Теорема сложения вероятностей

4. Теорема сложения вероятностей.

Суммой или объединением событий Е₁ и Е₂, называют событием Е, состоящим в появлении события Е₁ или Е₂ или обоих этих событий.

Площадь прямоугольника – это пространство элементарных событий (число единственно возможных равновозможных исходов). Площади кругов Е₁ и Е₂ соответственно – это числа исходов благоприятствующих событиям Е₁ и Е₂.

 - число появлений исходов благоприятствующих событиям Е₁ или Е₂ или обоих этих событий.

То есть вероятность появления хотя бы одного из двух несовместимых событий равна сумме вероятности этих событий.

Данная формула является частным случаем теоремы сложения вероятностей.

Доказывается общий случай теоремы методом математической индукции, путем последовательной разбивки сложного события на пары.

Пример: По результатам наблюдения за продажей мужских костюмов получены следующие данные о вероятности продажи костюмов разных размеров.

Размер	48	50	52	54	56	58	60
Вероятность	0,16	0,22	0,2	0,19	0,07	0,05	0,02

Совокупность единственно возможных событий называется полной группой или полной системой.

Сумма вероятностей событий, образующих полную систему равна 1.

образуют полную систему, тогда вероятность появления хотя бы одного события равна 1.

В то же время  не совместны, тогда по теории сложения вероятностей .

Пример: Из каждых 10 посетителей магазина 6 не делают покупок.

Вероятность появления хотя бы одного из этих событий равна 1.

Два единовременно возможных события, образующих полную группу, называются противоположными (например: орел и решка).

 

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Если случайное событие Е имеет весьма малую вероятность, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие не произойдет. Если .

На практике весьма малой считается вероятность Р(Е)£0,1.

Игнорировать возможность появления редких событий в виду их малой вероятности на практике можно только в том случае, если это событие не имеет катастрофических последствий.

Если случайное событие имеет вероятность весьма близкую к 1, то в конкретном испытании это событие, скорее всего, произойдет.

5. Теорема умножения вероятностей.

Два события считаются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от появления или не появления другого события.

Независимые события имеют место при повторном отборе, когда отобранная в первом испытании единица после регистрации исхода испытания возвращается в генеральную совокупность.

Вероятность совместного появления двух независимых событий Е₁ и Е₂ равна произведению их вероятностей.

n(E₁) – число исходов благоприятных событию Е₁;

n(E₂) – число исходов благоприятных событию Е₂;

n₁ – число исходов благоприятных и неблагоприятных событию Е₁;

n₂ - число исходов благоприятных и неблагоприятных событию Е₂.

Поскольку каждый конкретный результат испытания может осуществиться в комбинации с любым другим возможным результатом испытания, вероятность совместного появления событий Е₁ и Е₂ можно определить по формуле:

Несколько событий называются совместно независимыми или независимыми в совокупности, если каждая из них и любая комбинация из них содержащая либо все остальные события, либо часть из них – есть события независимые.

Е₁ Е₂ Е₃

Е₁ и Е₂ – независимы;

Е₁ и Е₃ – независимы;

Е₂ и Е₃ - независимы;

Е₁ и Е₂Е₃ – независимы;

Е₂ и Е₁Е₃ – независимы;

Е₃ и Е₁Е₂ - независимы.

Попарная независимость событий не означает их независимость совокупности, однако независимость событий в совокупности обуславливает их попарную независимость.

Вероятность совместного появления нескольких событий  независимых в совокупностях равна произведению вероятностей этих событий.

Так же доказывается по методу математической индукции (то есть последовательным делением на пары),

Вероятность появления хотя бы одного из независимых в совокупности событий равна разности между 1 и произведением вероятностей противоположных событий.

Произведение вероятностей противоположных событий позволяет определить вероятность их совместного появления, то есть вероятность того, что не произойдет ни одного из событий .

Но совместное появление противоположных событий и какого-либо из событий  - составляют полную группу, при этом сумма вероятностей таких событий равна 1.

Пример: Вероятность приобретения женского платья составляет 0,09.

=0,09

=0,03 (пальто)

=0,02 (плащи)

Какова вероятность, что посетитель купит хотя бы одну из этих вещей?

Если события  равновероятны, то есть ==, то равновероятные и противоположные им события q₁=q₂=…=q_m, тогда вероятность появления хотя бы одного из этих событий .

Два события считаются зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от появления или не появления другого события. Такие события (зависимые) имеют место при бесповторном отборе (по схеме невозвращаемого шара), когда отобранная единица обратно в генеральную совокупность не возвращается.

С зависимыми событиями связана условная вероятность. Условной вероятностью  называется вероятность события Е, исчисленная в предположении, что событие Е₁ уже наступило.

Пример: Из колоды вынута карта «дама». Какова вероятность, что она будет черной масти.

, где  - число исходов благоприятствующих совместному появлению событий Е и Е₁, - число исходов благоприятствующих появлению события Е₁.

Зная числа элементарных исходов всегда можно рассчитать условную вероятность.

Пример: Вынута карта красной масти, какова вероятность, что это «дама»?

Если события Е и Е₁ неравновероятны, то .

Непосредственный подсчет условной вероятности требует знания конечного числа исходов, поэтому более приемлемым на практике является расчет условной вероятности по формуле:

, где  - вероятность совместного наступления событий Е и Е₁;  - вероятность наступления события Е₁.

Данная формула не требует знания конечного числа исходов, хотя является полным аналогом, по сути, предыдущей формуле.

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, исчисленную в предположении, что первое событие уже произошло.

Если , то .

Пример: Вероятность брака при поставке женской одежды составляет 0,015. Определить вероятность того, что проверенные наугад 2 платья из партии в 200 шт., окажутся стандартными.

q=0,015

N=200

Вероятность стандартных платьев ;

Количество стандартных платьев  

Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий  равна произведению вероятности первого из них на условные вероятности остальных, исчисленные в предположении, что это и все предшествующие события уже произошли.