Навигация
2.1 Площадь поверхности призмы
Поверхность многогранника состоит из конечного числа многоугольников (граней). Площадь поверхности многогранника есть сумма площадей всех его граней. Площадь поверхности призм (Sпр) равна сумме площадей ее боковых граней (площади боковой поверхности Sбок) и площадей двух оснований (2Sосн) - равных многоугольников: Sпр=Sбок+2Sосн.
Теорема. Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра ее перпендикулярного сечения и длины бокового ребра.
Дано: АС1 - произвольная n-угольная призма (на рисунке в качестве примера изображена четырехугольная призма), a^AA1, A2B2C2D2 - перпендикулярное сечение (сечение призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру), l - длина бокового ребра.
Доказать: Sбок = РЧl, где Р - периметр перпендикулярного сечения.
Доказательство. Sбок= SAA1B1B+ SBB1C1C+ SCC1D1D+...
1444442444443
n слагаемых
Каждая боковая грань призмы - параллелограмм, основание которого - боковое ребро призмы, а высота - сторона перпендикулярного сечения.
Поэтому
Sбок=lA2B2+lB2C2+lC2D2+...=(A2B2+B2C2+C2D2+...)l=PЧl.
Sбок = РЧl.
Теорема доказана.
Следствие. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра ее основания и высоты.
Действительно, у прямой призмы основание можно рассматривать как перпендикулярное сечение, а боковое ребро есть высота.
2.2. Призма и пирамида
Подобно тому, как треугольник в понимании Евклида не являются пустым, т. е. представляет собой часть плоскости, ограниченную тремя неконкурентными (т. е. не пересекающимися в одной точке) отрезками, так и многогранник у него не пустой, не полый, а чем-то заполненный (по-нашему - частью пространства). В античной математике, однако, понятия отвлеченного пространства еще не было. Евклид определяет призму как телесную фигуру, заключенную между двумя равными и параллельными плоскостями (основаниями) и с боковыми гранями - параллелограммами. Для того чтобы это определение было вполне корректным, следовало бы, однако, доказать, что плоскости, проходящие через пары непараллельных сторон оснований, пересекаются по параллельным прямым. Евклид употребляет термин “плоскость” как в широком смысле (рассматривая ее неограниченно продолженной во все направления), так и в смысле конечной, ограниченной ее части, в частности грани, аналогично применению им термина “прямая” (в широком смысле - бесконечная прямая и в узком - отрезок). В XVIII в. Тейлор дал такое определение призмы: это многогранник, у которого все грани, кроме двух, параллельны одной прямой.
Пирамиду Евклид определяет как телесную фигуру, ограниченную плоскостями, которые от одной плоскости (основания) сходятся в одной точке (вершине). Эго определение подвергалось критике уже в древности, например, Героном, предложившим следующее определение пирамиды: это фигура, ограниченная треугольниками, сходящимися в одной точке, и основанием которой служит многоугольник.
Важнейшим недостатком этого определения является использование неопределенного понятия основания. Тейлор определил пирамиду как многогранник, у которого все грани, кроме одной, сходятся в одной точке. Лежандр в “Элементах геометрии” так определяет пирамиду: “Телесная фигура, образованная треугольниками, сходящимися в одной точке и заканчивающаяся на различных сторонах плоского основания”. После этой формулировки разъясняется понятие основания. Определение Лежандра является явно избыточным, т.е. содержит признаки, которые можно вывести из других. А вот еще одно определение, которое фигурировало в учебниках ХIХ в.: пирамида - телесный угол, пересеченный плоскостью.
Еще в древности существовали два пути определения геометрических понятий. Первый вел от фигур высшего порядка к фигурам низшего. Такой точки зрения придерживался, в частности, Евклид, определяющий поверхность как границу тела, линию - как границу поверхности, концы же линии - как точки. Второй путь ведет, наоборот, от фигур низшего измерения к фигурам высшего: движением точки образуется линия, аналогично из линий составляется поверхность и т. д. Одним из первых, который соединил обе эти точки зрения, был Герон Александрийский, писавший, что тело ограничивается поверхностью и вместе с этим может быть рассмотрено как образованное движением поверхности. В появившихся позже на протяжении веков учебниках геометрии принималась за основу то одна, то другая, а иногда и обе вместе точки зрения.
2.3. Пирамида и площадь ее поверхности
Определение. Многогранник, одна из граней которого - многоугольник, а остальные грани - треугольники с общей вершиной, называется пирамидой.
На рисунке изображены пятиугольная пирамида SABCDE и ее развертка. Треугольники, имеющие общую вершину, называют боковыми гранями пирамиды; общую вершину боковых граней - вершиной пирамиды; многоугольник, которому не принадлежит эта вершина,- основанием пирамиды; ребра пирамиды, сходящиеся в ее вершине,- боковыми ребрами пира-
миды. Высота пирамиды - это отрезок перпендикуляра, проведенного через ее вершину к плоскости основания, с концами в вершине и на плоскости основания пирамиды. На рисунке отрезок SO - высота пирамиды.
Определение. Пирамида, основание которой - правильный многоугольник и вершина проектируется в его центр, называется правильной.
На рисунке изображена правильная шестиугольная пирамида.
2.4. Измерение объемов
Объемы зерновых амбаров и других сооружений в виде кубов, призм и цилиндров египтяне и вавилоняне, китайцы и индийцы вычисляли путем умножения площади основания на высоту. Однако древнему Востоку были известны в основном только отдельные правила, найденные опытным путем, которыми пользовались для нахождения объемов для площадей фигур. В более позднее время, когда геометрия сформировалась как наука, был найден общий подход к вычислению объемов многогранников.
Среди замечательных греческих ученых V - IV вв. до н.э., которые разрабатывали теорию объемов, были Демокрит из Абдеры и Евдокс Книдский.
Евклид не применяет термина “объем”. Для него термин “куб”, например, означает и объем куба. В ХI книге “Начал” изложены среди других и теоремы следующего содержания.
1. Параллелепипеды с одинаковыми высотами и равновеликими основаниями равновелики.
2. Отношение объемов двух параллелепипедов с равными высотами равно отношению площадей их оснований.
3. В равновеликих параллелепипедах площади оснований обратно пропорциональны высотам.
Теоремы Евклида относятся только к сравнению объемов, так как непосредственное вычисление объемов тел Евклид, вероятно, считал делом практических руководств по геометрии. В произведениях прикладного характера Герона Александрийского имеются правила для вычислений объема куба, призмы, параллелепипеда и других пространственных фигур.
Похожие работы
... , перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве. III этап: Введение понятия развертки призмы (поверхности) Цель: Расширение знаний учащихся связанных с общим понятием призмы. Ввести понятие развертки (опираясь на понятие развертки прямого параллелепипеда на уроках черчения, труда). Оборудование: Картонные модели призм, ножницы, раскладные модели призм. Перед учениками на партах находятся ...
... оптикой следят за тем, чтобы не загрязнить оптические детали пальцами рук и инструментом. Губки пинцетов и другие металлические инструменты должны быть обклеены замшей или резиновыми пластинками, а затем обезжирены. 2. Сборка зеркал и призм в оправах Общие сведения Узлы крепления зеркал и призм конструктивно более разнообразны, чем сборки круглой оптики. Ввиду конструктивной простоты ...
... параллелепипеда рёбер Варианты ответов: А Б В Г Д 8 10 12 24 6 3. Многогранник, составленный из двух равных многоугольников и , расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов …, , называется: А) параллелепипед; Б) призма; В) пирамида; Г) многогранник; Д) конус. 4. Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого ...
... желтая 0,579 4 зеленая 0,546 5 сине-зеленая 0,492 6 синяя 0,436 7 фиолетовая 0,405 Определение дисперсии и разрешающей силы стеклянной призмы Используя данные упражнения 2, постройте график зависимости показателя преломления от длины волны n = f (l) (указания: ...
0 комментариев