I 200

1 i 200

Вычисление основных статистических параметров массива х

mean(x) = 4.619 var(x) = 8.869

max (x) = 9.95 min (x) = 0

stdev (x) = 2.978

Подготовка данных к построению гистограммы

N : = 10 j : = 0..N k : = 0..N - 1

10

intervals : = 1 + j ѕ P : = hist (intervals, x )

j N

Гистограмма распределения чисел в массиве х

30

P

k

0

0 intervals 10

k

Документ 5. Генерация случайных чисел и характеристики их распределения.

Графики можно перемещать в любое место документа, указанное положением курсора, они могут иметь любые размеры. На одном графике можно строить несколько кривых; для этого в формате после слова type нужно перечислить параметры кривых, разделяя их запятыми.

Версия 2.50 системы обеспечивает возможность построения поверхностей и фигур. При этом необходимо задать функцию двух переменных и сформировать матрицу с условным именем М - массив узловых точек.

Работа с файлами

Реализован и импорт файлов, содержащих сложные графические построения из других систем, таких, как AutoCAD и TurboCAD. Для этого с помощью специальной программы mostrans, входящей в систему, нужно преобразовать импортируемый файл с расширением mcd. Такой файл после загрузки командой Load вызывает построение графика, верхний левый угол которого задаётся положением курсора.

Общение с внешними устройствами

Система MathCAD обладает обширными возможностями для общения с внешними устройствами. Помимо записи и считывания документов предусмотрена запись и считывание файлов , хранящих различные данные, - вплоть до векторов и матриц с комплексными коэффициентами. Это позволяет использовать систему для обработки данных, поступающих от внешних устройств. Поддерживаются все основные типы дисплеев: монохромный Hercules, CGA, EGA, VGA и др. Последние версии системы (начиная с 2.50 ) поддерживают работу почти с 40 типами принтеров и плоттеров, включая 9 и 24 - игольчатые принтеры с двухцветной и многоцветной печатью и лазерные принтеры. Автоматически обеспечивается работа с сопроцессорами математических операций.

Система MathCAD становится более гибкой

Система MathCAD версии 3.0

В систему MathCAD версии 3.0 (фирма Mathsoft ), предназначенную для выполнения научно - технических вычислений, введён ряд новых одна из которых позволяет работать в среде Windows. По - видимому, их появление обрадует всех те6х, кто имеет дело с обработкой чисел. Система MathCAD - это лёгкое в освоении и одновременно мощное средство для выполнения исследований. С точки зрения функций, которые она выполняет, MathCAD можно сравнить с рабочим блокнотом инженера или учёного. На своих листках - кадрах экрана - она позволяет комбинировать уравнения, заметки и графики. Работая над задачей , обычно используется «винегрет» из записей на листках бумаги и распечаток, полученных с помощью электронных таблиц. Продираясь через вычисления с помощью системы MathCAD, не нужно прибегать ни к каким другим средствам. Чтобы пользоваться системой, вам не нужно держать в уме множество специальных обозначений, как это требуется в случае электронных таблиц. Нравится и то, что можно уравнения в том виде, в каком они обычно изображаются в книгах и на классных досках .

В эту версию системы введены символьные вычисления, без которых не обходится ни один серьёзный математический пакет. Символьный процессор базируется на пакете Mapple фирмы Waterloo Mapple Software.

MathCAD предлагает довольно полный набор встроенных функций. При подготовке данной версии были добавлены две новые полезные функции, обеспечивающие нахождение собственных чисел и собственных векторов для вещественных матриц. Система включает теперь встроенную программу, которая контролирует единицы измерения, и редактор формул.

Чтобы уберечь вас от необходимости выискивать формулы, которые приводятся только в справочных изданиях, в данную версию системы включен электронный справочник. Он обеспечивает экранные подсказки которые очень пригодятся новичкам.

Имеются, однако, два момента, которые наверняка не понравятся её пользователям. Во - первых, при использовании 35 - см экрана, приходится напрягать глаза, чтобы разглядеть очень маленькие цветные пиктограммы. И во - вторых, качество изображения графиков оставляет желать лучшего.

MathCAD PLUS 6.0

Решение алгебраических систем

Лучше один раз увидеть[схему задачи],чем сто раз услышать [её условие] - такое расширение пословицы можно отнести ко всем прикладным программам, работающим под управлением операционной системы Windows, которую не зря называют графической оболочкой. Пакет MathCAD в этом смысле - не исключение. Работая в среде Windows, можно с помощью графического редактора PaintBrush (или какого - то ) другого нарисовать схему задачи, а потом через Буфер Обменов ClipBoard перенести рисунок в документ MathCAD. Если теперь в среде MathCAD подвести к рисунку курсор мыши и два раза щелкнуть по её левой кнопке, то обрамление рисунка сразу изменится - рисунок перенесётся в среду PaintBrush, где его можно доработать, а потом опять вернуть в MathCAD.

Словесное описание задачи можно ввести в MathCAD - документ ремарками (комментариями). Пакет MathCAD оборудован текстовым процессором, позволяющим оформить, например, научную статью, не прибегая к специализированным средствам. С другой стороны, Буфер Обменов ClipBoard поможет перенести фрагменты MathCAD - документа в Word - документ и там дооформить их. В шестой версии - MathCAD в меню FILE (Файл) появился пункт Export Worksheet (Экспорт), существенно облегчающий эту работу.

Решение любой задачи в любой программной среде, как правило, начинается с ввода исходных данных. Работая с языком BASIK (или с каким - то другим ), вводя переменные и задавая им определённый тип, программист заботится не о физике решаемой задачи, а о... памяти машины. Тип числовой переменной с точки зрения программиста - прикладника - это атавизм тех времён, когда память машины была одним из лимитирующих факторов при решении задачи. Пакет MathCAD в этом смысле расточителен - он присваивает всем числовым переменным двойную точность с 15 знаками в мантиссе. Эти переменные предстают перед глазами пользователя либо в целочисленном (17, например ), либо в вещественном (3.14), либо в комплексном виде. Но через знак «: =» в среде MathCAD можно присвоить переменной не только конкретную величину (20, 1,10, 30 - математика задачи), но и размерность (ньютон, метр, угловой градус - физика задачи ). Для присваивания величине размерности за ней ставится знак «помножить» и вводится название соответствующей размерности. А можно поступить по другому - нажать на панели инструментов на кнопку с изображением мерной кружки. После этого на дисплее появится окно со списками физических величин (длина, время, скорость и т.д.) с соответствующим им размерностям (метр, секунда, метр в секунду и т.д.),одну из которых можно вставить в MathCAD - документ.

MathCAD не назывался бы математическим пакетом, если бы он не мог решать системы алгебраических уравнений. Конструкция Given ... Find (Дано ... Найти) использует расчётную методику, основанную на поиске корня вблизи точки начального приближения, заданной пользователем.

Можно написать требуемую систему уравнений, зажав её между ключевым словом Given и функцией Find. Функция Find возвращает значения переменных, превращающих вышеперечисленные (до слова Given ) уравнения в тождества. Если уравнений более одного, то возвращаемые значения размещаются в векторе - в группе переменных, «зажатых в кулак», но этот «кулак», как мы уже отмечали, легко разжать, выводя на дисплей найденные значения с «первородной» размерностью массы (kg), длины (m) и времени (sec): пакет MathCAD «разжимает» и сам вектор, м составные размерности, приписывая к числам комбинации основных физических единиц. Но не только этим хороша размерность в задачах. Главное то , что она автоматически позволяет отслеживать «физические» ошибки. Если, к примеру, пользователь сложит секунды с метрами, то MathCAD «заругается» и выдаст протестующее сообщение incompatible units (несовместимые единицы).

Элегантность решения системы уравнений в среде MathCAD, не требующая кодирования алгоритма или поиска соответствующей внешней процедуры, имеет и обратную сторону : у пользователя возникают естественные в правильности решения. Протестировать нужно не только компьютер, но и пользователя : правильно ли он составил исходную схему ?

Сравнивая тип переменной с размерностью физической величины, мы тем самым провели аналогию между пакетом MathCAD и языком BASIK. Продолжим её. Повторяем : знак «: =» в среде MathCAD соответствует операторам Input и Let на языке BASIK, а знак «=» - оператору Print. В среде MathCAD слева от знака «:=» пользователь может написать переменную ( простую, с индексом, матрицу, вектор), а справа - выражение с переменными и функциями , определёнными выше и левее или встроенными в пакет MathCAD. Слева от знака «=» разрешено писать переменную или выражение, правая же часть - это область, всецело принадлежащая среде MathCAD, куда выводятся рассчитанные значения.¹ Это свойство дало пакету MathCAD второе название - суперкалькулятор : пользователь набрал сложнейшую формулу, нажал на клавишу «равно» - и ответ готов. А вот жирного знака «равно», разделяющего левую и правую части MathCAD - выражений, на языке BASIK, к сожалению, нет а почему!?

В языках QBASIK, Quick BASIK и Visual BASIK от фирмы Microsoft есть конструкции, обладающие свойством, которое с некоторой долей условности можно назвать полиморфизмом. Одно и то же ключевое слово меняет свой смысл в различных программных сюжетах. Так, упоминавшийся знак «=» - это и символ в операторе присвоения ( где Let давно уже не пишут ), и символ в булевом выражении. Другой пример - ключевые слова Mid$ и Time$, которые согласно документации по языку отмечают и встроенную функцию, и оператор языка:

A$ = Mid$(ІCOMPUTERІ, 3, 3) ўЗдесь Mid$ - функция

Mid$(A$, 2,1) =І$$$І ў Здесь Mid$ - оператор

StartTime$ = Time$ ў Здесь Time$ - функция

Time$ = І12:30І ў Здесь Time$ - оператор

Когда ключевое слово Mid$ стоит в правой части оператора присвоения, оно означает встроенную функцию. Перенос же Mid$ в левую часть превращает его в оператор.

Второй пример не совсем правомерен : Time$ правильнее назвать не функцией и не оператором, а системной переменной. Системные переменные есть и в среде MathCAD.

Пакету MathCAD не грех перенять из языка BASIC некоторые полезные вещи. Ему в частности, очень не хватает цикла Do...Loop, в тело которого вставляется условие прерывания If...Then Exit Do. В среде MathCAD нельзя, например, в автоматическом режиме реализовывать метод последовательных приближений. Без цикла этот метод допустим только в полуавтоматическом режиме: пользователь задаёт первое приближение искомой переменной, а затем цепочкой формул, где фигурирует данная переменная, получает её новое значение. Расчёт повторяется в цикле с ручным переносом до тех пор, пока новая пара значений не удовлетворит пользователя. Можно поступить ещё проще - не переносить новое значение переменной в головку блока выражений, а продублировать блок нужное число раз. Если в таком алгоритме сходимости нет, то его всё равно используют, называя при этом методом научного тыка. Именно ему адресован полуавтоматический цикл.

Кроме того, нужно помнить, что более - менее сложная система нелинейных уравнений окажется не по зубам не только пакету MathCAD, но и другим мощным пакетам - Mathemateca, Maple, Gauss и др. MathCAD в такой ситуации выдаст сообщение Did not find solution (Решение не найдено), заставляя пользователя переходить к полуавтоматическому режиму - менять значения начального приближения и (или) величину точности TOL (TOLerance - точность, погрешность). Функция Find решает систему так, чтобы левые и правые части входящих в неё уравнений отличались на величину, не превышающую значения TOL. Это ещё одна предопределённая (системная) переменная среды MathCAD, хранящая по умолчанию значение 0.001, которое можно изменить, записав в MathCAD - документе выражение TOL : = 0.00000001, например. Но и это часто не помогает. Только при строго определённых начальных условиях пакет MathCAD находит правильное решение. Шаг влево, шаг вправо - расстрел! Малейший отход от начальных условий - и из слова Find «вырывается пламя»: красное сообщение Did not find solution в той же красной рамке. Но эта же задача с неограниченным диапазоном исходных данных прекрасно решается последовательными приближениями с поиском в цикле корня одного - единственного уравнения. Отход от лобовой атаки (от использования блока Given...Find) возможен лишь в том случае, если система уравнений не абстрактная, какие обычно приводятся в задачниках по математике, а реальная, отображающая конкретную (физическую, химическую, биологическую и т.д.) задачу. Кроме того прикладник (физик, химик, биолог и т.д.), решая задачу может сделать разумные допущения, линеаризирующие, например, некоторые выражения или уменьшающие их число. Другое важное преимущество метода последовательных приближений состоит в том, прикладник, зная физика задачи, может менять точность расчётов при обработке выражений, входящих в систему. В блоке Given...Find, как было уже отмечено, это не допустимо. В нём можно лишь смягчить эту проблему с другого конца - ввести в выражения балластные (нормирующие ) коэффициенты, уравнивающие их по отношению друг к другу и позволяющие им решаться с одной точностью. А это опять же потеря физики в угоду математики. Но тем не менее все перечисленные ухищрения часто остаются тщетными из - за того, что система просто ... не имеет решения, да и вся задача ориентированна не на поиск корней, а на минимизацию некоторых величин. В этом случае функция Find заменяется на функцию Minerr (MINimal ERRor). С помощью блока Given...Minner можно решать широкий класс оптимизационных задач.

Для решения линейных алгебраических уравнений в пакете MathCAD есть особые инструменты - операторы и функции работы с матрицами и векторами. Элементы матриц и векторов в среде MathCAD должны либо иметь одинаковую размерность, либо быть безразмерными. А это не просто ошибка пакета, а общая методологическая ошибка: элементы матрицы могут быть с разнородными размерностями.

Матрица и вектор пакета MathCAD имеют «родственников» на языке BASIC - двумерный и одномерный массивы. Массив же - это объединение сугубо однотипных величин. Разнотипные переменные объединяются в записи. Что бы примирить физику с математикой, достаточно разрешить в столбцах матрицы помещать величины с разнородными единицами измерений, считая матрицу не только двухмерным массивом простых переменных, но и одномерным массивом векторов. В записи (в векторе) могут, конечно храниться и однотипные переменные - переменные с одной размерностью или вообще лишенные её. Аналог одномерного массива в MathCAD - это матрица с одним столбцом. Но такая «горизонтальная» матрица не выражается через переменную с индексом. Переменная с индексом - это нормальный, «вертикальный», вектор. Если допустить, что матрица - собрание (множество) величин с различной размерностью, то тогда придётся все матричные операторы и функции разделить на группы по отношению к единицам измерений. Так функции min (поиск минимального элемента в массиве ) и max (поиск максимального элемента в массиве ) не могут допустить неодинаковых размерностей в элементах матрицы - аргумента. Оператор же определения детерминанта должен преобразовывать матрицу как массив векторов. Величины в строках здесь должны быть одной размерности.

С точки зрения математика (несмотря на отсутствие размерности, что ведёт за собой смысловую потерю физики задачи) решение в среде MathCAD системы линейных алгебраических уравнений через матрицы более оптимально, чем через блок Given...Find: отпадает необходимость в начальном приближении (у линейной системы не более одного корня - вектора). Кроме того, матричное решение задачи - точнее.

Есть и другие причины по которым приходится отказываться от размерностей. Международная система физических величин ( СИ ) базируется на семи основных единицах (длина - метр, масса - килограмм, время - секунда, сила тока - ампер, абсолютная температура - кельвин, сила света - кандела и количество вещества - моль). Но в среде MathCAD их только пять: длина, масса, время, заряд и абсолютная температура.

Да, как это ни печально, но с единицами измерений при работе в среде MathCAD часто приходится расставаться. Вина здесь не только фирмы MathSoft, но и всей теории размерностей. Дело в том, что эта теория какая - то незаконченная. Недаром её избегают освещать в математических справочниках. В физических же справочниках, когда дело доходит до размерностей, теряется всякая логика. Из - за этого многие научные дисциплины стараются избавиться от пут размерностей, вводя безразмерные величины (критерии): число Рейнольдца, например, если вспомнить аэродинамику. Освобождение от размерностей подкреплено целой теорией - теорией подобия. Всё это не могло отразится на развитии пакета MathCAD: там упомянутая пятёрка размерностей (длина, масса, время, заряд и абсолютная температура) неудобоварима в психологическом и даже в парапсихологическом смыслах. Химики никак не могут понять, как концентрацию раствора можно измерять только молями, которых , кстати, в пакете MathCAD нет. Сама по себе размерность - понятие скользкое, опирающееся не только на науку, но и на привычки людей, законы искусства и даже на постулаты религии. Стоит только вспомнить попытки заменить в метеосводках миллиметры ртутного столба на гектопаскали. Парапсихологический, если можно так выразится, аспект проблемы размерностей в среде MathCAD выражен в том, что пятёрка - число некрасивое, а значит, и неправильное. Там должна быть семёрка, но не та, которая заложена в Международную систему, а некая другая.

Семь ѕ число совершенное в науке, в искусстве и в религии: стоит только перечислить цвета радуги, ноты музыкальной гаммы, дни недели, чудеса света, наиболее промышленно развитые страны мира, античных мудрецов, смертные грехи... В классическом варианте языка BASIC семь структурных управляющих конструкций алгоритма (цикл с предпроверкой, цикл с постпроверкой, цикл с выходом из середины, альтернатива, функция, процедура и множественное ветвление ) и семь типов переменных (Integer, Long Integer, Single - precision Floating Point, Double - precision Floating Point, Currency, String и Type - тип, заданный пользователем). Да и сама цифровая вычислительная техника базируется не на числе 8 (байт), как принято считать, а на числе 7. Два (бита) в степени восемь (256) - это число символов в ASCxx - таблице. Но ASCxx - таблица ни машиной, ни человеком никогда не воспринимается как единое целое, а всегда разбивается на две половины - верхнюю и нижнюю по 128 знаков в каждой. А это два в степени семь, а не восемь.

Ещё одна базовая размерность лежит на поверхности, но почему - то напрочь отвергается учеными. Это единица измерения стоимости - рубли, доллары, марки и т.д. Из -за этого в среде MathCAD экономические расчёты лишены размерности. Кстати, в язык BASIC размерность валюты введена косвенно через новый тип числовых переменных - Currency.

Великолепная семёрка MathCAD.

Раз мы уж залезли в мистику (в описание магических свойств числа семь), то подошла пора рассказа о великолепной семёрке MathCAD - о семи видах графиков, используемых для визуального отображения различных зависимостей. Типов графиков в MathCAD, конечно, намного больше, но на панели инструментов имеется ровно семь кнопок для создания семи типов графиков. Мистика да и только.

Самый распространенный график: двухмерный декартов график (X-Y Plot), иллюстрирующий связи между двумя или несколькими векторами.

Декартов график строится, как правило, в три шага:

hшаг 1: задание вида функций одной переменной;

h шаг 2: формирование вектора значений аргумента;

hшаг 3: построение графика.

Третий шаг в свою очередь делится опять же на три шага

hшаг 1: рисование на экране дисплея заготовки графика - прямоугольника с чёрными квадратиками у левой и правой сторон; заготовка графика появляется в отмеченном курсором месте после того, как пользователь нажмёт одну из семи кнопок панели инструментов «Графики»;

hшаг 2: заполнение пользователем двух чёрных квадратиков заготовки графика («вакантных мест) именем функции и именем аргумента. Если функций больше одной, то их имена вводятся через запятую. В заготовке есть и другие чёрные квадратики, которые можно не заполнять. Среда MathCAD заполнит их сама. График появляется на дисплее после вывода курсора из зоны графика (автоматический режим расчётов ) или после нажатия клавиши F9 (ручной или автоматический режим расчётов). Параметры графика задаются стандартами по умолчанию;

hшаг 3 необходим, если параметры графика, установленные по умолчанию не устраивают пользователя и он хочет их изменить, вызвав соответствующее меню.

Если аргумент представляет собой угол, изменяющийся от 0 до 360 градусов, то ось аргументов декартова графика целесообразно «свернуть в круг» и получить полярный график ( Polar Plot).

Графически отобразить функцию двух аргументов можно с помощью графика поверхности (Surface Plot), который строится, как правило, не в три, а в семь шагов:

hшаг 1: задание вида функций двух переменных;

hшаг 2: нумерация узлов сетки - поверхности по первому аргументу;

hшаг 3: формирование вектора первого аргумента;

hшаг 4: нумерация узлов сетки-поверхности по второму аргументу;

hшаг 5: формирование вектора второго аргумента;

hшаг 6: заполнение матрицы значениями функции в узлах сетки;

hшаг 7: построение и форматирование графика поверхности.

Очень часто, особенно при поиске оптимумов функции двух переменных, полезнее просмотреть не график поверхности, а карту линии уровня, которые подобны линиям на физической географической карте, охватывающим горы и впадины (минимумы и максимумы).

На место линий графика можно поставить маленькие стрелочки, отмечающие направление изменения функций двух переменных. Тогда получится векторное поле (Vector Field Plot).

Гибридом декартова графика и графика поверхности является так называемый трёхмерный точечный график² (3D Scatter Plot). Его главное отличие от графиков, отображающих прямоугольные матрицы, в том, что с его помощью можно изобразить взаимосвязь трёх векторов.

Графики можно расцветить так, чтобы более высокие зоны имели тёплые цвета, а более низкие - холодные. Пакет MathCAD может раскрасить объёмные конструкции (скажем точнее, виртуальные объёмные конструкции) так, чтобы пользователь смог увидеть всё, что ему нужно.

В шестую версию MathCAD встроены средства анимации, позволяющие оживить MathCAD - документы. С анимацией связана системная переменная FRAME, которой через команды Windows-Animation-Create... в окне Create-Animation можно приказать меняться, например от 1 до 10. При открытом окне Create-Animation нужно выделить область, визуальное изменение которой желательно проанализировать и нажать кнопку Animate.после этого появится окно Playback, где средствами Microsoft Video будет показано изменение кривой на графике в зависимости от изменения значения переменной FRAME.

Основной недостаток трёхмерной графики MathCAD и других подобных пакетов - в том, что область изменения аргументов должна быть прямоугольной.

Сортировка.

Экспериментальные данные перед дальнейшей обработкой желательно отсортировать. Это можно сделать вручную, переставив местами два первых элемента или (при объёмных массивах данных) автоматически через функцию csort, возвращающую упорядоченную матрицу по отмеченному номеру столбца. Для этого вектора объединяются в матрицу, которая после сортировки расчленяется на те же, но уже упорядоченные векторы. Это приходится делать из-за того, что некоторые функции MathCAD отказываются иметь дело с не отсортированными векторами.

Линейная аппроксимация.

Встроенные функции intercept (to intercept по-английски - отложить отрезок на линии) и slope (наклон) решают самую простую и самую распространённую задачу регрессионного анализа - нахождение прямой, пронизывающей точки методом наименьших квадратов.

Найденные значения коэффициентов а и b аппроксимирующего уравнения y(x) = a + bЧx позволяют построить на графике прямую с роящимися вокруг неё точками. Подобным графиком на практике, как правило, завершают регрессионный анализ: график, во-первых, даст наглядное представление о качестве анализа, а во-вторых, поможет в случае чего отловить допущенные ошибки ввода исходных данных (пропуск десятичной точки, например). Этой цели может служить и предварительная сортировка векторов: ошибочные значения часто всплывают на концах упорядоченного вектора. В-третьих, график сам по себе ценен. Графиком, т.е. с другого конца, можно довольно быстро решить линейную аппроксимационную задачу.

Дополнить результаты регрессионного анализа неплохо указанием точки, максимально отклонившейся от прямой. Само значение такого выброса найти несложно через функцию max³. А вот с определением координат этой точки придётся повозиться: привлечь аппарат булевых выражений, принимающих два значения - True (в среде MathCAD - единица) и False (нуль), умножение которых на текущий индекс фиксирует искомую координату.

В пакете MathCAD PLUS 6.0 почти 300 встроенных функций. При всём богатстве встроенных функций пакету MathCAD не хватает функции определения в векторе или в матрице координат минимального (максимального) элемента. Выход из положения - это сумма (для вектора) или двойная сумма (для матрицы) произведений номера текущего элемента на булево выражение. Эту конструкцию так и хочется оформить в виде новой функции с именем imax, например и больше с такой задачей не возиться. Но в новую функцию перекочует и будет замаскирована ошибка - не ясно, что будет возвращать новорождённая функция imax, если в аргументе-векторе (в массиве) два или более максимальных элементов. Из прозрачной формулы с суммой это понятно, а из «затенённой» функции imax - нет. Все эти замечания можно отнести и к встроенным функциям intercept и slope,возвращающим значения коэффициентов линейной регрессии. Всегда остаются сомнения, а нет ли в этих функциях фактической или методологической ошибки. Последнюю можно обнаружить, если подставить в функции intercept и slope аргументы - векторы с двумя или даже одним методом. Через две точки можно всегда провести только одну прямую. Через одну точку прямых можно провести бесчисленное множество. И в том, и в другом случае сумма квадратов отклонений двух точек (одной точки) будет нулевой и требования метода наименьших квадратов будут выполняться абсолютно. Но в первом случае функции можно intercept и slope будут решать простую интерполяционную задачу, для которой в среде MathCAD есть особый математический аппарат. Во втором случае (X и Y - не векторы, а скаляры) функции intercept и slope должны выдавать бесчисленное множество значений, связанных ограничением Y = a + bЧX.

В плане выполнимости критерия наименьших квадратов здесь всё безупречно, но методология, заложенная в функции intercept и slope, приводит к тому, что при числе элементов в векторах X и Y, меньше двух, выдаётся сообщение об ошибке. Всё это слабая защита, которую пользователь может легко обойти, подсунув функциям intercept и slope более одной точки, но с повторяющимися значениями аргументов. Резюме: играть можно не только с игровыми программами. На эту роль подходят и серьёзные математические пакеты - было бы желание у пользователя.

Дифференциальные уравнения.

В среде MathCAD до версий PLUS 5.0 дифференциальные уравнения без особых ухищрений можно было решать только методом Эйлера, у которого низкие точность и производительность (плата за простоту). Инструментарий для решения дифференциальных уравнений (систем) различного порядка и различными методами в арсенале MathCAD появился сравнительно недавно. В него входят 13 встроенных функций (Bustoer, bustoer, bvalfit, multigird, relax, Rkadapt, rkadapt, rkfixed, sbval, Stiffb, stiffb, Stiffr и stiffr). Функция rkfixed возвращает в матрицу Z с Р+1 столбцами и n строками (Р - количество уравнений или порядок уравнения) - таблицу решений системы: первый (вернее, нулевой) столбец - это значения аргумента t (их задаёт пользователь), а последующие столбцы - значения ординат решения. В функцию rkfixed заложен широко распространённый метод Рунге - Кутта. Несмотря на то что это не самый быстрый метод, функция rkfixed почти всегда справляется с поставленной задачей.

Программирование.

Наиболее заметная «изюминка» шестой версии MathCAD, которую сразу оценили пользователи, - это встроенный язык программирования. В MathCAD, по сути, не встроен язык программирования, а просто снято ограничение на использование составных операторов в теле алгоритмических управляющих конструкций выбор и повторение. Кроме того, добавлены цикл с параметром и оператор досрочного выхода break. Алгоритмические конструкции и составные операторы в среде MathCAD вводятся нажимом одной из семи кнопок панели управления:

Add line	¬
if	while
for	break
otherwise

Add line - добавить строку программы, тела цикла, плеча альтернативы и т.д.

¬ - знак присвоения.

While - при нажатии на эту кнопку на экране появляется заготовка цикла с предпроверкой: слово while с двумя пустыми квадратиками. В квадратик правее while нужно записать булево выражение (переменную), управляющее циклом, а во второй квадратик (ниже while ) - тело цикла.

If - позволяет вводить в программу альтернативу с одним плечом.

Otherwise - позволяет превратить неполную альтернативу в полную:

C ¬ D if A > B

E ¬ F otherwise

for - кнопка для ввода в программы цикла с параметром.

Break - кнопка досрочного выхода из программы или цикла.

MathCAD или программы на языках высокого уровня?

Итак система MathCAD позволяет автоматизировать множество математических, инженерных и учебных расчётов. С её помощью можно составлять библиотеки и пакеты из документов, реализующих такие расчёты.

Целесообразна ли, при наличии MathCAD, подготовка программ математических расчётов на языках высокого уровня? Однозначного отрицательного ответа дать нельзя. Система основательно загружает ПК. Интерпретация формул и работа системы всегда в графическом режиме ведёт к потере скорости вычислений. Для ПК без сопроцессоров ( класса IBM PC XT ) медлительность системы вполне ощутима. Специализированные программы на Паскале и даже на Бейсике обеспечивают намного более высокую скорость вычислений однако и требуют больше времени для подготовки программ.

Что вам важнее : потратить несколько дней (а то и недель) на разработку и отладку программы, решающей нужную задачу за десятые доли секунды, или затратить всего десяток минут на составление документа, решающего ту же задачу с помощью системы MathCAD за несколько секунд? Если последний вариант предпочтительнее - вам подходит MathCAD! Несомненно важны и такие достоинства системы, как высокая достоверность и надёжность результатов вычислений, наглядность документов и удобные графические средства вывода результатов вычислений.

Литература :

«Мир ПК» №8’91 стр43

2.«Мир ПК» №8’91 стр48

3.Очков В.Ф MathCAD PLUS 6.0 для студентов и инженеров. - М.: ТОО фирма «Компьютер Пресс»,1996.

1 Это не совсем так: пользователь MathCAD может правее числа, стоящего за знаком «=», ввести другую размерность, например метры.

2 Другое название - график рассеяния.

3 Стрелка в аргументе функции max указывает на то, что он - вектор.

MATHCAD. 2

Общая характеристика. 2

Первый взгляд. 3

Построение графиков. 8

Вычислительные способности. 9

Интеграция. 11

Языки программирования. 11

Электронные книги. 11

12

Заключение. 12

MATHCAD.
Общая характеристика.

Одна из задач ЭВМ - автоматизация труда, повышение эффективности научных исследований. Основная особенность ЭВМ - ориентация на применение пользователями, не владеющими языками программирования. Такой подход позволяет преодолевать языковой барьер, отделяющий человека от машины. С этой целью разрабатываются пакеты прикладных программ, рассчитанные на широкие круги специалистов. К подобным пакетам относится MATHCAD.

MATHCAD - универсальный математический пакет, предназначенный для выполнения инженерных и научных расчетов. Основное преимущество пакета - естественный математический язык, на котором формируются решаемые задачи. Объединение текстового редактора с возможностью использования общепринятого математического языка позволяет пользователю получить готовый итоговый документ. Пакет обладает широкими графическими возможностями, расширяемыми от версии к версии. Практическое применение пакета существенно повышает эффективность интеллектуального труда.

От других продуктов аналогичного назначения, например, Maple & Theorist (компании Waterloo Maple Software) и Mathematica (компании Wolf Research), MATHCAD (компании Mathsoft) отличается ориентация на создание высококачественных документов (докладов, отчетов, статей) в режиме WYSIWYG (What You See Is What You Get). Это означает, что, внося изменения, пользователь немедленно видит их результаты и в любой момент может распечатать документ во всем блеске. Работа с пакетом за экраном компьютера практически совпадает с работой на бумаге с одной лишь разницей - она более эффективна. Преимущества MATHCAD состоит в том, что он не только позволяет провести необходимые расчеты, но и оформить свою работу с помощью графиков, рисунков, таблиц и математических формул. А эта часть работы является наиболее рутинной и малотворческой, к тому же она и времяемкая и малоприятная.

Первая версия пакета MATHCAD появилась в 1986г., вторая (2.01) - в 1987г. Пакет постоянно совершенствуется. В настоящее время существуют версии MATHCAD, работающие под Windows. В августе 1995г. вышла последняя, известная на сегодняшний день, шестая 32-битная версия MATHCAD`a под Windows. Вышла она в двух вариантах: MATHCAD 6.0 SE (Standard Edition) и версия для профессионального пользователя - MATHCAD

PLUS 6.0.

Первый взгляд.

Рассмотрим версию MATHCAD`a 6.0. Так как устаревшие версии, такие как 2.52 и другие, уже практически не используются, а все реализованные в них возможности существуют и в более поздних версиях. К тому же предыдущие версии были под DOS, а версия 6.0 под Windows и она может использовать все преимущества Windows.

Для начала рассмотрим интерфейс.

Интерфейс более дружествен, по сравнению с Mathematica или Maple. Текст, формулы и графики можно свободно сочетать, передвигая их как выделенные штриховой рамкой объекты, и помещать их в произвольной точки экрана; при изменении хотя бы в одном из объектов последовательно пересчитываются все остальные данные.

Все процедуры: возведения в степень, извлечения корня, взятия модуля, интеграла, операции присваивания и многие другие вынесены в пиктограммы. С клавиатуры они набираются интуитивно понятным способом.

Рассмотрим на примере некоторые из них, они понятны любому, кто хоть чуть-чуть знаком с математикой, не говоря уже об инженерах.

Возможности работы с текстом. В MATHCAD`e можно не только совмещать текст и формулы, но и устанавливать метки табуляции, центрировать и выравнивать напечатанное, а также для наглядности выделять фрагменты текста и проверять орфографию. Также можно экспортировать содержимое рабочей области в Word в формате RTF.

В версии 6.0 есть так называемые QuickSheets - интерактивные средства автоматизации выбранных пользователем операций им в соответствие «горячих» клавиш. QuickSheets является полноценным рабочим пространством с собственными функциональными возможностями.

Также в версии 6.0 появилась анимация; описанные с помощью формул изображения какого-либо объекта могут быть представлены в динамике в отдельном окне. При этом созданный «мультфильм» можно сохранить в Windows - совместимых AVI - файлах.

В пакете широко используются встроенные функции. К основным встроенным функциям относятся тригонометрические и обратные, гиперболические и обратные, экспоненциальные и логарифмические, статистические, Фурье, Бесселя, комплексных переменных. Всего в MATHCAD версии 6.0 - 222 встроенных функций. Такой широкий набор функций позволяет решать задачи практически из любой области.

Приведем обозначения основных из них:

Тригонометрические и обратные функции:

sin(z), cos(z), tan(z), asin(z), acos(z), atan(z)

z - угол в радианах

Гиперболические и обратные функции:

sinh(z), cosh(z), tanh(z), asinh(z), acosh(z), atanh(z)

Экспоненциальные и логарифмические:

exp(z) - e^z

ln(z) - натуральный логарифм

log(z) - десятичный логарифм

Cтатистические функции:

mean(x) - среднее значение

var(x) - дисперсия

stdev(x) - среднеквадратическое отклонение

cnorm(x)- функция нормального рапределения

erf(x) - функция ошибки

Г(x) - гамма-функция Эйлера

Функции Бесселя:

J0(x), J1(x), Jn(n,x) - функции Бесселя первого порядка

Y0(x), Y1(x), Yn(n,x) - функции Бесселя второго порядка

Функции комплексного переменного:

Re(z) - вещественная часть комплексного числа

Im(z) - мнимая часть комплексного числа

arg(z) - аргумент комплексного числа

Преобразование Фурье:

U:=fft(V) - прямое преобразование (V- вещественное)

V:=ifft(U) - обратное преобразование (V- вещественное)

U:=cfft(V) - прямое преобразование (V- комплексное)

V:=icfft(U) - обратное преобразование (V- комплексное)

Корреляционная функция - позволяет рассчитывать коэффициент корреляции двух векторов vx и vy и определить уравнение линейной регрессии:

corr(vx,vy) - коэффициент корреляции

slope(vx,vy) - коэффициент наклона линии регрессии

intercept(vx,vy) - начальная координата линии регрессии

Линейная интерполяция:

linterp(vx,vy,x)

vx,vy - векторы значений аргумента и функций x - значение аргумента, для которого проводится интерполяция

Функция для определения корней алгебраических и трансцендентных уравнений:

root(уравнения, переменная) - значение переменной, когда уравнение равно нулю

Датчик случайных чисел:

rnd(x) - случайное число с равномерным распределением от 0 до x

Целая часть переменной:

floor(x) - ближайшее наименьшее целое число

ceil(x) - ближайшее наибольшее целое число

Выделение остатка:

mod(x,y)- остаток от деления x на y

Остановка итерации:

until(x,y) - когда x0. То функция равна 1, иначе 0

Логические выражения и операции. Простейшими видами логических выражений являются следующие: логическая константа, логическая константа, логическая константа, логическая переменная, выражение отношения. Например, при x:=0.5 операции отношения присваивают L истину или ложь (1 или 0):

L := xЈ1 L=0

L := xі1 L=0

L := x»1 L=0

L := x1 L=0

Функции, определяемые пользователем. Пользователь может самостоятельно определить необходимые ему функции, отсутствующие среди встроенных функций пакета.

Для тех, кто работает в группах, предусмотрены средства коллективной работы. Возможна поддержка связи с удаленными пользователями по электронной почте: рабочее пространство в стандартном формате, как и электронное сообщение, можно пересылать непосредственно из программы. Так же при интеграции с информационной системой World Wide Web, позволяющая экспортировать и импортировать рабочие документы в Internet, просматривать по WWW- сообщения и осуществлять гипертекстовые переходы для доступа к информации.

При решении задач физики обычно требуется проставления размерности и такую возможность предоставляет MATHCAD. Всего в среде MATHCAD пять единиц измерения: длина, масса, время, заряд и абсолютная температура. Если же при решении вы будете, к примеру, суммировать секунды с метрами, то MATHCAD честно вам признается, что делать это нельзя и откажется работать.

Построение графиков.

Пакет MATHCAD предоставляет широкие графические возможности. Кроме того, здесь можно использовать чертежи и рисунки, полученные в других графических системах.

Нажатием буквально одной кнопки можно задать шаблон для генерации двумерного графика, причем в одних и тех же осях может быть несколько графиков одновременно. В MATHCAD`e представлены следующие виды графиков: декартовый (X-Y plot), полярный (Polar plot), поверхности (Surface plot), карта линий уровня (Contour plot), векторное поле (Vector Field plot), трехмерный точечный (3D Scatter plot), трехмерная столбчатая диаграмма (3D Bar Chart). Все графики являются стандартными объектами MATHCAD`a: их можно редактировать, а при пересчете исходных данных они автоматически перерисовываются. Кроме того, в средствах ‘объемной’ визуализации данных существуют возможность композиции задних планов. Существуют большое количество опций для работы с осями, а также возможность импортировать графические изображения.

Пример построения двухмерной графики:

Пример построения трехмерной столбчатой диаграммы:

Вычислительные способности.

Кроме работы с десятичными числами существуют возможность работы с восьми - и шестнадцатеричными числами. Так же есть набор процедур для возможности функционирования не только над числами, векторами или матрицами, но и над более сложными объектами, таких как деревья, списки или наборы. При вычислениях в символах, так называемая символьная математика (или аналитические преобразования), существуют три группы инструментов:

Команды символьной математики из меню (Symbolic);

Режим непрерывных символьных преобразований (Life Symbolics);

Оптимизация численных вкладок через символьные преобразования (Optimize).

Они позволяют вычислять неопределенные интегралы, интегрировать по переменой, дифференцировать по переменой, упрощать и разлагать по степеням и на множители выражения, находить полиномиальные коэффициенты, решать относительно переменой, разлагать в ряд, матричные преобразования, преобразования Фурье, Лапласа и Z, находить пределы и т.д. Вывод числового значения возможен с точностью до 4000 знаков.

Но в символьной математике пакета MATHCAD существует один недостаток. Она оперирует некоторыми встроенными функциями, которых в самом пакете MATHCAD нет, либо они там есть, но называются по-другому. Это объясняется тем, что символьный процессор вместе с некоторыми функциями был приобретен у фирмы MAPLE. В пакете MAPLE V в вычисления возможны 500000 знаков (профессиональная версия). Поэтому нередко в MATHCAD`e при символьных преобразованиях, ответ получается настолько громоздким, что не вмещается в рамки экрана и по разрешению пользователя заносится в Буфер Обмена Clipboard.

Для удобства статистических расчетов в MATHCAD включены 16 наборов типовых распределений в MATHCAD PLUS и 7 в базовой версии, которые можно использовать при анализе, моделировании и проверке статистических гипотез (к примеру, можно смоделировать развитие эпидемии или финансовой пирамиды).

Интеграция.

MATHCAD 6.0 работает под Windows и естественно использует все его преимущества. Можно экспортировать рабочие документы MATHCAD`a в другие Windows- приложения и импортировать из других приложений в стандартах динамического обмена данными (DDE) и связывания - внедрения объектов (OLE). Кроме того, MATHCAD может воспринимать и создавать файлы с ASCII- кодировкой, а также за счет своих 32- битных возможностей подсоединять к программе функции С и С++.

Языки программирования.

Кроме работы с функциями языка С и С++, есть встроенный язык программирования. Пользователь может создавать свой собственные приложения к MATHCAD`у: процедурные операции позволяют определять локальные переменные, циклы, ветвления, вложенные структуры данных, рекурсию и т.д. к тому же язык программирования внедрен в пользовательский интерфейс пакета: его операторы функционируют как полноправные объекты MATHCAD`a, а при изменениях хотя бы одном из объектов приводят к автоматической модификации зависимых выражений.

Электронные книги.

Для решения стандартных задач в различных областях знаний MathSoft выпускает специальные электронные книги - приложения к MATHCAD. Они представляют совокупность рабочих пространств, организованных в гипертекстовую структуру с оглавлением, индексами и ключевыми словами. Все математические формулы со “страниц” этих книг могут быть перенесены в любую точку рабочей области. На сегодняшний день написано более 40 электронных книг по технике, физическим наукам, астрономии, математики, статистике, финансам и другим областям применения MATHCAD`a.

Заключение.

И так, перечислим основные достоинства MATHCAD`a.

Во-первых, это универсальность пакета MATHCAD, который может быть использован для решения самых разнообразных инженерных, экономических, статистических и других научных задач.

Во-вторых, программирование на общепринятом математическом языке позволяет преодолеть языковой барьер между машиной и пользователем. Потенциальные пользователи пакета - от студентов до академиков.

И в-третьих, совместно применение текстового редактора, формульного транслятора и графического процессора позволяет пользователю в ходе вычислений получить готовый документ.

Но, к сожалению, популярный во всем мире пакет MATHCAD фирмы MathSoft, в России распространен еще слабо, как и все программные продукты подобно рода.

Наверное, это оттого, что люди, живущие в России, ещё не привыкли к тому, что решить систему дифференциальных уравнений из пяти переменных шестого порядка можно не только с помощью карандаша и бумаги, но и с помощью компьютера и MATHCAD`a. Зачем человеку с высшим образованием, который знает и может решить эту систему, решать её на бумаге, когда можно переложить эту рутинную работу на плечи мощных вычислительных машин. Другое дело учащиеся учебных заведений. Они конечно же, решат эту систему, но получив в ответе массу чисел и выражений, не будут знать, где ответ и правильный ли он. Потому что они не понимают смысла того, что делают. Поэтому, компьютеры в учебных заведениях безусловно, нужны, но только для студентов старших курсов. Ну а студентам младших курсов они нужны лишь для того, что бы учится на них работать и программировать, а использование готовых программных продуктов возможно лишь только при понимании задач и знания принципа её решения.

Приятно быть сильным физически, но быть сильным интеллектуально не менее приятно. Именно эти чувства испытываешь при работе с MATHCAD`ом.

13