Требования программы

2.2. Требования программы.

Геометрический материал (как и алгебраический) не выделяется в программе и в реальном процессе обучения в качестве самостоятельно раздела. Вопросы геометрического содержания рассматриваются всегда, когда это оказывается возможным, в тесной связи с рассмотрением остальных вопросов курса. Однако, как это отмечено в объяснительной записке к программе, в изложении вопросов геометрии должна соблюдаться и собственная логика, подчиненная основным целям включения этого материала в курс.

Цели же эти состоят прежде всего в развитии пространственных представлений у детей, в формировании у них представлений о геометрических фигурах различных видов (точке, прямой и кривой линиях, отрезке, прямой, ломаной, прямом и непрямом угле, различных видов многоугольников, круге, окружности). Дети должны научиться изучать, различать и изображать эти фигуры как в тех случаях когда каждая из них предлагается им в изолированном виде, так и в тех, когда знакомая фигура представляет собой части другой, составлять фигуры из нескольких данных и т.п.

При ознакомлении с геометрическим материалом значительное место уделяется измерениям: дети должны находить длину отрезка (1 класс), длину ломаной, периметр данного многоугольника (2 класс), площадь прямоугольника (3 класс).

При этом определения понятий детям не сообщаются (и соответственно от учащихся не требуется их знания). Вместе с тем по отношению к ряду понятий (например, по отношению к прямоугольнику, квадрату и т.д.) указываются те существенные признаки, которые фактически отражают содержание этих понятий и дают возможность выделять соответствующие фигуры из класса фигур, относящихся к ближайшему родовому понятию («прямоугольник – четырехугольник, у которого все углы прямые», «квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны» и т.п.). Дети должны научиться практически использовать соответствующие признаки при узнавании различных фигур, их классификацию.

Вопросы геометрического содержания рассматриваются главным образом на основе практических работ, связанных со сгибание листа бумаги, вычерчиванием фигур и пр. Формирование элементарных навыков черчения выделяется специальное внимание. В программе указано время, когда дети должны научиться пользоваться линейкой – угольником, предусмотрено , какие простейшие построения и измерения они должны выполнять. Это вычерчивание отрезков заданной длины и измерение отрезков с помощью мерной линейки, построение на клетчатой бумаге прямоугольника (квадрата). Дети должны пользоваться циркулем для вычерчивания окружностей заданного радиуса, с центром в заданной точке, научиться строить прямой угол и прямоугольники на нелинованной бумаге с помощью чертежного угольника.

Рассмотрение вопросов, связанных с измерением естественно увязывается с работой над числами и арифметическими действиями. Геометрические фигуры часто служат средством наглядной интерпретации, рассматриваемых арифметических вопросов (смысла, сложения, вычитания, умножения, деления, некоторых их свойств и т.п.).

Приобретенные знания, умение, навыки и при изучении геометрического материала находят применение не только в входе практических упражнений, но и при решение текстовых задач.

Задачи и содержание работы по изучению элементов наглядной геометрии.

Основные задачи изучения геометрического материала в 1-4 классах заключаются в том, чтобы создать у детей четкие и правильные геометрические образы, развить пространственные представления, вооружить их навыками черчения и измерения, имеющими большое жизненно – практическое значение, и тем самым подготовить учеников к успешному изучению систематического курса геометрии.

Формирование геометрических представлений является важным разделом умственного воспитания, политехнического образования, имеют широкое значение во всей познавательной деятельности человека.

Какое содержание вкладывается в понятие пространственное представление? Надо иметь в виду, что пространственные представления носят синтетический характер, включая форму, положение, величину, направление и другие пространственные отношения и связи.

Задача развития у младших школьников геометрических представлений, способности к обобщению состоит в том, чтобы научить их видеть геометрические образы в окружающей обстановке, выделять их свойства, конструировать, преобразовывать и комбинировать фигуры, изображать их на чертеже, выполнять в необходимых случаях измерения.

В содержании начального геометрического образования должны найти свое отражение – пусть в самой элементарной и доступной детям форме – основные геометрические идеи – движения преобразования, инвариантности основных свойств геометрических фигур. Уже на первой ступени приобщения к геометрическим знаниям дети должны получить первоначальную ориентировку во взаимном расположении фигур, в умении выделять изучаемые фигуры как элементы тел. Арифметические и геометрические знания должны тесно сочетаться и находиться в органическом единстве.

В соответствии с программой начальных классов дети знакомятся с прямой линией, отрезком, измерением и вычерчиванием отрезков, с их разностным и кратким сравнением, с углами (прямой, тупой, острый), с прямоугольником, квадратом и их свойствами, с вычислениями их периметров и площадей, с геометрическими телами: кубом и прямоугольным параллелепипедом; с их некоторыми свойствами, с вычислением их объемов. Программой предусмотрено провешивание и измерение прямой линии, проведение измерительных работ на местности.

Хотя такое содержание геометрического материала не вполне соответствует целям и задачам геометрического материала в начальных классах, тем не менее, как свидетельствует опыт передовых учителей, программа дает возможности для осуществления в известной мере указанных выше геометрических идей и для повышения уровня геометрических знаний учащихся.

Общее направление, в котором должно проходить изучение геометрического материала формулировано в объяснительной записке к программе: «процесс изучения геометрического материала» должен быть от начала до конца активным, конкретным, наглядным. Все обучение следует сопровождать практическими упражнениями при этом учащиеся будут воспринимать не только готовые геометрические фигуры и тела, они сами будут создавать и воспроизводить изучаемые геометрические формы, используя для этого вырезание и наклеивание, моделирование, вырезание разверток и склеивание, черчение, образование фигур на подвижных моделях, а так же путем перегибания листа бумаги. Полученные знания сейчас же используются детьми на практики не только на уроках арифметики, когда находят периметр, площадь и др., но и на уроках труда, рисование, в работе на школьном учебно-опытным участке, на уроках природоведения.

В этих указаниях большое значение придается наглядности, практическим работам. И это правильно; вторая сигнальная система развивается на основе первой, по этому при первоначальном знакомстве учащихся с геометрией не обходимо обращаться к наглядности, конкретным геометрическим образам. Наглядности и практические работы учеников должны преследовать не только узко – практические цели, но и развития кругозора детей, способности обобщения и абстрагированию, развитие геометрических представлений и геометрического воображения.

Наблюдения и практические лабораторные работы, решение задач – всё это должно приводить к накоплению фактов и к обобщениям, которые получат дальнейшее развитие в систематическом курсе. Так, например, при изучении прямой линии с помощью практических работ дети приобретают опыт подводящих их к пониманию свойств прямой линии. То же самое можно сказать и об изучении других фигур, тел. И здесь нужно применять также формы заданий, которые способствуют накоплению фактов,подготавливающих к изучению систематического курса геометрии.

Одним из важных методических принципов изучения геометрического материала, является связь его с другими предметами: с арифметикой, рисованием, трудом, поведением. “Математика есть, наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира”(Энгельс). Обе эти стороны математики должны быть тесно связанны между собой, взаимно дополнять и обеспечивать друг друга.

Вопрос об использовании геометрических объектов при изучении арифметики разработал П.А. Компанийцем в книге “Особенности преподавании геометрии в тесной с арифметикой в 1 – 4 классах”. Предлагаемая им система упражнений по арифметики с использованием геометрических образов построена так, что изучение арифметики в некоторой степени способствует геометрическому образованию. Уже в пределах первого и второго десятков при изучении нумерации используется отрезки, квадраты, кубы в различном расположении. На первых порах обучения автор рекомендует знакомить детей не только с линейным, но и с квадратными и кубическими единицами, не связывая их пока с понятием о площади или объёме. Квадратические и кубические единицы используется и дальше, при изучении нумерации, но попутно с этим идёт подготовка к изучении площади; учащиеся вычёркивают в тетради квадратный сантиметр, затем полоску из 10 кв.см.и квадрат из 10 полосок, то есть квадрат с площадью 100 кв.см, и узнают, что из 100 кв.см, можно составить 1 квадратный дециметр. Здесь имеется и развитие идеи десятичной системы счисления, и подготовка к изучению квадратных мер, и подготовка к изучению способа вычисления площади квадрата. Даются упражнения по подчёту числа квадратных единиц, на которые разбиваются прямоугольник. Таблица умножения Пифагора дана в геометрической форме, даётся геометрическое истолкование умножения двузначного числа на двузначное. В геометрической форме излагается порядок выполнения арифметических действий и многие другие вопросы арифметики. Опыт П.А.Компанийца интересен как одна из возможностей установления органической связи арифметики с геометрией.

Широкое использование находят геометрические образы при решении арифметических задач; сюда относится графическое изображение условия задачи, применение масштаба, связь количественных и пространственных представлений, изображение в виде отрезка расстояния между двумя пунктами в задачах на движение и др. Существует задачи, в которых геометрические образы выступают на первый план. Возьмём, например, задачу 1: Велосипедист выехал из пункта А в пункт В. Проехав 500 м, он обнаружил, что потерял ключ. Вернувшись на 100 м. назад, он увидел ключ на дороге. Подобрав его, он снова двинулся к пункту В и, проехав ещё 800 м., достиг его.

Каково расстояние между пунктами А и В

1. 500 м. – 100 м. = 400 м. 2. 400 м. + 800 м. = 1200 м.

_{500 м 800м}

А В

На уроках рисования непосредственно используются элементы геометрии. Эти уроки носят в ряде случаев подготовительный характер. Они помогают накоплению факторов и наблюдений, которые должны быть использованы в геометрии.

На уроках рисования в 1 и 2 классах, моделями для рисунков является предметы, близкие по своей форме к простейшим геометрическим фигурам. В процессе рисования дети не только познают форму предметов, но и примерные количественные соотношения частей предметов, их взаимное расположение, направление линии. В 3 и 4 классах существенно новым является изображение тел, на плоскости, причём здесь играет роль расположение предметов, и, следственно, геометрических. Образ раскрывается с различных точек зрения. При этом дети рисуют предметы, близкие по форме к простейшим геометрическим телам: стакан, коробка, яблоко, пирамида. Учитывая это, следует устанавливать предметные связи, между значениями, полученными на уроках рисования, со знаниями, полученными при изучении начальной геометрии.

Уроки труда также тесно связаны с геометрией. Здесь это связь носит действительный характер. В процессе работы над материалам (бумагой, картоном, глиной) дети моделируют геометрические фигуры и тела, познают их свойства. Если на уроках рисования главную роль играли зрительные восприятия, то на уроках труда они дополняются осязанием и ощущениями при движении рук. Изготовляя изделия или детали, составляя узоры или украшения дети сталкиваются с большим разнообразием форм. Кроме того, учащиеся должны научиться выполнять чертежи и технические рисунки, что имеет исключительно важное значение в геометрическом образовании. Надо заметить, что работы по труду связаны с целым рядом фигур, линий в этих фигурах, в то время как в курсе наглядной геометрии изучают только прямоугольник и квадрат.

Уроки физкультуры также содержат моменты, с геометрическим образованием. Так, например, на этих уроках ученики получают ориентировку в направлении: на право, на лево, вверх, вниз, в горизонтальном и вертикальном направлении, в построение по прямой линии, в круг, по границе участков в форме прямоугольника, квадрата, в поворотов на прямой; развернутый, полный угол.

На уроках русского языка при чтении статей учащейся встречаются с выражениями о направлении, форме предметов, и их взаимном расположении,

Итак, при изучении всех учебных предметов идет накопление геометрических представлений о формах предметах, о их взаимном расположении. Задача состоит в том, чтобы координировать все эти виды работ, которые служат одной цели.

Общие вопросы методики изучения элементов наглядной геометрии.

Особое содержание геометрического материала, включенного в программу и реализованного в системе тщательно отобранных задач, направлено на формирование достаточно полной системы геометрических представлений (включающей образы геометрических фигур, их элементов, отношений между фигурами, их элементами0.

На этой основе формируются пространственные представления и воображение, развивается речь и мышление учащихся, организуется целенаправленная работа по формированию важных практических навыков.

Важнейшей задачей учителя является определение методики, раскрывающей содержание геометрического материала на том уровне, который должен быть достигнут учащимся к моменту их перехода в 4 класс, а также ведущих направлений изучение этого материала.

Для формирования геометрических представлений работа должна проводится следующим образом: свойство фигур учащиеся выявляют экспериментально, одновременно усваивают необходимую терминологию и навыки; основное место в обучении должны занимать практические работы учеников, наблюдения и работы с геометрическими объектами.

Оперируя разнообразными предметами, моделями геометрических фигур, выполняя большое число наблюдений и опытов, учащиеся подмечают наиболее общие их признаки (не зависящие от материала, цвета, положения, массы и т.п.)

В методики формировании геометрических представлений важно идти от «вещей» к фигуре (к её образу), а также, наоборот – от образа фигуры к реальной вещи.

Это достигается систематическим использованием приёма материализации геометрических образов. Например, прямая линия не только вычерчивается с помощью линейки, представление о ней даёт и край – ребро линейки, натянутая нить, линии сгиба листа бумаги, линия пересечения двух плоскостей (например, плоскости стены и плоскости потолка). Отвлекаясь от конкретных свойств материальных вещей, учащиеся овладевают геометрическими представлениями. Так, например, можно видоизменять способ деления многоугольника отрезком на части. В начале этого может быть перегибание бумажного многоугольника.

В этом случае отрезок (линия сгиба) реально делит многоугольник на две части. Этот опыт полезно продолжать, разрезав многоугольник по линии сгиба на два многоугольника. Несколько позже эту же задачу полезно решить на чертеже, в начале путем непосредственного проведения (вычерчивания) отрезка (рис.8), затем прикладывание указки (рис.9).

В первом классе в основном завершается первоначальное ознакомление с фигурами и их названиями. Это делается на основе рассмотрения окружающих вещей, готовых моделей и изображений фигур. У детей постепенно вырабатывается схема изучения фигур, схема анализа и синтеза, облегчающая усвоение свойств каждой фигуры.

Значительное место в методике должно отводится применению приема сопоставления и противопоставления геометрических фигур. В 1 классе это позволит из множества фигур наглядно (без помощи определений) выделят множество кругов, множество многоугольников, множество линий и т.д.); во 2 и 3 классах – уточнять свойства фигур, классифицировать их. Большое внимание следует уделять противопоставлению и сопоставлению плоских фигур (круг – многоугольник, окружность – круг и т.д.), плоских и пространственных фигур (квадрат – куб, круг – шар и пр.)

Причем эта работа должна проходить не только на уроках математики, но и на уроках труда и особенно на уроках рисования, когда воспроизведение формы предмета зависит от качества и глубины анализа, его геометрической формы. Например, при наблюдении и куба (или предмета, имеющего форму куба) следует найти в нем характерные тоски, отрезки, многоугольники; при наблюдении шара можно обратить внимание на его круглые сечения.

Уже при первоначальном ознакомлении детей с геометрическими фигурами в 1 классе дети выполняют умственные операции анализа и синтеза. Важной задачей учителя, определяющей методику обучения в этот момент, является анализ фигуры, на основе которого выделяются ее существенные свойства (признаки) и несущественные. Так, например, существенным для треугольника будет не его положение на плоскости (листе бумаги), не относительные размеры сторон, а наличие трех сторон (углов, вершин); для прямоугольника существенно то, что он четырехугольник (четыре угла) и все его углы прямые. Все остальное не существенно.

В процессе обучения возникает потребность применения геометрической и логической терминологии, символики, чертежей. Так, уже во 2 классе введение буквенной символики помогает не только различать фигуры и их элементы, но и является одним из средств формирования обобщений. Например, запись ОК< 5 см говорит о том, что отрезок ОК – любой отрезок, имеющий длину меньшую, чем 5 см.

Как показывает опыт обучения математики в 1-3 классах, под влиянием той легкости и интереса, с которыми учащиеся 1-3 классов воспринимают не только очевидные простые, но иногда трудные геометрические факты, учитель начинает недооценивать наглядный и практический подход к изучению геометрического материала, не выполняет минимума упражнений, помещенных в учебнике, обращает мало внимания на формирование практических навыков. Такой учитель встает на неверный и опасный путь формального ознакомления младших школьников с геометрическими фигурами. Он начинает знакомить детей с фигурами не путем их наблюдения, изготовления из бумаги и вычерчивания, а сообщая формальное определение, только словесным способом.

Например, учитель сообщает детям то определение понятия отрезка, которое ему самому запомнилось из школьного курса геометрии, думая, что этого будет достаточно для создания необходимого представления об отрезке.

Такой подход преждевремен. И если дети что-то и выносят из устного объяснения, то положительно воздействовать на них при этом будут не столько слова учителя, сколько показ чертежа отрезка. Более того, учитель должен хорошо помнить, что определить понятие – это значит точно выделить тот класс объектов, который охватывает данным понятием. Для этого мы должны знать все существенные признаки определяемого понятия и проверить, обладает данный объект всеми этими признаками или не обладает. Поэтому для этого, чтобы понять определение отрезка, сообщаемое учителем, ребенок должен иметь отчетливые представления о прямой линии и ее свойствах, о некоторых точках прямой, которые в данном случае «ограничивают отрезок и принадлежат отрезку». Но и этого мало. Если учитель сообщает детям, что «отрезком называется часть прямой, ограниченная двумя точками», то может возникнуть различное истолкование данного предложения в связи с его неточностью. Действительно, о какой части прямой идет речь – о той, точки, которые принадлежат прямой и лежат между граничными точками; или о той части прямой, которая включает все точки прямой, кроме точек, лежащих между граничными (два луча). Как много должен знать ученик, чтобы в этом случае понять учителя! Другое определение отрезка, которое, к сожалению, часто используют учителя: «Отрезком называется часть прямой, ограниченная с двух сторон», обладает еще большими недостатками.

Учитель не пойдет по такому пути, если будет и учитывать, что в процессе определения понятия каждый раз одно понятие (например, «квадрат») определяется через другое, более широкое («прямоугольник»), которое в свою очередь так же может быть определено через еще более широкое понятие («параллелограмм», «четырехугольник», «многоугольник»). Такую цепь определений нельзя продолжить бесконечно. В конце концов, мы приходим к понятиям, наиболее широким и общим, для которых невозможно указать ближайший род. Такие понятия называют основными (первичными и неопределенными).

Учитель должен хорошо представлять, что наличие основных (неопределяемых) понятий, как в науке геометрии, так и в школьном курсе геометрии неизбежно. Поэтому, например, он совершит грубую математическую ошибку, если будет ставить такие вопросы: «Что называется плоскостью?», «Что называется прямой линией?», «Что называется точкой?» и т.п., так как эти понятия основные, они не определяются через указание рода и видового отличия.

Нужно иметь в виду, что в школьном курсе геометрии по мере овладения учащимися геометрическими представлениями, от класса к классу система основных понятий меняется. В младших классах эта система более обширна. Например, в 1-3 классах такие понятия как «отрезок», «многоугольник», «угол» и т.п., являются неопределенными. Но уже в 4 классе они определяются. Из этого следует, что учащимся начальных классов не имеет смысла задавать вопрос: «Что называется (что такое) отрезком? Что называется многоугольником? Что называется углом?» и т.п. Так как понятия «отрезок», «многоугольник», «угол» являются здесь неопределенными, но уже можно ставить вопрос: «Что называется треугольником (четырехугольником, пятиугольником)?» Дети могут отвечать на этот вопрос примерно так: «Треугольник – это многоугольник, у которого три угла (вершины, стороны)». Здесь можно давать несколько избыточное определение прямоугольника как четырехугольника, у которого все углы прямые.

Попытки ранней формализации при ознакомлении младших школьников с геометрическими фигурами приводят к завышению программных требований, к недостаточному, а иногда и неверному усвоению материала.

Они путали отрезок (2) и прямую (14), четырехугольник (8) и замкнутую ломаную линию (9).

Как правило, более высокого уровня усвоения достигают те учителя, которые, понимая самостоятельную значимость геометрических знаний, стремятся осуществить связь изучения геометрического материала с другим материалом начального курса математики. В основе этой связи лежит возможность установления отношений между числом и фигурой, свойствами чисел и свойствами фигур. Это позволяет использовать фигуры при формировании понятия числа, свойства чисел, операций над ними и наоборот использовать числа для изучения свойств геометрических образов и их отношений.

В 1 классе фигуры следует применять наряду с другими материальными вещами как объекты для перечисления. Несколько позже такими объектами должны стать элементы фигур, например вершины, стороны, углы многоугольников. Учащиеся постепенно знакомятся с измерением отрезков. Это устанавливается прямая связь между отрезками (точками) и числами.

Геометрические фигуры используются при ознакомлении учащихся с долями. В указанных выше случаях открывается больше возможностей органически связать изучение геометрических объектов с арифметическим материалом, включенным в курс математики для 1-3 классов.

Уже в 1-3 классах выполняются простейшие классификации углов (прямые и непрямые), многоугольников (по числу углов) и т.д. Изучение родовых и видовых понятий готовит детей к пониманию определений, построенных на указании рода и видовых отличий.

Это дает, например, возможность построить методику ознакомление с прямоугольниками таким образом, что в дальнейшем ученики усваивают, что любой квадрат есть прямоугольник.

Использование упражнений, в которых дети отмечают (выделяют) точки, принадлежащие или не принадлежащие фигуре или нескольким фигурам, помогает в дальнейшем трактовать геометрическую фигуру как множество точек. А это позволяет более осознанно выполнять операции деления фигуры на части или получение фигуры из других (складывание), т.е. выполнять по существу операции объединения, пересечения, добавления над точечными множествами.

Важной общей методической линией осуществления связи в изучении геометрического материала с остальными вопросами курса начальной математики является, таким образом, неявная опора на теоретико-множественные и простейшие логико-математические представления в изучении фигур, их отношений, свойств.

Общим методическим приемом, обеспечивающим прочные геометрические знания, является формирование пространственных представлений через непосредственное восприятие учащимися конкретных реальных вещей; материальных моделей геометрических образов. В 1 классе пространственные представления вырабатываются в процессе приобретения детьми практического опыта при изучении отношений взаимного положения предметов, выражаемых словами «выше», «ниже», «справа», «сверху», «спереди», «сзади» и т.д. Во 2-3 классах характер работы по формированию пространственных представлений усложняется. Например, представления об одной фигуре формируется с опорой на другую. Так, опираясь на представления о треугольнике вообще, можно получить представления о прямоугольном треугольнике.

Учитель должен систематически проводить работу по формированию умений и навыков применения чертежных и измерительных инструментов, построению изображений геометрических фигур, умений описывать словесно процесс работы, выполняемой учеником, и ее результат, умений применять усвоенную символику и терминологию. Важным методическим условием реализации этой системы является сначала осознание выполнения действий и лишь за тем автоматизация этих действий.

Результатом обучения в 1-3 классах должно быть формирование первоначальных представлений о точности построений и измерений.

В 1 классе учащиеся овладевают навыками измерения и построения отрезков с помощью линейка (с точностью до 1 см). При этом детям предъявляется не меньшее требования, тем это обычно делается, например, в отношении навыков письма.

Во 2-3т классах в практику измерений и построений постепенно вводятся новые инструменты: циркуль, циркуль – измеритель, чертежный треугольник, рулетка. Повышаются требования к точности построений и измерений, качеству чертежей и моделей, выполняемых детьми, к описанию хода и результатов проделанной работы.

Работа по формированию навыков должна проводиться распределенно и постепенно, почти на каждом уроке (и не только на уроках математики). Это создает условие для более частого применения этих навыков в учебной и практической деятельности, обеспечивает необходимую их прочность.

Для правильного выбора методики обучения младших школьников, учитель должен иметь общие представления о системе задач, предоставленных в учебниках. Эта система включает в каждом классе задачи:

А) в которых геометрические фигуры используются как объекты для пересчитывания (круги, многоугольники, элементы многоугольников). При решении таких задач в основном усваивается необходимая терминология и образуется умение узнавать и различать фигуры;

Б) связанные с формированием представлений о геометрических величинах (длине, площади) и навыков измерения отрезков, площадей, фигур;

В) вычислительные, связанные с нахождением периметра многоугольников, площади прямоугольника;

Г)  на элементарное построения геометрических фигур на клетчатой бумаге, на гладкой нелинованной бумаги с помощью линейки, угольника, циркуля (без учета размеров);

Д) на элементарное построение фигур заданными параметрами (треугольник с прямым углом, прямоугольник с заданными сторонами и т.д.);

Е) на классификацию фигур;

Ж) на деление фигур на части (в том числе на ровные части) и на составление фигур из других;

З) связанные с формированием основных навыков чтения геометрических чертежей, использованием буквенных обозначений (формированием «геометрической зоркости»);

И) на вычисление геометрической формы предметов или их частей.