы учащийся испытал радость от решения трудной для него задачи, полученного с помощью вспомогательных задач или наводящих вопросов, предложенных учителем.»[11]

Так, когда учащиеся затрудняются решить с помощью составления уравнения задачу «К некоторому двузначному числу слева и справа приписали по единице. В результате получили число в 23 раза большее первоначального. Найдите это двузначное число» ([21], № 1254), то в качестве вспомогательных задач можно предложить следующие:

             К числу х приписали справа цифру 4. Представьте полученное число в виде суммы, если х: а) двузначное число; б) трехзначное число.

             К числу у приписали слева цифру 5. Представьте полученное число в виде суммы, если у: а) двузначное число; б) трехзначное число.

Для приобретения навыков решения довольно сложных задач нужно приучать школьников больше внимания уделять изучению полученного решения. Для этого можно предложить учащимся видоизменять условия задачи, чтобы закрепить способ ее решения, придумывать задачи аналогичные решенным, более или менее трудные, с использованием найденного при решении основной задачи способа решения.

Например, решив задачу «В двух бочках было воды поровну. Количество воды в первой бочке сначала уменьшилось на 10%, а затем увеличилось на 10%. Количество воды во второй бочке сначала увеличилось на 10%, а затем уменьшилось на 10%. В какой бочке стало больше воды?» ([21], №1245), нужно задать учащимся вопросы: если вместо 10% взять 20%, 30%, а%? Какой вывод можно сделать?

Систематическая работа по изучению способов решения задач помогает учащимся не только научиться решать задачи, но и самим их составлять.

Так, после решения задачи «Докажите, что уравнение х² – у² = 30 не имеет решений в целых числах» ([21], № 1272), можно предложить учащимся попытаться сформулировать рассмотренную задачу в общем виде. Это будет выглядеть так: «Докажите, что уравнение х² ‑ у² = 4р + 2 (р — простое число) не имеет решения в целых числах».

Конструирование задач — интересное занятие, один из верных способов решать задачи.

Умение учащихся составлять нестандартные задачи, решаемые нестандартными способами, свидетельствует о культуре их мышления, хорошо развитых математических способностях.

Мы думаем, учитель должен постоянно помнить, что решение задач является не самоцелью, а средством обучения. Обсуждение найденного решения, поиск других способов решения, закрепление в памяти тех приемов, которые были использованы, выявление условий возможности применения этих приемов, обобщение данной задачи — все это дает возможность школьникам учиться на задаче.

Именно через задачи учащиеся могут узнать и глубоко усвоить новые математические факты, овладеть новыми математическими методами, накопить определенный опыт, сформировать умения самостоятельно, и творчески применять полученные знания.

О нахождении способов решения задач.

Огромная значимость нахождения школьниками различных способов решения задач по математике не раз отмечалась на страницах методической литературы. Однако наши наблюдения показывают, что на уроках, как правило, рассматривается лишь один из способов решения задачи, причем не всегда наиболее рациональный. Приводимая в таких случаях аргументация в виде отсутствия достаточного количества времени на решение одной задачи различными способами не имеет под собой основы: для математического развития учащихся, для развития их творческого мышления гораздо полезнее одну задачу решить несколькими способами (если это возможно) и не жалеть на это времени, чем несколько однотипных задач одним способом. Из различных способов решения одной и той же задачи надо предложить учащимся выбрать наиболее рациональный, красивый.

«При отыскании различных способов решения задач у школьников формируется познавательный интерес, развиваются творческие способности, вырабатываются исследовательские навыки. После нахождения очередного метода решения задачи учащийся, как правило, получает большое моральное удовлетворение. Учителю, как нам кажется, важно поощрять поиск различных способов решения задач, а не стремиться навязывать свое решение. Общие методы решения задач должны стать прочным достоянием учащихся, но наряду с этим необходимо воспитывать у них умение использовать индивидуальные особенности каждой задачи, позволяющие решить ее проще. Именно отход от шаблона, конкретный анализ условий задачи являются залогом успешного ее решения».[12]

«Целостная эвристическая задача требует следующих умений: анализировать её условие; преобразовывать основные проблемы в ряд частных, подчинённых главной; проектировать план и этапы решения; формулировать гипотезу; синтезировать различные направления поисков; проверять решение и т.д.»[13] Система специально разработанных эвристических задач помогает школьнику овладеть умением самостоятельно выполнять каждый из этапов решения.

Эвристическими можно считать те задачи, решение которых предполагает хотя и управляемый учителем, но самостоятельный поиск еще неизвестных школьнику закономерностей, способов действия, правил. Такие задачи возбуждают активную мыслительную деятельность, поддерживаемую интересом, а сделанное самими учащимися «открытие» приносит им эмоциональное удовлетворение и гораздо прочнее закрепляется в их памяти, чем знания преподнесенные в «готовом» виде. Эта активная самостоятельная мыслительная деятельность приводит к формированию новых связей, свойств личности, положительных качеств ума и тем самым — к микросдвигу в их умственном развитии (Н. А. Менчинская, А. М. Матюшкин).

Выбор задач для эвристического обучения прежде всего зависит от специфики их содержания. Материал описательного характера, подлежащий усвоению, вряд ли может служит средством эвристического обучения. «Такими могут стать задачи на применение уже известных закономерностей в относительно новых условиях, но таких, которые предполагают более или менее значительную перестройку знакомых способов решения, выбор из многих возможных вариантов наиболее рационального способа действия, применение общих теоретических положений, принципов решений в реальных практических условиях, требующих внесения в них конструктивных изменений, и т. д.» [14] (таких задач немало в производственной деятельности человека).

Наибольший эффект при эвристическом обучении дают задачи, предполагающие открытие новых для учащихся причинно-следственных связей, закономерностей, общих признаков решения целого класса задач, в основе которых лежат еще не известные субъекту отношения между определенными компонентами исследуемых конкретных ситуаций. Ранее уже было отмечено, что наиболее выразительной формой эвристического метода является эвристическая беседа, состоящая из серии взаимосвязанных вопросов, каждый из которых служит шагом на пути решения проблемы и которые требуют от учащихся осуществления небольшого поиска. «Учитель направляет поиск, последовательно ставит проблемы, формулирует противоречия и т.д. [15]»

«Степень сложности задачи определяется числом существенных взаимосвязей в ее условии, числом опосредований и преобразований, приводящих к нахождению искомого.»[16] Зависит она и от уровня самостоятельности при постановке и решении проблемы.

Таковы некоторые более внешние, поддающиеся объективной оценке условия, определяющие эвристичность задач.

Наиболее эффективное средства для создания у школьников эвристических ситуаций — использование противоречий, конфликта между усвоенными знаниями, знакомыми способами решения определенного класса задач и теми требованиями, которые предъявляет новая задача; школьники должны убедиться в том, что решение задач на основе уже имеющихся знаний приводит к ошибкам. Учитель сознательно заостряет конфликт, подчеркивает возникающее противоречие, стимулирует попытки найти выход из создавшегося положения, разрешить противоречие.

2.3.1. Примеры эвристических уроков

Рассмотрим некоторые виды уроков, которые можно провести в качестве эвристических.

Творческие лаборатории

Структура уроков при эвристическом обучении предполагает организацию творческой, поисковой математической деятельности учащихся с различным уровнем учебных и математических способностей. Дифференцированный подход помогает в условиях классно-урочной системы обучения реализовать творческие возможности всех учащихся.

 Например, при изучении в 7 классе темы «Выражения» можно предложить учащимся дифференцированные творческие задания на уроке:

1.         составить задачу для самостоятельной работы на следующем урокке;

2.         выполнить упражнение [22; №58]с графическим комментированием;

3.         написать творческую работу, используя слова по данной теме.

Задание на дом тоже выбирается школьниками. Таким образом, начиная с 7 класса, учащиеся будут вовлекаться в доступную им творческую деятельность по математике: подбирать и создавать задачи; подбирать задачи-иллюстрации для демонстрации рассматриваемых единиц; искать нестандартные задачи, парадоксы, шутки, кроссворды; будет очень познавательно сделать иллюстрации к урокам алгебры по типу «Алгебра в рисунках» или выпустить математический листок «Знаете ли вы?».

Работа по развитию мматематической речи учащихся на основе иллюстративного материала.

 Речевые ситуации, созданные с помощью слова учителя и средств наглядности, являются ситуациями воображаемыми, поэтому при создании таких ситуаций от преподавателя и ученика требуется немалая доля творчества. Надо поставить школьника в такие условия, чтобы он говорил не потому, что обязан, а прежде всего потому, что ему интересно выразить свое отношение. В учебниках по математике [18-21,27] мало творческих заданий по рисункам. Творческие задания на основе изобразительной наглядности не только обеспечивают мотивацию высказывания, но и развивают у детей творческое воображение, наблюдательность, содействуют формированию математических коммуникативных умений.

Например, можно предоставить каждому ребенку следующий рисунок (домик из знакомых геометрических фигур) и попросить рассказать его о том, какие фигуры он заметил и какие они имеют свойтсва:

 

В ряде случаев будут уместны корректирование и редактирование задач, примеров, которые содержат опечатки или же их решения с ошибками. Подобные упражнения обеспечивают концентрацию внимания, а также самопроверку – при непременном контроле со стороны учителя. Внимание активизируется творческим заданием, предполагающим обоюдную готовность учителя и ученика к нестандартным творческим решениям.

Этимологические экскурсы (Толкование математических терминов) неизменно будет привлекать и концентрировать внимание ребят всех возрастных групп как вероятный фактор ассоциаций.

Например, на уроках можно познакомить ребят со сведениями из истории математических слов или наоборот - дать домашнее задание объяснить какие-то математические термины.

Составление опорных сигналов чтобы закрепить математическую закономерность и окончательно освоить её, не боясь ошибки в дальнейшем, учащийся должен «увидеть» правило в системе небольшого количества ярких и запоминающихся знаков, схем [28]. Этому и служит прием составления схем. Не стоит давать их в готовом виде, т.к. их использование малопродуктивно. Ребята должны составлять их сами. Индивидуальные опорные схемы должны соответствовать следующим требованиям:

 1) информационная насыщенность; 2) яркость и контрастность; 3) минимум текста и графических обозначений; 4) закрепление примерами; 5) возможность текстовой интерпретации.

Индивидуальная работа над ошибками. Ряд учащихся делает ошибки в определенных местах, в определенных задачах, причем нередко это объясняют невнимательностью, что не всегда справедливо. Обнаруженные у некоторых вполне внимательных учеников традиционные ошибки требуют индивидуальной работы.

Когда ошибка сделана, учитель требует её прокомментировать. Но отклик будет чисто формальным, если он основан на навязываемой позиции: «Почему не так?» Важно, чтобы была избрана аргументированная позиция: «В силу чего ошибка сделана? »- или творческая: «Ошибка ли это?» Диалог при этом должен вестись как поблемно-поисковый, позволяющий избегнуть долгого поиска нужного правила.

Стандартная работа над ошибками создает психологический дискомфорт, поскольку не учитывает сомнения и вопросы, нередко возникающие у ребят. Необходим отклик, которого в этом случае учитель не слышит, да и не предполагает. Творческая работа над ошибками, наоборот, делает возможным отклик: она действительно актуальна для ученика.

Таким образом, можно сделать вывод, что творческие способности развиваются не тогда, когда мы говорим детям о необходимости их развития, а тогда, когда мы сумеем развивать их сами и показывать это ребятам в общении; что следует поощрять сомнения, возникающие по отношению к общепринятым предположениям. Творческим личностям свойственно сомневаться в решениях, принимаемых другими людьми. Конечно, учащиеся не должны подвергать сомнению любое исходное положение, но каждый должен уметь находить объект, достойный сомнения. Так же нужно разрешать делать ошибки - «Не ошибается только тот, кто ничего не делает».[17] Надо поощрять разумный поиск, творческие идеи и результаты творческой деятельности. Креативность не изнашивается с возрастом, а подавляется учениками, учителями. Позволяя ученикам рисковать, и даже поощряя их в этом, мы поможем раскрыть их творческий потенциал. Например, если ученик пошел на разумный риск, работая над контрольной работой (задачей), ища свое «новое» решение, надо поощрять его, даже если результат работы не очень удовлетворителен. Необходимо включать в программу обучения разделы, которые позволили бы учащимся демонстрировать их творческие способности, проводить проверку усвоения материала таким образом, чтобы у учащихся была возможность применить и продемонстрировать их творческий потенциал. Следует подготовить к препятствиям, встречающимся на пути творческой личности. Творчество – это не только умение мыслить творчески, но и умение не сдаваться, встречая сопротивление, отстаивать свое мнение, добиваясь признания.

Заключение

 Таким образом, одним из основных методов, который позволяет учащимся проявить творческую активность в процессе обучения математике, является эвристический метод.

 Известно, что в процессе изучения математики школьники часто сталкиваются с различными трудностями. Однако в обучении, построенном эвристически, эти трудности часто становятся своеобразным стимулом для изучения. Так, например, если у школьников обнаруживается недостаточный запас знаний для решения какой-либо задачи или доказательства теоремы, то они сами стремятся восполнить этот пробел, самостоятельно "открывая" то или иное свойство и тем самым сразу обнаруживая полезность его изучения. В этом случае роль учителя сводится к тому, чтобы организовать и направить работу ученика, чтобы трудности, которые ученик преодолевает, были ему по силам.

Нередко эвристический метод выступает в практике обучения в форме так называемой эвристической беседы. Опыт многих учителей, широко применяющих эвристический метод, показал, что он влияет на отношение учащихся к учебной деятельности. Приобретя "вкус" к эвристике, учащиеся начинают расценивать работу по "готовым указаниям", как работу неинтересную и скучную. Наиболее значимыми моментами их учебной деятельности на уроке и в домашних условиях становятся самостоятельные "открытия" того или иного способа решения задачи. Явно возрастает интерес учащихся к тем видам работ, в которых находят применение эвристические методы и приемы. [8]

Ценность эвристических уроков по математике заключается в том, что учащиеся самостоятельно добывают новые знания, учаться их применять исходя из уже имеющегося опыта, учитель лишь подводит их правильному решению. Эвристическое обучение на уроке математики способствует формированию своей точки зрения, своей позиции, своего математического и не только миропонимания.

Важно помнить, что как бы ни хорош был метод эвристической беседы, его нельзя гипертрофировать и считать универсальным методом. Выделив познавательную задачу урока, учитель должен решить, целесообразно ли давать ее методом эвристической беседы. К сожалению, на частое применение эвристического метода в процессе обучения поставленных учебных проблем требуется гораздо больше учебного времени, чем на изучение этого же вопроса методом сообщения учителем готового решения (доказательства, результата). Поэтому учитель не может использовать эвристический метод преподавания на каждом уроке. К тому же длительное использование только одного (даже весьма эффективного метода) противопоказано в обучении. Однако следует отметить, что "время, затраченное на фундаментальные вопросы, проработанные с личным участием учащихся,- не потерянное время: новые знания приобретаются почти без затраты усилий благодаря ранее полученному глубокому мыслительному опыту". [18]

У эвристического метода обучения есть еще один недостаток - в большой степени применение этого метода зависит от уровня обученности и развития учащихся, особенно от сформированности их познавательных умений, а опыта и образованности учителя.

Необходимо и далее разрабатывать и усовершенствовать приемы и методы эвристического обучения на уроках математики.

Анализируя проделанную работу можно сделать ряд выводов:

1. Нам удалось достичь основной цели данного исследования — составить ряд эвристических методических приемов и задач, включенных в обычные программные уроки.

2. Анализ учебного материала, предшествующий практической части работы, позволил структурировать отобранный материал наиболее логичным и приемлемым способом, в соответствии с целями исследования.

3. Результатом проведенной работы являются несколько методических рекомендаций к курсу математики:

1) В целях совершенствования преподавания математики целесообразна дальнейшая разработка новых методик использования нестандартных задач.

2) Систематически использовать на уроках эвристические задачи, способствующие формированию у учащихся познавательного интереса и самостоятельности.

3) Целесообразно использование на уроках задач на сообразительность, задач-шуток, математических ребусов, софизмов.

4) Учитывать индивидуальные особенности школьника, дифференциацию познавательных процессов у каждого из них, используя эвристические задания различного типа.

Таким образом, работа над путями и условиями реализации творческого обучения дело важное и необходимое. Поиск новых путей активизации творческой деятельности школьников является одной из неотложных задач современной психологии и педагогики.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

А.Н.Чанышев. «Курс лекций по древней философии», М.: «Высшая школа», 1981. Д.Пойа «Математика и правдоподобные рассуждения», М.: «Наука».,1975. Ушинский К.Д. Собр. Соч. «К технологиям интенсификации творчества в процессах профессионального образования», Обр. и наука, 2002. - № 3. - С.10-29. (статья) И.П. Волков, «Педагогический поиск», М.: Педагогика, 1987 Коменский Я.А., «Великая дидактика», М.: Педагогика, 1989 Андреев В.И., «Диалектика воспитангия и самовоспитания творческой личности. Основы педагогики творчества», Казань, 1988 Кулюткин Ю.К., «Эвристические методы в структуре решений», М.: Педагогика, 1970 Ильина Т.А., «Педагогика», М.: Просвещение, 1984 Лезан Ф., "Развитие математической инициативы", М.: Наука, 1989 Выготский Л.С., «Педагогическая психология», М.: Педагогика-Пресс, 1996 Окунев А.А., «Как учит не уча», Спб.: Питер-пресс, 1996 Лернер И.Я., «Прооблемное обучение», М.: Знание, 1974 Крутецкий В. А. Психология математических способностей школьников. М., 1968. Пономарев Я. А. , «Психология творческого мышления», М.: Наука, 1960. Рубинштейн С. Л., «О мышлении и путях его исследования», М.: Просвещение, 1958. Сойер У. У., "Прелюдия к математике", М.: 1972, Просвещение. Алгебра: Пробный учебник для 6 класса средней школы. Ш. А. Алимов, Ю. М. Калягин, Ю. В. Сидоров, М. И. Шабурин. М., 1988. Алгебра: Пробный учебник для 7 класса средней школы. Ш. А. Алимов, Ю. М. Калягин, Ю. В. Сидоров, М. И. Шабурин. М., 1988. Алгебра: Учебник для 6 класса средней школы. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. С. Муравин и др.; Под ред. С. А. Теляковского. М., 1987. Алгебра: Учебник для 7 класса средней школы. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. С. Муравин и др.; Под ред. С. А. Теляковского. М., 1987. Хуторской А.В., «Эвристическое обучения», М.: 1998 Воробьёв Г.Г. «Школа будущего начинается сегодня», М., 1991 Жук О.Л. «Педагогика», Минск, Бгу, 2003 Фридман Л. М., Турецкий Е. Н. «Как научиться решать задачи», М., Просвящение, 1989. Колягин Ю. М., Оганесян В. А. Учись решать задачи, М., 1985 Алгебра: Учебник для 6 класса средней школы. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. С. Муравин и др.; Под ред. С. А. Теляковского. М., 1989 Шаталов В.Ф.

[1] И.Я.Лернера, В.А.Сухомлинского, А.Н.Окунева.

[2] Бахтин М.М. «Избранное», М.: Просвещение. 1986

[3] Якиманская И. С. «Развивающее обучение», М., 1979

[4] Сериков В. В. «Личностно-ориентированное образование», М., Педагогика, 1994

[5] Семенов Е.М., Горбунова Е.Д. «Развитие мышления на уроках математики», Свердловск, 1966

[6] Дистервег А. , Избранные пед. сочинения» , М., 1956

[7] Российская педагогическая энциклопедия, 2т. - М., 1999, с.420.

[8] Матюшкин А.М. «Проблемные ситуации в мышлении и обучении», Москва, 1972

[9] Фрид­ман Л. М., Турецкий Е. Н. Как научиться решать задачи.— М.: Просвещение, 1989.— С. 48

[10] И.П. Волков, «Педагогический поиск», М.: Педагогика, 1987

[11] там же

[12] Фридман Л. М., Турецкий Е. Н. «Как научиться решать задачи», М., Посвящение, 1989

[13] Хуторской А.В. «Эвристическое обучение», Москва, 2000

[14] Т. В. Кудрявцев «Решение задач», Москва, 1985

[15] Хуторской А.В. «Эвристическое обучение», Москва, 1998

[16] Матюшкин А.М. «Проблемные ситуации в мышлении и обучении», Москва, 1972

[17] Шаталов В.Ф., «Точка опоры», М., Н.и Обр., 1987

[18] Окунев А.А., «Как учит не уча», Спб.: Питер-пресс, 1996