Исходя из принципа стандартного отклонения: Н(х)=b*(x), (b>0) – страховая надбавка прямо пропорциональна отклонению от среднего значения ущерба

2.    Исходя из принципа стандартного отклонения: Н(х)=b*(x), (b>0) – страховая надбавка прямо пропорциональна отклонению от среднего значения ущерба.

3.     По коэффициенту вариации: Н(х)=с*Var(x), (с>0), то есть страховая надбавка напрямую зависит от стандартного отклонения, и изменяется обратно пропорционально от его среднего значения.

(a,b,c) – числа, показывающие степень пропорциональности и уровень страховой надбавки.

Нетто-премию можно представить не только как математическое ожидание величины ущербов, но и как произведение среднего ущерба на значение вероятности его появления в различных временных периодах: Е₁(Х)=, где t – временные периоды. Данная формула имеет смысл, если страховые события независимы, то есть наступление одного из них не влияет на появление другого. В принципе, эта формула также выражает принцип финансовой эквивалентности: нетто-премия равна произведению средней величины ущерба (так для себя ее оценивает страхователь) заранее известной вероятности его наступления (определенной на основании прошлого опыта).

Для определения страховой премии необходимо знать, что страховая премия уплачивается во время заключения договора страхования, а страховая сумма – спустя некоторое время (если произойдет страховой случай). Поэтому у страховщиков есть и запас времени, и возможность получить всю премию целиком, не заплатив ничего страхователю. Используя время, страховщик может инвестировать средства, получая от этого дополнительный доход. А если не произойдет страховой случай, то сумма страховых премий по данным договорам страхования остается у страховщика. В этих двух пунктах и заключаются основные доходы страховой компании.

Страховой бизнес обладает значительной долей авантюризма, в нем неотъемлемо присутствует элемент случайности. То есть, как страховщик, так и страхователь получают свои выгоды в зависимости от фортуны. Если рассмотреть формирование цены страховой услуги с точки зрения затрат, то их определение заключается в калькуляции ущерба, к которому приведет страховое событие. Его определяют как страховщик, так и страхователь, договариваясь о выплате определенной страховой суммы. Однако, в страховании нельзя определить придется ли нести эти затраты страховщику, как компании, оказывающей услуги. В данном случае сложно найти равновесную цену и определить взносы страхователя. Единственным путем в ее определении является анализ прошлых данных, при этом исследуемый период должен быть как можно дольше, а совокупность данных однороднее.

Величина выплат по договору страхования является случайной величиной, а, следовательно, сумма выплат по всем договорам, также величина случайная. Сумма выплат ограничена страховым фондом, который формируется из страховых премий. Поэтому совокупная страховая сумма варьируется в некотором интервале, верхняя граница которого равна сумме всех выплат по всем договорам. Для обеспечения 100%-ной гарантии того, что сумма нетто-премий превысит сумму выплат, страховщик должен создать страховой фонд в размере совокупной страховой суммы. В этом случае страховая премия будет равна страховой сумме. В результате страхователь, с учетом нагрузки, должен будет заплатить больше, чем получит при наступлении страхового случая. Такие условия страхователь не примет, а, следовательно, страховщику приходится рисковать так, что его риск определяется вероятностью всех страховых событий от которых он страхует. Для себя страховщик определяет размер своего риска, что математически можно выразить следующим неравенством:  или , где y – заданная страховщиком гарантия безопасности, Si – выплата, Pi - премия, b – верхняя граница страховой гарантии. Сущность данного неравенства такова: вероятность того, что сумма всех выплат превысит сумму всех взносов страхователей, должна быть определена страховщиком заранее. Это делается для определения нетто-премии.

Согласно теореме А.М.Ляпунова (если Х – случайная величина, равная сумме большого числа независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение близкое к нормальному) страховые события и страховые выплаты распределены по нормальному закону. Если известен закон распределения случайной величины, то приведенное выше неравенство легко решаемо. Во-первых, вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b (. Во-вторых, - функция нормального распределения, где a – матемпатическое ожидание случайной величины, а - ее среднее квадратическое отклонение. И в-третьих, , где Ф – функция Лапласа. Сумма нетто-премий является математическим ожиданием от суммы страховых выплат, а вероятность отклонения должна быть задана страховщиком заранее, то приведенное выше неравенство тождественно приведенному выше. Подставляя известные значения в данное уравнение можно найти суммарную величину нетто-премии.

Исходя из принципа финансовой эквивалентности, ожидаемую величину нетто-премии можно выразить как произведение страховой суммы и нетто-ставки, выражаемой в процентах (Е(X)=S(X)*T(X)/100). Где Т(Х) – нетто ставка, которая зависит как от вероятности наступления страхового случая, так и от тяжести страхового случая (величины ущерба). Страховую сумму определяет сам страхователь. Верхняя ее граница – максимальная стоимость страхуемого имущества.

Нетто-премия является частью брутто-премии (П(Х)), которую также можно выразить в процентах к общей величине выплат: П(Х) = S(X)*L(X)/100, где L(X) – брутто ставка в %. При этом, L(X) = Т(Х) *f , где f – доля нагрузки, выраженная в процентах. Доля нагрузки рассчитывается по данным бухгалтерского учета страховщика: , где R - расходы, за исключением комиссионных. - сумма собранных брутто-премий по данному виду страхования, K(%) – процент комиссионных, получаемых посредниками по данному виду страхования, V- доля прибыли в брутто-ставке, которую страховщик хочет получить по данному виду страхования. Исходя из приведенных выше формул, расчет брутто-ставки можно представить следующим выражением: П(Х)=Т(Х)/(1-f) или П(Х)=Т(Х)/100-f%.

Выше были описаны общие принципы формирования нетто-ставок, которые являются основой частных расчетов, зависящих от вида страхования. Каждый из видов имеет свои особенности, связанные с характером страхуемых событий и объектов. Некоторые из этих особенностей оказывают существенное влияние на расчет нетто-ставок.

Виды страхования сточки зрения особенностей расчета нетто-ставок можно разделить на 2 категории:

1.    Страхование жизни. Здесь формирование резерва взносов и расчеты тарифных ставок производятся с помощью актуарных методов, на основе таблиц смертности и норм доходности по инвестициям временно свободных резервов по страхованию жизни.

2.    Рисковые виды страхования. Это те виды страховой деятельности, отличающиеся от страхования жизни. Они не предусматривают обязательств страховщика по выплате страховой суммы при окончании срока действия договора страхования, и не связаны с накоплением страховой суммы в течении срока действия договора страхования. В рисковых видах страхования не используется принцип капитализации и, следовательно, при расчете нетто-ставок не используются методы финансовых исчислений (дисконтирование и компаундинг). Данные виды страховой деятельности можно условно разделить на два вида:

-      Массовые рисковые виды страхования. Они охватывают значительное число субъектов страхования и страховых рисков, характеризующихся однородность объектов страхования и незначительным разбросом в размерах страховых сумм. Наличие большого числа застрахованных объектов подразумевает, что по указанным рискам существует достаточный объем статистических данных, на основе которых можно описать всю совокупность рисков с помощью их числовых характеристик, таких как среднее значение и дисперсия. При этом, учитывая однородность застрахованных объектов, можно утверждать, что средние значения будут характеризовать всю совокупность с достаточной точностью.

-      Страхование редких событий и крупных рисков. В данном случае речь идет о рисках, связанных с низкой частотой наступления страхового события и высокой стоимостью ущерба. Число объектов, которое можно застраховать, ограничено, а разброс страховых сумм составляет значительную величину. Для страхования редких событий и крупных рисков существуют некоторые особенности расчета нетто-ставок, обусловленные спецификой страхуемых рисков и объектов. Во-первых, при расчете тарифов необходимо опираться на данные за несколько лет (чем больше срок тем точнее расчет). Определенная таким образом премия должна поддерживать финансовое равновесие страховщика в пределах не одного года, а достаточно продолжительного периода. Во-вторых, при расчетах нетто-премий необходимо использовать реальную стоимость риска, а не среднюю, в отличии от страхования массовых рисков, так как совокупность рисков неоднородна. В-третьих, страховщики вынуждены учитывать перестрахование на величину ущерба по всему портфелю рисков данного типа. В-четвертых, для взвешенного расчета тарифных ставок необходимо расширить базу данных за пределы статистической информации и использовать данные других страховых компаний.

Расчет тарифных ставок при страховании жизни.

Страхование жизни обуславливает ряд особенностей, которые влияют на выбор форм и методов анализа подготовки и проведения страховых операций. Можно выделить основные факторы, которые влияют на методику расчета тарифных ставок по страхованию жизни:

1.    Объектом договора по данному виду страхования является жизнь, здоровье и трудоспособность граждан. Количественные показатели, характеризующие продолжительность жизни и смертность среди населения страны централизовано собираются и обрабатываются в федеральных и региональных органах статистики. На основании подобных данных составляются таблицы смертности, которые используются страховщиками при расчете нетто-ставок по страхованию жизни.

2.    Договоры страхования жизни, обычно, заключаются на длительный срок. Период времени между уплатой взносов и моментом выплат достигает нескольких лет. В течении этого срока за счет инфляции и прибыли, получаемой от инвестирования временно свободных средств, стоимость страховых взносов изменяется. Чтобы учесть подобные изменения применяются методы финансовых исчислений (дисконтирование).

В страховании жизни неопределенность связана со случайным характером продолжительности человеческой жизни. Поэтому страховщики должны располагать данными для расчета вероятностей дожития до определенного возраста лиц различного пола. Источником таких данных являются таблицы смертности, составляемые на основе переписи населения.

Таблица смертности.

Таблица смертности и коммутационных функций. (мужчины, i=9%										Аннуитет.
x	lx	qx	dx	Dx	Nx	Cx	Mx	N(12)x	N(12)x	ax
18	100000	0,00149	149	21199,37402	244591,9762	28,978961	1003,702	254308,36	234875,5965	11,53769805
19	99851	0,001732582	173	19419,98803	223392,6022	30,868544	974,7228	232293,43	214491,7744	11,50323069
20	99678	0,001956299	195	17785,63423	203972,6142	31,921122	943,8543	212124,36	195820,8652	11,46839137
21	99483	0,002161173	215	16285,1745	186186,98	32,289068	911,9332	193651,02	178722,9417	11,4329128
22	99268	0,002337108	232	14908,238	169901,8055	31,965281	879,6441	176734,75	163068,8631	11,39650477
23	99036	0,002494043	247	13645,31729	154993,5675	31,22202	847,6788	161247,67	148739,4637	11,35873679
24	98789	0,002631872	260	12487,41769	141348,2502	30,151637	816,4568	147071,65	135624,8504	11,3192538
25	98529	0,002770758	273	11426,19487	128860,8325	29,045155	786,3051	134097,84	123623,8265	11,27766802
26	98256	0,002931119	288	10453,70243	117434,6376	28,111048	757,26	122225,92	112643,3573	11,23378424
27	97968	0,003123469	306	9562,441641	106980,9352	27,401825	729,1489	111363,72	102598,1494	11,18761706
28	97662	0,003327804	325	8745,480415	97418,49355	26,700225	701,7471	101426,84	93410,14836	11,13929583
29	97337	0,003564934	347	7996,676302	88673,01314	26,153784	675,0469	92338,156	85007,86983	11,08873359
30	96990	0,003814826	370	7310,246493	80676,33683	25,584698	648,8931	84026,866	77325,80719	11,03606245
31	96620	0,004046781	391	6681,063461	73366,09034	24,804406	623,3084	76428,244	70303,93625	10,98119944
32	96229	0,004250278	409	6104,611614	66685,02688	23,803942	598,504	69482,974	63887,07989	10,92371327
33	95820	0,004445836	426	5576,757172	60580,41527	22,74619	574,7001	63136,429	58024,40156	10,86301831
34	95394	0,004654381	444	5093,544793	55003,65809	21,749814	551,9539	57338,199	52669,11673	10,7986992
35	94950	0,004865719	462	4651,227061	49910,1133	20,762902	530,2041	52041,926	47778,3009	10,73052608
36	94488	0,00514351	486	4246,417888	45258,88624	20,038068	509,4412	47205,161	43312,61137	10,65813291
37	94002	0,005499883	517	3875,758159	41012,46835	19,556162	489,4031	42788,858	39236,0792	10,58179243
38	93485	0,005947478	556	3536,185269	37136,71019	19,294848	469,8469	38757,462	35515,95861	10,50191304
39	92929	0,006488825	603	3224,91182	33600,52492	19,198062	450,5521	35078,61	32122,44034	10,4190523
40	92326	0,007083595	654	2939,436635	30375,6131	19,102549	431,354	31722,855	29028,37131	10,33382137
41	91672	0,00770137	706	2677,628309	27436,17647	18,918722	412,2515	28663,423	26208,93016	10,24644697
42	90966	0,008310797	756	2437,621011	24758,54816	18,585848	393,3327	25875,791	23641,3052	10,15684885
43	90210	0,008879282	801	2217,763703	22320,92715	18,066191	374,7469	23337,402	21304,45212	10,06461018
44	89409	0,009428581	843	2016,579408	20103,16345	17,443562	356,6807	21027,429	19178,89788	9,968942143
45	88566	0,009969966	883	1832,62929	18086,58404	16,762616	339,2371	18926,539	17246,62895	9,869199483
46	87683	0,010572175	927	1664,548659	16253,95475	16,144862	322,4745	17016,873	15491,03661	9,76478198
47	86756	0,011261469	977	1510,963999	14589,40609	15,61071	306,3297	15281,931	13896,88092	9,655694043
48	85779	0,012077548	1036	1370,594794	13078,44209	15,186628	290,719	13706,631	12450,25281	9,542165305
49	84743	0,013027625	1104	1242,239788	11707,8473	14,847187	275,5323	12277,207	11138,48739	9,42478852
50	83639	0,014084339	1178	1124,822344	10465,60751	14,534292	260,6851	10981,151	9950,063933	9,304231523
51	82461	0,015219316	1255	1017,412812	9340,785164	14,205804	246,1508	9807,0994	8874,470959	9,18091954
52	81206	0,016365786	1329	919,2004449	8323,372352	13,801319	231,945	8744,6726	7902,072148	9,055013407
53	79877	0,017539467	1401	829,5018416	7404,171907	13,347725	218,1437	7784,3603	7023,983563	8,926046377
54	78476	0,018719099	1469	747,6631389	6574,670066	12,839982	204,796	6917,349	6231,991127	8,793626064
55	77007	0,01997221	1538	673,0895034	5827,006927	12,333106	191,956	6135,5063	5518,507571	8,657105626
56	75469	0,021359764	1612	605,1802003	5153,917423	11,85918	179,6229	5431,2917	4876,543165	8,516335169
57	73857	0,022936215	1694	543,3520131	4548,737223	11,43343	167,7637	4797,7736	4299,700884	8,371621184
58	72163	0,024694095	1782	487,0546557	4005,38521	11,034288	156,3303	4228,6186	3782,151826	8,223687348
59	70381	0,026654921	1876	435,8048455	3518,330554	10,657196	145,296	3718,0744	3318,586667	8,073179063
60	68505	0,028713233	1967	389,1637631	3082,525709	10,251513	134,6388	3260,8924	2904,158984	7,920896037
61	66538	0,030794433	2049	346,7794619	2693,361946	9,7971349	124,3873	2852,3025	2534,421359	7,76678622
62	64489	0,032966863	2126	308,3491604	2346,582484	9,3259673	114,5902	2487,9092	2205,255785	7,610147148
63	62363	0,035229222	2197	273,5631707	2038,233323	8,8416677	105,2642	2163,6164	1912,850203	7,450686137
64	60166	0,03749626	2256	242,1337182	1764,670153	8,3294577	96,42253	1875,6481	1653,692198	7,287998406
65	57910	0,040269384	2332	213,8115682	1522,536434	7,8991377	88,09308	1620,5334	1424,539466	7,120926372
66	55578	0,043092591	2395	188,2582643	1308,724866	7,4426939	80,19394	1395,0099	1222,439828	6,951752535
67	53183	0,046161367	2455	165,2713101	1120,466602	6,9992199	72,75124	1196,216	1044,717251	6,779559024
68	50728	0,049459864	2509	144,6258353	955,1952918	6,5625451	65,75203	1021,4821	888,9084507	6,604596544
69	48219	0,053028889	2557	126,1217074	810,5694566	6,1358661	59,18948	868,37524	752,763674	6,426882994
70	45662	0,056896325	2598	109,5721224	684,4477491	5,7194964	53,05361	734,66831	634,227193	6,246550074
71	43064	0,061071893	2630	94,80538649	574,8756268	5,3118756	47,33412	618,3281	531,423158	6,063744351
72	40434	0,065563635	2651	81,66554318	480,0702403	4,9121925	42,02224	517,50028	442,6401997	5,878491976
73	37783	0,0704285	2661	70,01032418	398,4046971	4,5235982	37,11005	430,49276	366,3166318	5,690656368
74	35122	0,075650589	2657	59,70605696	328,3943729	4,1438517	32,58645	355,75965	301,0290968	5,500185235
75	32465	0,081256738	2638	50,63234731	268,688316	3,7745132	28,4426	291,89481	245,4818234	5,30665336
76	29827	0,087370503	2606	42,67718158	218,0559687	3,4208503	24,66809	237,61634	198,4955938	5,109427581
77	27221	0,093898093	2556	35,73252729	175,3787871	3,07818	21,24724	191,7562	159,0013787	4,908099156
78	24665	0,100952767	2490	29,70395515	139,6462598	2,7510977	18,16906	153,26057	126,031947	4,701268201
79	22175	0,10854566	2407	24,50023732	109,9423046	2,4398114	15,41796	121,17158	98,71302919	4,487397537
80	19768	0,116653177	2306	20,03747055	85,44206731	2,1444354	12,97815	94,625908	76,25822663	4,264114429
81	17462	0,125415187	2190	16,2385651	65,40459675	1,8684061	10,83371	72,847272	57,96192108	4,027732522
82	15272	0,134821896	2059	13,02936001	49,16603165	1,6115991	8,965305	55,137822	43,19424165	3,773480171
83	13213	0,144857337	1914	10,34194219	36,13667164	1,3744094	7,353706	40,876728	31,3966148	3,494186195
84	11299	0,155677494	1759	8,113610993	25,79472944	1,1588134	5,979297	29,513468	22,07599107	3,179192282
85	9540	0,167180294	1594,9	6,284866394	17,68111845	0,9639503	4,820483	20,561682	14,80055469	2,813284697
86	7945,1	0,239053001	1899,3	4,801982189	11,39625206	1,0531452	3,856533	13,597161	9,195343554	2,373239135
87	6045,8	0,341625591	2065,4	3,352343059	6,594269868	1,0506846	2,803388	8,1307604	5,0577793	1,967062962
88	3980,4	0,488066526	1942,7	2,024859522	3,241926809	0,9066662	1,752703	4,1699874	2,313866194	1,601062579
89	2037,7	0,695048339	1416,3	0,951003092	1,217067286	0,6064157	0,846037	1,6529437	0,78119087	1,279772166
90	621,4	0,981670422	610,01	0,266064195	0,266064195	0,2396214	0,239621	0,3880103	0,144118106	1
Формула				lx*(1+i)-x		dx*(1+i)-x+1

Таблица смертности – числовая модель процесса вымирания по возрастам некоторой абстрактной совокупности людей.

Прежде чем начать непосредственное описание методов расчета страховых аннуитетов и нетто-тарифов, необходимо сформулировать обще принципы определения нетто-премий в личном страховании.

В страховании жизни, как и в любом из видов страхования должно соблюдаться условие превышения страховых премий над страховыми выплатами (Е(Р)+I>=E(S)), где I – доход от инвестиций временно свободных средств. Величина страховых выплат является случайной величиной, и нельзя заранее предсказать точную сумму страховых выплат. За счет большого числа застрахованных, статистические данные однородны и обладают должной степенью надежности. Поэтому, вероятность отклонения реальных величин от их математического ожидания ничтожно мала. Вследствие этого, в актуарных расчетах принято использовать вероятную (ожидаемую) стоимость выплат. Тоже происходит и суммами нетто-премий. Их величина зависит от случайной величины S, а, следовательно, является величиной случайной.

К моменту осуществления выплат страховщик должен обладать фондом, равным вероятной стоимости выплат. Он определяет для себя будущую стоимость выплат и размер требуемого страхового фонда. Так как страховщик инвестирует свободные средства, то они ему приносят доход, который изменяется в зависимости от нормы доходности r, темпа инфляции (h), и ставки налогов (g). Тогда дисконтирование происходит по скорректированной ставке i=r(1-g)+h/100. Страховая премия выплачивается в момент заключения договора, то есть в современный момент времени, а страховые выплаты спустя определенное время. Поэтому, для их сравнения необходимо дисконтировать страховые выплаты, приводя их стоимость к сегодняшнему дню.

В страховании жизни нетто-премии иногда уплачиваются не одной суммой, а серией платежей, в различные периоды времени (в рассрочку). Для их учета страховщику приходится как нетто-премии, так и страховые выплаты приводить к одному моменту времени, иначе, при незапланированном прекращении договора, страховщик недополучит часть причитающихся ему премий.

Вышесказанное можно представить в виде неравенств, которые показывают основные принципы расчета тарифных ставок:

1.    E+I>S – Нетто-премия с учетом дохода, от инвестиций должна превышать страховую выплату.
Если данное равенство не будет соблюдаться, то страховщик обанкротится.

2.    E+I>S_p – Сумма выплат – величина случайная, так как неизвестно по каким договорам приходится возмещать ущерб. Поэтому в актуарных расчетах применяют ее наиболее вероятное значение (S_p).

3.    E>S_p-I – Современная вероятная стоимость выплат (разница между суммой выплат и накопленных доходов) не должна превышать стоимость единовременной нетто-премии.

4.    E_p-I_E>S_p-I – Сравнение вероятной стоимости выплат происходит не с реальными суммами нетто-премий, а с их наиболее вероятным значением (математическим ожиданием). Современная вероятная стоимость нетто-премий, уплаченных в рассрочку, должна быть меньше, чем современная стоимость выплат.

Получается, что нетто-премии – доходы страховой компании, а страховые выплаты – ее расходы, причем и те и другие носят случайный характер. Так как в страховании жизни затронуты значительные периоды времени, в рамках которых изменяется стоимость денег пропорционально ставке i, то расчетные данные необходимо приводить к одному моменту времени.

Принцип финансовой эквивалентности (P=Sq) в страховании жизни несколько видоизменен. Пусть P – размер премии, q_n – вероятность страхового события (смерть застрахованного через n лет после начала страхования). Если страховое событие произойдет на первом году страхования, то страховщик получит сумму Р, если на втором году – 2Р, и т.д. Математическое ожидание такого ряда премий составит: Pq₁+2Pq₂+3Pq₃+…+nPq_n. Однако, премия выплачивается в разные моменты времени. С учетом этого фактора данную величину необходимо привести к одному моменту времени (к начальному): E(P)=P(q₁+(1+v)q₂+(1+v+v²)q₃+…+(1+v+…+v^n-1)q_n), где v=(1+i)^-1-дисконтный множитель. Е(Р) – дисконтированное математическое ожидание страховых премий.

Теперь рассмотрим совокупность страховых выплат. Допустим, они выплачиваются в конце года, в котором имел место страховой случай. Тогда математическое ожидание выплаты в первом году составит Sq₁, во втором году -Sq2, и т.д. С учетом фактора времени математическое ожидание страховых выплат выглядит так: E(S)=S(vq₁+v²q₂+…+vⁿq_n)/

Как известно, E(S)=E(Р). Подставляя известные значения в данное равенство можно определить размер нетто-премии.

Зная основные принциы формирования нетто-премии в страховании жизни можно перейти к рассмотрению методов ее расчета. Итак, основной показатель таблицы смертности – число людей l_x в возрасте х лет, оставшихся в живых из первоначальной совокупности l₀ (обычно равной 100000 человек). Величины l_x (кроме l₀) определяют расчетным путем на основе заданных вероятностей смерти (q_x)в возрасте х лет, или на основе количества умерших (d_x). Указанные вероятности получают на основе данных статистики населения с последующим усреднением и сглаживанием.

Показатели таблицы смертности связаны следующими соотношениями:

-      l_x+1=l_x-d_x;

-      d_x=l_x*q_x;

-      q_x=1-p_x=1-l_x+1/l_x=d_x/l_x .

Для определения страховых тарифов необходимо знать страховые вероятности в страховании жизни и действия над ними:

1.    _np_x=l_x+n/l_x– вероятность прожить n лет лицо, дожившим до возраста х лет.

2.    p_x=1-q_x=1-d_x/l_x=l_x+1/l_x– вероятность человеком, дожившим до х лет, прожить еще 1год.

3.    _nq_x=1-_np_x=(l_x-l_x+n)/l_x – вероятность умереть в интервале возрастов от x лет до n лет.

4.    _mq_x=_mp_x*q_x+m=(l_x+m/l_x)*(d_x+m/l_x+m)=d_x+m/l_x - вероятность дожить до возраста х лет и умереть в возрасте x+m лет в течении 1 года.

5.    _m/nq_x=_mp_x*_nq_x+m=(l_x+m/l_x)*(l_x+m-l_x+m+n)/l_x+m=(l_x+m-l_x+m+n)/ l_x– вероятность дожить до x+m лет и умереть в возрасте от x+m лет до x+m+n лет.

Для упрощения расчетов и сокращения записи формул в таблицах смертности используются коммутационные функции. Их смысл сложно интерпретировать, поэтому они должны восприниматься как чисто технические вспомогательные средства. Их можно разделить на две группы. В основу первых положены числа доживающих до определенного возраста, вторых – числа умерших.

1.    Dx=l_x*v^x

2.    , где w-предельный возраст, учитываемый в таблице смертности.

-      N_x=N_x+1+D_x; N_w=D_w

-      (N_x+1-N_x+2)+(N_x+2-N_x+3)+…+N_x+k-N_x+k+1=N_x+1-N_x+k+1

3.    C_x=d_x*v_x+1; C_x=d_x*v^x+1=(l_x-l_x+1)*v^x+1=l_x*v^x*v-l_x+1*v^x+1=D_x*v-D_x+1

4.    ;

Страхование на дожитие.

Страхователь и страховщик договариваются между собой о том, что второй выплатит первому страховую сумму S, если он доживет до возраста n. В обмен на данные условия страхователь предлагает заплатить страховщику нетто-премию, которая равна произведению страхового тарифа и размера выплаты (_nE_x*S). Нетто-премия может уплачиваться единовременно, а может в рассрочку, что ведет к различной методике расчета:

1.    Нетто-премия уплачивается единовременно. В этом случае страхователь обязательно ее заплатит, иначе договор не будет заключен. Страховая выплата зависит от того, доживет ли страхуемый до n лет или нет. Поэтому, при ее расчете применяется математическое ожидание от суммы выплаты (S*_np_x). Страховая выплата произойдет только через n лет после заключения договора, поэтому ее необходимо привести к моменту уплаты нетто-премии (S*_np_x*vⁿ). Используя принцип финансовой эквивалентности (обязательства должны быть равны), получается:

^-      _nE_x*S = S*_np_x*vⁿ

^-      _nE_x= _np_x*vⁿ= (l_x+n/l_x)* vⁿ

^-      _nE_x=(l_x+n*v^x+n/l_x*v^x+n_)* vⁿ=D_x+n/D_x

2.    Нетто-премия уплачивается в рассрочку. Здесь нетто-премия представляет собой поток платежей от страхователя страховщику, при этом все платежи составляющие нетто-премию в данном виде страхования – суммы фактические, а не вероятные, так как если человек умрет раньше времени, то он не получит страховую сумму, а у страховщика останется часть нетто-премий, которые он никому не должен. Пусть, страховые премии уплачиваются в течении t лет, в начале каждого года. Тогда P1*S – премия уплаченная в первом году, Р2*S – премия уплаченная во втором году и т.д.

^-      (P₁+P₂*v+…+P_t*v^t-1)*S = S*_np_x*vⁿ

^-      Если платежи одинаковы, то P(1+v+v²+…+v^t-1)=_np_x*vⁿили

Страхование жизни.

Этот вид страхования называют также страхованием на случай смерти. Страховая сумма, равная S, выплачивается в случае смерти застрахованного. Страховой договор заключается страхователем в x лет на срок n лет. Здесь также следует рассмотреть два случая:

1.     Нетто-премия уплачивается единовременно. Тогда обязательства страхователя равны произведению страхового тарифа и страховой суммы (S*_nA_x). Нетто-премия – основное условие заключение договора, поэтому ее величина для страховщика реальная, а не вероятная. Если выплаты страховых сумм происходят в конце года, и страхователь умрет в 1-ый год, то страховая сумма будет равна S*q_x*v (q_x – вероятность умереть в возрасте х лет); если во второй год, то страховщик должен будет заплатить S*₂q_x*v²=S*v²*d_x+1/l_x;

-      если умрет в третий год – страховая выплата = S*v³*d_x+2/l_x и так далее.

-      В силу финансовой эквивалентности:

S*_nA_x=S*d_x/l_x*v+ S*d_x+1/l_x*v²+S*d_x+2/l_x*v³+…+S*d_x+n-1/l_x*vⁿ

-      Умножим и разделим данное выражение на v^x,тогда:

_nA_x=(d_x/D_x)*v^x+1+(d_x+1/D_x)*v^x+2+(d_x+2/D_x)*v^x+3+…+(d_x+n-1/D_x)*v^x+n=1/D_x *(C_x+C_x+1+…+C_x+n-1)

M_x=C_x+C_x+1+…+C_x+n-1+C_x+n+C_x+n+1+…+C_w

M_x+n= C_x+n+C_x+n+1+…+C_w

M_x-M_x+n= C_x+C_x+1+…+C_x+n-1

_nA_x= 1/D_x *(M_x-M_x+n)

-      Если страхование пожизненное, то _nA_x= M_x/D_x

2.     Нетто-премия вносится в рассрочку. Пусть рассрочка осуществляется посредством равных платежей (P) пренумерандо (в начале года) в течении t лет. В данном случае нетто-премия представляет собой поток платежей, ограниченный периодом t. При этом каждый член этого потока, является случайной величиной, так как при наступлении страхового случая платежи прекратятся, а страховщик должен будет уплатить всю страховую сумму страхователю. Наступление каждого последующего платежа не определено, так как неизвестно наступит ли страховой случай. Страховщик должен учитывать, что если он произойдет, то он потеряет не только страховую сумму, но и премии.

_-      Исходя из принципа финансовой эквивалентности можно записать следующие выражение: S*(P+P*p_x*v+P*₂p_x*v²+P*₃p_x*v³+…+P*_t-1p_xv^t-1) = S*d_x/l_x*v+ S*d_x+1/l_x*v²+S*d_x+2/l_x*v³+…+S*d_x+n-1/l_x*v_n

_-      P*(1+l_x+1/l_x*v+l_x+2/l_x*v²+l_x+3/l_x*v³+…+l_x+t-1/l_x*v^t-1)= (M_x-M_x+n)/D_x

-      P*( 1+l_x+1/l_x*v+l_x+2/l_x*v²+l_x+3/l_x*v³+…+l_x+t-1/l_x*v^t-1)* (v_x/v_x)= (M_x-M_x+n)/D_x

-     

-     

Страховые выплаты, а иногда и страховые премии представляют собой поток платежей, что в финансовой математике называется аннуитетом (страховой рентой). Стоимость страхового аннуитета, по сути, является отправным моментом в актуарной математике. Как известно, платежи могут вносится в начале года – пренумерандо, и в конце года - постнумерандо. В зависимости от этого различаются и виды аннуитетов. Кроме этого в страховании ренты делятся в зависимости от интервала времени, в котором производятся платежи. Аннуитет уже применялся в приведенных выше расчетах. Далее он будет рассмотрен более подробно, так как широко используется в пенсионном и других видах страхования, о которых речь пойдет ниже.

Виды страховых аннуитетов.

Пояснение						Формула
Постнумерандо.
Аннуитет пожизненный, немедленный – лицу, начиная с возраста х лет пожизненно в конце года выплачивается по 1 рублю.
Аннуитет отложенный на n лет, пожизненный – уплачивается пожизненно лицу в возрасте x+n лет по одному рублю в конце каждого года.
Аннуитет немедленный, ограниченный – выплачивается лицу в возрасте x лет в течение t лет, по 1 рублю, в конце каждого года.
Аннуитет отложенный на n лет, ограниченный – лицу, в конце каждого года выплачивается по 1 рублю, начиная с возраста n лет, до возраста t лет.
Пренумерандо.
Аннуитет пожизненный, немедленный		Выплаты производятся в начале года.
Аннуитет отложенный на n лет, пожизненный
Аннуитет немедленный, ограниченный
Аннуитет отложенный на n лет, ограниченный
Соотношения
Рента уплачиваемая k раз в год.
Для ограниченной ренты
Для пожизненной ренты.

Пенсионное страхование.

С экономической точки зрения обеспечение пенсиями по старости на базе негосударственных пенсионных фондов – это долгосрочный инвестиционный процесс, на первом этапе которого осуществляются вложения (пенсионные взносы) и последовательное наращение вложенных сумм за счет инвестиций свободных денежных средств, на втором – получение отдачи от накоплений в виде периодических пенсий.

Пенсионное страхование делится на два вида: