Навигация
Переходим к характеристике установок второго типа
24087
знаков
0
таблиц
0
изображений
6. Переходим к характеристике установок второго типа.
А. В математической физике и классической теории некорректных задач, хотя и принимается, что решения некорректных задач могут быть получены лишь при использовании так называемой априорной (дополнительной) информации о свойствах искомого решения и помех во входных данных, однако фактически принимается стратегия использования минимальных объемов априорной информации. Именно, используется только та априорная информация, которая обеспечивает факт регулярности предлагаемых (разрабатываемых) методов, т.е. сходимости решений к точным при снижении интенсивности помех (в принятых метриках) до нуля. При этом основные разрабатываемые методы относятся к бесконечномерным задачам, на конечномерные они распространяются без всяких изменений.
Проблема повышения точности и надежности получаемых решений за счет использования максимально возможных объемов априорной информации по существу не рассматривается.
Б. В математической геофизике основное значение придается проблеме получения максимально надежных и точных решений конечномерных задач, и прежде всего – задач нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений с приближенными данными. В связи с этим в рассмотрение вводится множество различных (по типам помех во входных данных, по имеющимся объемам априорной информации о помехах) постановок некорректных задач. В качестве самостоятельной (имеющей принципиальное значение) рассматривается задача нахождения различных характеристик помех непосредственно по тем заданным (из наблюдений) величинам, по которым ищутся решения задач.
7. Далее переходим к характеристикам установок третьего типа.
А. В рамках математической физики и классической теории некорректных задач проблема создания численных алгоритмов и эффективных компьютерных технологий не рассматривается как имеющая принципиальное значение. Это, так сказать, чисто техническая проблема, которая в каждом конкретном случае должна решаться по-своему. Никакая общая методология, на основе которой должна разрабатываться проблема создания численных алгоритмов и эффективных компьютерных технологий, не создается.
Б. В рамках же математической геофизики рассматриваемой проблеме придается первостепенное значение. Утверждается, что в разрабатываемых численных алгоритмах и компьютерных технологиях прежде всего должны реализовываться установки общей методологии интерпретации геофизических данных, и прежде всего – концепция методообразующих идей [3]. Последние имеют иерархическое строение, на верхнем уровне фундаментальных идей последних всего пять:
1) идея использования аналитических аппроксимаций (изучаемых функций, уравнений и задач);
2) идея критериальности (использования специальных критериев, которым должны удовлетворять искомые решения);
3) идея алгебраизации (желательно решения задач искать как решение одной, либо некоторой совокупности, систем линейных алгебраических уравнений);
4) идея согласования множества допустимых решений (в силу наличия неопределенности в используемой априорной информации число допустимых – не противоречащих априорной информации – решений может быть целое множество; но пользователю желательно иметь в конечном итоге всего одно решение, отсюда необходимость в конструировании окончательного решения по множеству допустимых);
5) идея использования методов распознавания образов – в рамках как разрабатываемых численных алгоритмов, так и создаваемых компьютерных технологий.
В математической геофизике принципиально важным принимается использование методов распознавания образов – как при формировании тех объемов априорной информации, которая далее используется в алгоритмах нахождения искомых решений некорректных задач, так и при анализе хода вычислительного процесса, при управлении этим ходом.
8. Необходимо подчеркнуть еще ряд важных позиций, по которым имеется принципиальное различие между установками математической физики и теории некорректно поставленных задач – с одной стороны, и новой математической физики – с другой. Этих позиций восемь.
а) В математической геофизике фундаментальное значение имеет проблема комплексного использования данных нескольких геофизических методов – в целях построения наиболее надежных и точных моделей строения земных недр, а также протекающих в них геодинамических процессов. В математической физике и классической теории некорректных задач данная проблема по существу не рассматривается.
б) В целом ряде геофизических методов (гравиметрия, магнитометрия, геоэлектрика) важнейшее значение имеет проблема построения метрологических линейных аппроксимаций функций, описывающих элементы изучаемых физических полей на поверхности Земли и в ее внешности. Такие аналитические аппроксимации должны строиться непосредственно по данным измерений различных характеристик внешних полей – в конечном числе точек, произвольно расположенных на поверхности Земли и в ее внешности. Решение данной проблемы позволит принципиально изменить информационную основу геофизики – аналитические аппроксимации должны заменить карты. В рамках математической физики и классической теории некорректных задач проблема построения аналитических аппроксимаций элементов физических полей по существу не рассматривается.
в) Создаваемые в рамках математической геофизики алгоритмы решения задач (соответственно – реализующие их компьютерные технологии) организуются так, чтобы получались некоторые внутренние оценки надежности и точности получаемых решений. Такие оценки оказываются возможными потому, что и данные наблюдений, и имеющаяся априорная информация подразделяются на две части: во-первых, непосредственно используемая в вычислительном процессе, т.е. в процессе нахождения искомого решения задачи, а во-вторых, не используемая в вычислительном процессе, но используемая в специальных процедурах оценки точности и надежности полученных решений (иначе – контрольные данные). При получении неудовлетворительных оценок процедура нахождения решения задачи должна повторяться – при иной организации используемых данных и априорной информации. Такая переорганизация процедуры нахождения решения может производиться несколько раз. Ясно, что в рамках математической физики и теории некорректных задач подобного рода аспекты нахождения решений задач не рассматриваются вовсе.
г) В рамках математической физики рассматривается целое множество моделей помех во входных данных, которые фактически не рассматриваются в классической теории некорректных задач. Во-первых, это модели мультипликативно-аддитивных помех, при этом каждая из составляющих этой модели характеризуется целым набором числовых величин. Во-вторых, это модели помех разнородных и разноточных, т.е. с “ блочной характеристикой” . Иначе говоря, вектор помехи наделяется блочной структурой, и каждый блок (парциальный вектор помехи) наделяется собственными (различными) характеристиками помехи. Используется еще и ряд других моделей помех во входных данных решаемых задач.
д) В математической геофизике используется принципиально новый метод нахождения аналитических аппроксимаций элементов физических полей – метод интегральных представлений, который призван заменить классический метод интегральных уравнений. При этом важнейшим частным случаем этого метода является метод линейных интегральных представлений. Данные методы, см. [3,4], созданы именно в математической геофизике, они не разрабатывались в математической физике и классической теории некорректных задач.
е) В рамках математической геофизики важнейшей вычислительной проблемой признается проблема нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений с приближенными данными, большой (P=NM=108–109) и сверхбольшой (P=NM 1010) размерности (здесь N – число уравнений в системе, М – число подлежащих определению неизвестных – компонент вектора x). В силу этого в ней предложен целый ряд принципиально новых конструктивных идей, используемых при разработке алгоритмов нахождения искомых решений линейных систем, см. [5-21]. Здесь прежде всего следует отметить идею редукции систем к канонической форме (в которой вектор правой части системы имеет всего одну ненулевую компоненту), идею редукции систем в канонической форме к решению одного уравнения с одной неизвестной, идею адаптивной регуляризации (основанной на использовании специальных – так называемых корреляционных ортогональных преобразований матриц систем (Прим. автора: здесь особо следует подчеркнуть тот факт, что в рамках той новой теории регуляризации систем линейных алгебраических уравнений, которая разрабатывается автором в последние годы, см. [ ], использование новых ортогональных преобразований (не рассматривавшихся ранее в вычислительной линейной алгебре) имеет в некотором смысле определяющее значение.)) и целый ряд других конструктивных идей, на которых здесь нет возможности останавливаться. Созданные в рамках математической геофизики новые алгоритмы нахождения приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений являются новыми и для вычислительной линейной алгебры.
ж) В рамках новой математической геофизики разрабатывается принципиально новый подход к решению обратных геофизических задач, прежде всего – в гравиметрии и магнитометрии, в котором отпадает необходимость в решении сложных (по аналитике) прямых задач. (Напомним здесь, что основной метод решения обратных задач геофизики основывается на многократном варьировании моделей изучаемой геологической среды, решении соответствующих задач для каждой из моделей и сопоставлении вычисленных – для каждой модели – величин с данными наблюдений.) В рамках нового подхода, используемого в рамках теорий дискретных физических полей, используются два приема:
во-первых, прием построения эквивалентных распределений источников полей,
во-вторых, прием преобразования принимаемых модельных источников поля в соответствующие им эквивалентные.
В настоящее время возникает важная задача внедрения нового подхода в практику интерпретации геофизических данных, прежде всего – данных гравитационных и магнитных наблюдений.
3) Математическая геофизика и классическая теория некорректных задач не являются “ привязанными” к приложениям в какой-то конкретной науке. Их миссия – разработка тех основных теоретических положений, которые могут (и по существу – должны!) использоваться в самых различных науках. Именно в этом и состоит мотивация тех используемых в математической физике и классической теории некорректных задач и приведенных выше установок (трех типов) и которые естественным образом отличаются (обязаны отличаться!) от установок (новой) математической геофизики. Действительно, математическая геофизика, по данной автором переформулировке классического изречения Клаузевица (Прим. автора:Речь идет о следующем изречении: “Война есть продолжение политики другими средствами”.), имеет сугубо подчиненное значение: “ Математическая геофизика есть реализация установок общей методологии интерпретации геофизических данных средствами математики”.
Именно этим определяется различие в общих установках, именно этим определяются данные выше семь дополнительных позиций, именно в этом состоит восьмая позиция.
Похожие работы
... чиновником, а мате- матические трактаты публиковались рядом с текстами по чайной церемонии или искусству икебана. Может быть даже в большой степени, чем японская культура, японская наука является изначально старательной ученицей китайской. В 646 г. благодаря реформам Тайка (тайка (яп.)- великая перемена), осуществленным императором Котоку, Япония приняла государ- ственную модель ...
... важнейших вопросов антропологии, этнографии, демографии, исторической и медицинской географии. Расы - это территориальные группы людей, выделяемые на основе их генетического родства, которое проявляется в определенном физическом сходстве. Большинство отечественных антропологов различают три большие расы человечества - монголоидную ("желтую"), европеоидную ("белую") и негроидно-австролоидную (" ...
0 комментариев