Пространство и время

5. Пространство и время

5.1. Время

Пусть - некоторая функция распределения величин, полностью описывающая состояние системы в данный момент времени. Будем называть ее функцией состояния. Следующее состояние системы будет описано иной функцией. Условимся обозначать состояния системы натуральным числом n, а соседние состояния обозначать соответственно n+1 и n-1. Тогда переход системы из состояния с номером n в состояние n+1 можно записать

(12)

где F - оператор перехода. Тогда

(13)

где - дифференциальный оператор перехода.

Для дальнейших рассуждений нам понадобится выяснить, что считать переходом системы из одного состояния в другое.

Переход к уравнению (13) возможен при неизменных условиях преобразования, то есть в применении к системе, при условии неизменности внешнего воздействия. В общем случае будет зависеть от номера перехода.

Как уже было отмечено, переход из одного стационарного состояния в другое должно удовлетворять условию

(14)

или, исходя из (13)

(15)

(16)

Для дальнейших рассуждений необходимо сделать небольшие замечания. Как уже говорилось вначале главы, n - это порядковый номер события. При этом событием будем считать осреднение параметров в системе по всему набору элементов системы, точнее осреднение по сменам их состояний. На самом деле, смысл этого определения выясниться дальше, придется его уточнить и подкорректировать. Пока же будем рассуждать как условились. Теперь мы можем провести предельный переход в уравнении (13)

(17)

или

(18)

Что происходит при переходе из одного состояния системы в следующее на уровне ее составных частей? Допустим, мы рассматриваем газ бесструктурных частиц. Тогда можно утверждать, что при смене состояния произошло перераспределение энергии между частицами. Опять же будем рассматривать газ бесструктурных частиц. В этом случае в качестве момента перераспределения энергии можно считать характерное время свободного пробега элементов газа.

(19)

где - длина свободного пробега. Соответственно

(20)

Теперь обратимся к упорядоченному движению элементов газа. В этом случае на хаотическое движение элементов накладывается групповое движение и (20) запишется так

(21)

где V - групповая скорость элементов.

Теперь переходим к очень существенному и интересному моменту рассуждений. В данный момент мы ведем речь о собственном времени системы и о собственных масштабах системы и, вообще, о собственных характеристиках системы. Из этого следует, что собственная длина свободного пробега в газе не изменилась. Действительно, в групповой системе координат, связанной с групповой скоростью, каждый элемент проходит то же самое среднее расстояние, что и раньше. То есть справедливо следующее соотношение:

(22)

или

(23)

Заметим, что среднеквадратичная скорость полностью хаотического движения элементов связана с температурой газа соотношением и также пропорциональна скорости звука в газе . Если внимательно посмотреть на правую часть (23), то можно заметить, что отражает энергию группового, упорядоченного, движения элементов. Таким образом (23) можно записать в виде:

(24)

В действительности, выражение (24) имеет более общий характер, нежели (23), так может быть применено не только для газа, но и вообще для любых мультисистем, если обобщить понятие температуры и считать ее относительной (масштабной) величиной. В таком виде время зависит от энтропии и особенно интересно для рассмотрения в качестве собственного времени в живых, информационных или даже социальных системах.

Что касается функции , то она отражает плотность энергии в данной точке пространства и по сути является энергетическим потенциалом. В случае, если соотношение, выражение (24) можно представить в виде ряда

(25)

или, соответственно

(26)

Если учесть полученное в главе 3 выражение массы (6), в (26) можно заметить, что является локальной массой или, другими словами, плотностью массы. Из этих рассуждений вытекает, что темп времени прямо пропорционален плотности массы в этой точке. Еще раз надо отметить, что, используя эти понятия (масса, темп времени), всегда необходимо помнить о том, в каком масштабе они рассматриваются.

Возвращаясь к началу главы, найдем выражение изменения собственного времени в системе, считая, что оно является результатом осреднения времени по событиям со всеми элементами системы, то есть характерным временем перераспределения энергии. Для газа мы считаем его временем свободного пробега частиц газа.

(27)

здесь λ - приведенная длина свободного пробега.

соответственно

(28)

Если ввести новую величину n, характеризующую концентрацию элементов газа, то, используя статистическое выражение времени свободного пробега, можно переписать (27) и (28) в виде

(29)

где - плотность энергии, приходящаяся на один элемент, а ς - сечение взаимодействия.

Далее, продолжим развитие понятия времени как итеративного процесса в виде (18). Перепишем теперь (18) в виде

(30)

где τ - собственное время системы.

Попробуем поменять знак времени на противоположный. Что при этом произойдет с системой. В смысле (18) и (19) воздействие оператора на функцию состояния однозначно приведет систему к состоянию с функцией , следовательно,

(31)

Соотношение (31) будет справедливо только в том случае, если обе части в уравнении (31) являются чисто мнимыми. В то же время, оператор переводит систему из одного физического состояния в другое физическое состояние и, соответственно, должен быть эрмитовым, то есть

Данное соотношение очень важно, так как отражает фундаментальное свойство времени - необратимость. Теперь, на основе предыдущих рассуждений, можем записать следующее соотношение

(32)

или

(33)

Здесь W - энергия сигнала, а - энергетическая характеристика шума.

В частности, следует, что любую открытую динамическую или информационную систему можно рассматривать, как квантовый объект и, соответственно, применять для его описания математический аппарат квантовой механики, в дальнейшем, в главе, посвященной живым объектам, попробуем применить такой подход к изучению “живых” систем и вопроса самообучения. При этом нужно учитывать, что волновая функция ψ будет зависеть от времени в смысле (17), то есть должна быть нормирована для всякой системы и любую систему в этом случае необходимо описывать в терминах составляющих её элементов.

Здесь нужно сделать еще один важный вывод из приведенных рассуждений. В частности, из (18) и (11) следует, что течение времени системы возникает тогда, когда происходит изменение ее внутренней энергии. Следовательно, то обстоятельство, что любое изменение в системе приводит к изменению времени, выразится в следующем неравенстве

(34)

Продолжая те же рассуждения, нужно также учесть, что в такой записи возможно сколь угодно малое уменьшение влияния возмущения, что противоречит предположению о том, что любая физическая система состоит из элементов конечного масштаба. Так что, более точно выражение (34) должно быть записано как

(35)

где const - конечная величина, зависящая от масштаба восприятия и свойств системы. Как видим const имеет размерность действия, следовательно, можно сделать вывод, что любое изменение в системе происходит порциями конечной величины, определяемой соотношением (35). Собственно ничего экстраординарного в этом нет. Далее, попробуем подставить в (35) выражение для изменения собственного времени из (29), считая также .

сокращая n, получим

(36)

Если проводить аналогию с квантово-механическим описанием можно записать

(37)

или далее

из чего окончательно получим

(38)

где ħ нужно понимать в более широком смысле, чем в квантовой механике, так как из приведенных выше рассуждений ħ зависит от температуры системы.

Что из этого следует? Ничего особенного из этого не следует. Выражение (36) отражает лишь то, что минимальное воздействие, которое можно оказать на систему, может быть проведено лишь с одним её элементом как целым. А любое воздействие приводит к увеличению времени системы, точнее к увеличению ее возраста.

В принципе из (36) можно записать

(39)