Навигация
2.5. О пирамиде и ее объеме
Термин “пирамида” заимствован из греческого “пирамис” или “пирамидос”. Греки в свою очередь позаимствовали это слово, как полагают, из египетского языка. В папирусе Ахмеса встречается слово “пирамус” в смысле ребра правильной пирамиды. Другие считают, что термин берет свое начало от форм хлебцев в Древней Греции “пирос” - рожь). В связи с тем, что форма пламени иногда напоминает образ пирамиды, некоторые средневековые ученые считали, что термин происходит греческого слова “пир” - огонь. Вот почему в некоторых учебниках геометрии XVI в. пирамида названа “огнеформное тело”.
В Древнем Египте гробницы фараонов имели форму пирамид. В III Тысячелетии до н.э. египтяне сооружали ступенчатые пирамиды, сложенные из каменных блоков; позже египетские пирамиды приобрели геометрически правильную форму, например пирамида Хеопса, высота которой достигает почти 147 м, и др. Внутри пирамид находились погребальные склепы и коридоры.
Согласно Архимеду, еще в V до н.э. Демокрит из Абдеры установил, что объем пирамиды равен одной трети объема призмы с тем же основанием и той же высотой. Полное доказательство этой теоремы дал Евдокс Книдский в IV до н.э.
В “Началах” Евклида доказывается, что в равновеликих пирамидах площади оснований обратно пропорциональны соответствующим высотам. Первое непосредственное вычисление объема пирамиды, дошедшее до нас, встречается у Герона Александрийского.
Интересно отметить, что в древних документах встречаются правила для определения объема усеченной пирамиды, о нет правил вычисления объема полной пирамиды. В “Московском папирусе” имеется задача, озаглавленная “Действия с усеченной пирамидой”, в которой излагается верное вычисление объема одной усеченной пирамиды. В вавилонских клинописных табличках также не встречается вычисление объема пирамиды, но зато в них есть много примеров вычисления объема усеченной пирамиды.
2.6. О призме и параллелепипеде
В памятниках вавилонской и древнеегипетской архитектуры встречаются такие геометрические фигуры, как куб, параллелепипед, призма. Важнейшей задачей египетской и вавилонской геометрии было определение объема различных пространственных фигур. Эта задача отвечала необходимости строить дома, дворцы, храмы и другие сооружения.
Часть геометрии, в которой изучаются свойства куба, призмы, параллелепипеда и других геометрических тел и пространственных фигур, издавна называется стереометрией; Слово это греческого происхождения (“стереос” - пространственный, “метрео” - измеряю) и встречается еще у знаменитого древнегреческого философа Аристотеля. Стереометрия возникла позже, чем планиметрия. Евклид дает следующее определение призмы: “Призма есть телесная (т.е. пространственная) фигура, заключенная между плоскостями, из которых две противоположные равны и параллельны, остальные же - параллелограммы”. Тут, как и во многих других местах, Евклид употребляет термин “плоскость” не в смысле безгранично продолженной плоскости, а в смысле ограниченной ее части, грани, подобно тому как “прямая” означает у него и отрезок прямой.
Термин “призма” греческого происхождения и буквально означает “отпиленное” (тело).
Термин “параллелепипедальное тело” встречается впервые у Евклида и означает дословно “параллеле-плоскостное тело”. Греческое слово “кубос” употребляется Евклидом в том же смысле, что и наше слово “куб”
2.7. Параллелепипед
Определение. Призма, основание которой - параллелограмм, называется параллелепипедом.
В соответствии с определением параллелепипед - это четырехугольная призма, все грани которой - параллелограммы (рис. ). Параллелепипеды, как и призмы, могут быть прямыми и наклонными. На рисунке изображен наклонный параллелепипед, а на рисунке - прямой параллелепипед.
Прямой параллелепипед, основанием которого служит прямоугольник, называют прямоугольным параллелепипедом. У прямоугольного параллелепипеда все грани - прямоугольники. Моделями прямоугольного параллелепипеда служат классная комната, кирпич, спичечная коробка.
Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общий конец, называют его измерениями. Например, имеются спичечные коробки с измерениями 15, 35, 50 мм. Куб - прямоугольный параллелепипед с равными измерениями. Все шесть граней куба - равные квадраты.
Рассмотрим некоторые свойства параллелепипеда.
Теорема. Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
Дано: АС1 (рис. ) - произвольный параллелепипед, В1D - его диагональ, точка О - середина этой диагонали.
Доказать: Z0(AC1) = AC1.
Доказательство. Рассмотрим центральную симметрию Z0 с центром в точке О. Центральная симметрия - перемещение (сохраняет расстояния), отображающее каждый луч на противоположный ему луч. Поэтому
B1 = Z0(D), B1C1 = Z0(DA), DA = B1C1, C1 = Z0(A).
Аналогично можно показать, что точки D1 и В, А1 и С также центрально-симметричны. Таким образом, симметрия отображает поверхность параллелепипеда на себя. Внутренность параллелепипеда также отображает на себя (параллелепипед можно рассматривать как пересечение полупро
странств, образованных плоскостями его граней, а перемещение отображает пересечение фигур на пересечение их образов).
Таким образом, центральная симметрия Z0 отображает параллелепипед на себя: Z0(AC1) = AC1. Теорема доказана.
Из теоремы непосредственно следуют важные свойства параллелепипеда:
1. Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
Так, на рисунке A1O=OC, B1O=OD, D1O=OB, AO=OC1, а также MO=ON, где M`A1B1C1D1, N`ABCD, O`MN.
2. Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
Так, на рисунке AA1D1D=BB1C1C, (AA1D1)П(BB1C1).
Рассмотренными свойствами обладает произвольный параллелепипед. Докажем одно свойство прямоугольного параллелепипеда.
Теорема. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадрата трех его измерений.
Дано: АС1 - прямоугольный параллелепипед, чABч= a, чADч=b, чAA1ч=c - его измерения, чAC1ч=d - длина его диагонали.
Доказать: d2=a2+b2+c2.
Доказательство. Введем систему координат так, как показано на рисунке , приняв за ее начало вершину А, за произвольный базис тройку векторов V, b, c. Тогда вектор AC имеет координаты (a;b;c), и, следовательно,
є
чAC ч 2= d2=a2+b2+c2.
Теорема доказана.
3. Симметрия в пространстве
Теорема, в которой утверждается, что все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке О, в которой они делятся пополам (рис ), напоминает аналогичное предложение из планиметрии: диагонали параллелограмма пересекаются в точке О, являющейся их серединой (рис. ). Точка О - это центр симметрии параллелограмма. Аналогично называют и точку О центром симметрии параллелепипеда, так как вершины А и С1, В и D1, С и А1, D и В1 симметричны относительно точки О. Впервые понятие центра симметрии встречается в ХVI в. в одной из теорем Клавиуса, гласящей: если параллелепипед рассекается плоскостью, проходящей через центр, то он разбивается пополам и, наоборот, если параллелепипед рассекается пополам, то плоскость проходит через центр. Лежандр, который впервые ввел в элементарную геометрию элементы учения о симметрии, говорит только о симметрии относительно плоскости и дает следующее определение: две точки A и B симметричны относительно плоскости a, если последняя перпендикулярна к АВ в середине этого отрезка. Лежандр показывает, что у прямого параллелепипеда имеются 3 плоскости симметрии, перпендикулярные к ребрам, а у куба 9 плоскостей симметрии, из которых 3 перпендикулярны к ребрам, а другие 6 проходят через диагонали граней.
Призма
Задачи
Литература
1. Глейзер Г.Д. Геометрия. Учебное пособие для старших классов. М., Просвещение, 1994.
2. Погорелов А.В. Геометрия. Учебное пособие для 7-11 классов. М., Просвещение,
Похожие работы
... , перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве. III этап: Введение понятия развертки призмы (поверхности) Цель: Расширение знаний учащихся связанных с общим понятием призмы. Ввести понятие развертки (опираясь на понятие развертки прямого параллелепипеда на уроках черчения, труда). Оборудование: Картонные модели призм, ножницы, раскладные модели призм. Перед учениками на партах находятся ...
... оптикой следят за тем, чтобы не загрязнить оптические детали пальцами рук и инструментом. Губки пинцетов и другие металлические инструменты должны быть обклеены замшей или резиновыми пластинками, а затем обезжирены. 2. Сборка зеркал и призм в оправах Общие сведения Узлы крепления зеркал и призм конструктивно более разнообразны, чем сборки круглой оптики. Ввиду конструктивной простоты ...
... параллелепипеда рёбер Варианты ответов: А Б В Г Д 8 10 12 24 6 3. Многогранник, составленный из двух равных многоугольников и , расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов …, , называется: А) параллелепипед; Б) призма; В) пирамида; Г) многогранник; Д) конус. 4. Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого ...
... желтая 0,579 4 зеленая 0,546 5 сине-зеленая 0,492 6 синяя 0,436 7 фиолетовая 0,405 Определение дисперсии и разрешающей силы стеклянной призмы Используя данные упражнения 2, постройте график зависимости показателя преломления от длины волны n = f (l) (указания: ...
0 комментариев