Транспортная задача линейного программирования

Курсовая работа по дисциплине экономико–математические методы

Международный университет

Калининградский филиал

Специальность-менеджмент

1.История зарождения и создания линейного программирования.

Каждый человек ежедневно, не всегда осознавая это, решает проблему: как получить наибольший эффект, обладая ограниченными средствами. Наши средства и ресурсы всегда ограничены. Жизнь была бы менее интересной, если бы это было не так. Не трудно выиграть сражение, имея армию в 10 раз большую, чем у противника. Чтобы достичь наибольшего эффекта, имея ограниченные средства, надо составить план, или программу действий. Раньше план в таких случаях составлялся “на глазок” (теперь, впрочем, зачастую тоже). В середине XX века был создан специальный математический аппарат, помогающий это делать “по науке”. Соответствующий раздел математики называется математическим программированием. Слово “программирование” здесь и в аналогичных терминах (“линейное программирование, динамическое программирование” и т.п.) обязано отчасти историческому недоразумению, отчасти неточному переводу с английского. По-русски лучше было бы употребить слово “планирование”. С программированием для ЭВМ математическое программирование имеет лишь то общее, что большинство возникающих на практике задач математического программирования слишком громоздки для ручного счета, решить их можно только с помощью ЭВМ, предварительно составив программу. Временем рождения линейного программирования принято считать 1939г., когда была напечатана брошюра Леонида Витальевича Канторовича “Математические методы организации и планирования производства”. Поскольку методы, изложенные Л.В.Канторовичем, были мало пригодны для ручного счета, а быстродействующих вычислительных машин в то время не существовало, работа Л.В.Канторовича осталась почти не замеченной.

Свое второе рождение линейное программирование получило в начале пятидесятых годов с появлением ЭВМ. Тогда началось всеобщее увлечение линейным программированием, вызвавшее в свою очередь развитие других разделов математического программирования. В 1975 году академик Л.В.Канторович и американец профессор Т.Купманс получили Нобелевскую премию по экономическим наукам за “вклад в разработку теории и оптимального использования ресурсов в экономике”.

В автобиографии, представленной в Нобелевский комитет, Леонид Витальевич Канторович рассказывает о событиях, случившихся в 1939 году. К нему, 26-летнему профессору-математику, обратились за консультацией сотрудники лаборатории планерного треста, которым нужно было решить задачу о наиболее выгодном распределении материала между станками. Эта задача сводилась к нахождению максимума линейной функции, заданной на многограннике. Максимум такой функции достигался в вершине, однако число вершин в этой задаче достигало миллиарда. Поэтому простой перебор вершин не годился. Леонид Витальевич писал: “оказалось, что эта задача не является случайной. Я обнаружил большое число разнообразных по содержанию задач, имеющих аналогичный математический характер: наилучшее использование посевных площадей, выбор загрузки оборудования, рациональный раскрой материала, распределение транспортных грузопотоков… Это настойчиво побудило меня к поиску эффективного метода их решения”. И уже летом 1939 года была сдана в набор книга Л.В.Канторовича “Математические методы организации и планирования производства”, в которой закладывались основания того, что ныне называется математической экономикой.

Однако идеи Л.В.Канторовича не встретили понимания в момент их зарождения, были объявлены ересью, и его работа была прервана. Концепции Леонида Витальевича вскоре после войны были переоткрыты на западе. Американский экономист Т.Купманс в течение многих лет привлекал внимание математиков к ряду задач, связанных с военной тематикой. Он активно способствовал тому, чтобы был организован математический коллектив для разработки этих проблем. В итоге было осознано, что надо научиться решать задачи о нахождении экстремумов линейных функций на многогранниках, задаваемых линейными неравенствами. По предложению Купманса этот раздел математики получил название линейного программирования.

Американский математик А.Данциг в 1947 году разработал весьма эффективный конкретный метод численного решения задач линейного программирования (он получил название симплекс метода). Идеи линейного программирования в течение пяти шести лет получили грандиозное распространение в мире, и имена Купманса и Данцига стали повсюду широко известны.

Примерно в это время Купманс узнал, что еще до войны в далекой России уже было сделано нечто похожее на разработку начал линейного программирования. Как легко было бы Данцигу и Купмансу проигнорировать эту информацию! Маленькая книжица, изданная ничтожным тиражом, обращенная даже не к экономистам, а к организаторам производства, с минимумом математики, без четко описанных алгоритмов, без доказательств теорем – словом, стоит ли принимать такую книжку во внимание… Но Купманс настаивает на переводе и издании на западе книги Канторовича. Его имя и идеи становятся известны всем. Воздадим должное благородству американского ученого!

А самому Леониду Витальевичу – как естественно было бы ему, испытав первые грозные удары ретроградов, остеречься от “грехов” молодости, забыть про всю эту экономику и вернуться к математике. Но Л.В.Канторович продолжает писать математические работы, навеянные экономическими идеями, участвует и в конкретных разработках на производстве. При этом (одновременно с Данцигом, но, не зная его работ) он разрабатывает метод, позже названный симплекс-методом. Как только в 50-е годы образуется маленький просвет, и кое-что из запретного становится возможным, он организует группу студентов на экономическом факультете ЛГУ для обучения методам оптимального планирования. А, начиная с 1960 года, Леонид Витальевич занимается только экономической и связанной с нею математической проблемами. Его вклад в этой области был отмечен Ленинской премией в 1965 году (присуждена ему совместно с В.С.Немчиновым и В.В.Новожиловым) и, как уже говорилось, Нобелевской премией в 1975 году.

2.Транспортная задача. Общая постановка, цели, задачи. Основные типы, виды моделей.

Под названием “транспортная задача” объединяется широкий круг задач с единой математической моделью. Данные задачи относятся к задачам линейного программирования и могут быть решены симплексным методом. Однако матрица системы ограничений транспортной задачи настолько своеобразна, что для ее решения разработаны специальные методы. Эти методы, как и симплексный метод, позволяют найти начальное опорное решение, а затем, улучшая его, получить оптимальное решение.

В общей постановке транспортная задача состоит в отыскании опти­мального плана перевозок некоторого однородного груза с баз   потребителям .

Различают два типа транспортных задач: но критерию стоимости (план перевозок оптимален, если достигнут минимум затрат на его реализацию) и по критерию времени (план оптимален, если на его реализацию затрачивается минимум времени).

(1.1)

Обозначим количество груза, имеющегося на каждой из  баз (запасы), соответственно ,а общее количество имею­щегося в наличии груза–:

;

(1.2)

заказы каждого из потребителей (потребности) обозначим соот­ветственно, а общее количество потребностей – :

,

(1.3)

Тогда при условии

(1.4)

мы имеем закрытую модель, а при условии

– открытую модель транспортной задачи.

Очевидно, в случае закрытой модели весь имеющийся в наличии груз развозится полностью, и все потребности заказчиков полностью удовлетворены; в случае же открытой модели либо все заказчики удовлетворены и при этом на некоторых базах остаются излишки груза , либо весь груз оказывается израсходованным, хотя потребности полностью не удовлетворены .

Так же существуют одноэтапные модели задач, где перевозка осуществляется напрямую от, например, базы или завода изготовителя к потребителю, и двухэтапные, где между ними имеется “перевалочный пункт”, например – склад.

План перевозок с указанием запасов и потребностей удобно записывать в виде следующей таблицы, называемой таблицей перевозок:

Пункты Отправления	Пункты назначения				Запасы
			…
			…
			…
…	…	…	…	…	…
			…
Потребности			…		или

Условие  или  означает, с какой задачей мы имеем дело, с закрытой моделью или открытой моделью транспортной задачи. Перемен­ное  означает количество груза, перевозимого с базы  потреби­телю : совокупность этих величин образует матрицу (матрицу перевозок).

Очевидно, переменные  должны удовлетворять условиям:

(2.1.1)

(2.1)

Система (2.1) содержит  уравнений с  неизвестными. Её особенность состоит в том, что коэффициенты при неизвестных всюду равны единице. Кроме того, все уравнения системы (2.1) могут быть разделены на две группы: первая группа из т первых уравне­ний (“горизонтальные” уравнения) и вторая группа из п остальных уравнений (“вертикальные” уравнения). В каждом из горизонталь­ных уравнений содержатся неизвестные с одним и тем же первым индексом (они образуют одну строку матрицы перевозок), в каждом из вертикальных уравнений содержатся неизвестные с одним и тем же вторым индексом (они образуют один столбец матрицы пере­возок). Таким образом, каждая неизвестная встречается в системе (2.1) дважды: в одном и только одном горизонтальном и в одном и только одном вертикальном уравнениях.

Такая структура системы (2.1) позволяет легко установить ее ранг. Действительно, покажем, что совокупность неизвестных, образующих первую строку и первый столбец матрицы перевозок, можно принять в качестве базиса. При таком выборе базиса, по крайней мере, один из двух их индексов равен единице, а, следо­вательно, свободные неизвестные определяются условием , .Перепишем систему (2.1) в виде

(2.1’)

где символы и означают суммирование по соответствующему индексу. Так, например,

При этом легко заметить, что под символами такого суммирования объединяются только свободные неизвестные (здесь , ).

В рассматриваемой нами системе только два уравнения, а имен­но первое горизонтальное и первое вертикальное, содержат более одного неизвестного из числа выбранных нами для построения базиса. Исключив из первого горизонтального уравнения базисные неизвестные  с помощью вертикальных уравнений, мы получаем уравнение

или короче

(2.2)

где символ  означает сумму всех свободных неизвестных. Аналогично, исключив из первого вертикального уравнения базисные неизвестные  с помощью горизонтальных уравнений, мы получаем уравнение

(2.2’)

 

Так как для закрытой модели транспортной задачи , то полученные нами уравнения (2.2) и (2.2’) одинаковы и, исключив из одного из них неизвестное , мы получим уравнение-тождество 0=0, которое из системы вычеркивается.

Итак, преобразование системы (2.1) свелось к замене двух урав­нений (первого горизонтального и первого вертикального) уравне­нием (2.2). Остальные уравнения остаются неизменными. Система приняла вид

(2.3)

В системе (2.3) выделен указанный выше базис: базисные неиз­вестные из первых т уравнений образуют первый столбец матрицы перевозок, а базисные неизвестные остальных уравнений образуют первую строку матрицы перевозок без первого неизвестного  [она входит в первое уравнение системы (2.3)]. В системе (2.3) имеется  уравнений, выделенный базис содержит  неизвест­ных, а, следовательно, и ранг системы (2.1) .

Для решения транспортной задачи необходимо кроме запасов и потребностей знать также и тарифы , т. е. стоимость перевозки единицы груза с базы  потребителю .

Совокупность тарифов  также образует матрицу, которую можно объединить с матрицей перевозок и данными о запасах и потребностях в одну таблицу:

Пункты Отправления	Пункты назначения									Запасы
						…
						…
						…
…	…			…		…	…			…
						…
Потребности						…				или

Сумма всех затрат, т. е. стоимость реализации данного плана перевозок, является линейной функцией переменных :

(2.4)

 

Требуется в области допустимых решений системы уравнений (2.1) и (2.1.1) найти решение, минимизирующее линейную функцию (2.4).

Таким образом, мы видим, что транспортная задача является задачей линейного программирования. Для ее решения применяют также симплекс-метод, но в силу специфики задачи здесь можно обойтись без симплекс-таблиц. Решение можно получить путем неко­торых преобразований таблицы перевозок. Эти преобразования соответствуют переходу от одного плана перевозок к другому. Но, как и в общем случае, оптимальное решение ищется среди базисных решений. Следовательно, мы будем иметь дело только с базисными (или опорными) планами. Так как в данном случае ранг системы ограничений-уравнений равен  то среди всех  неизвест­ных  выделяется  базисных неизвестных, а остальные ·

неизвестных являются свободными. В базис­ном решении свободные неизвестные равны нулю. Обычно эти нули в таблицу не вписывают, оставляя соответствующие клетки пустыми. Таким образом, в таблице перевозок, представляющей опорный план, мы имеем  заполненных и · пустых клеток.

Для контроля надо проверять, равна ли сумма чисел в заполнен­ных клетках каждой строки таблицы перевозок запасу груза на соответствующей базе, а в каждом столбце — потребности заказчика [этим подтверждается, что данный план является решением системы (2.1)].

Замечание 1. Не исключаются здесь и вырожденные случаи, т. е. возможность обращения в нуль одной или нескольких базисных неизвестных. Но эти нули в отличие от нулей свободных неизвест­ных вписываются в соответствующую клетку, и эта клетка считается заполненной.

Замечание 2. Под величинами , очевидно, не обязательно под­разумевать только тарифы. Можно также считать их величинами, пропорциональными тарифам, например, расстояниями от баз до потребителей. Если, например,  выражены в тоннах, а  в километрах, то величина , определяемая формулой (2.4), является количеством тонно-километров, составляющих объем данного плана перевозок. Очевидно, что затраты на перевозки пропорциональны количеству тонно-километров и, следовательно, будут минимальными при минимуме S. В этом случае вместо матрицы тарифов мы имеем матрицу расстояний.