Эксперимент, который можно использовать при знакомстве с понятиями: равновозможные события, более вероятное событие, менее вероятное событие

3. Эксперимент, который можно использовать при знакомстве с понятиями: равновозможные события, более вероятное событие, менее вероятное событие.

Оборудование: два белых и один черный шар.

Описание эксперимента. В ящик или мешок кладут два белых и один черный шар. Требуется вытащить последовательно один за другим 2 шара. Учитель спрашивает детей: “Каким может быть результат такого опыта?”

Обнаруживается, что может быть 3 случая:

С помощью эксперимента необходимо выяснить, какой из этих случаев более возможен, менее возможен или, может быть, среди них имеются равновозможные случаи. Затем полученные экспериментальные выводы необходимо обосновать, рассмотрев все возможные комбинации выбора двух шаров из имеющихся трех, которые можно условно обозначить Ч, Б1, Б2.

4. Игра “Какова сумма?” Эта игра поможет подвести детей к понятию вероятности с точки зрения классического определения.

Нарисуем большой прямоугольник, 14Ч11 клеток. Между 14 детьми распределим 14 жетонов, пронумерованных от 1 до 14. Дети ставят свои домики на линию старта на клетку с соответствующим номером. Бросаем две большие игральные кости. После каждого подбрасывания костей ребенок, номер которого равен сумме очков на выпавших гранях продвигается на одну клетку к финишу. Выигрывает тот, кто первым достигнет финиша.

Очень скоро дети догадываются, что некоторые из них находятся в более благоприятных условиях, чем другие, и что участники, получившие номера 1, 13, 14 не имеют никакого шанса продвинуться вперед (имея две кости, невозможно в сумме получить 1 или число, большее 12). Тогда дети решают, что в следующей партии эти числа надо выбросить. Можно сыграть несколько партий. Дети хотят получить номер 5, 6, 7, 8, 9, но никто не хочет взять 2, 3, 4, 10, 11 или 12. Разумно попробовать обосновать, почему так происходит, попросив детей ответить на вопрос, сколькими способами можно получить 2, 3, 4,..., 12 очков при бросании двух игральных костей.

5. Игра “Сколько окажется на своем месте?” Эта игра помогает на интуитивном уровне подвести детей к понятию относительной частоты.

Надо вырезать из картона 5 одинаковых карточек, написав на них цифры от 1 до 5, затем перетасовать их и выложить на стол в той последовательности, в которой они оказались после перетасовывания, например, в такой:

При этом только одна цифра — 5 — соответствует номеру места, на котором она лежит.

Далее можно сформулировать серию вопросов, на которые дети должны ответить на основании данных, полученных в ходе экспериментов. Такими вопросами могут быть:

1) Как вы думаете, насколько редким является исход

2) Будет ли еще более редкий случай, когда ни одна карточка не окажется на своем месте?

3) Будет ли случай, когда все карточки лежат на своем месте?

4) Что можно сказать о частоте исхода, когда две (три, четыре) цифры окажутся на своем месте?

Эксперименты можно вести в следующем направлении: провести опыты 10 раз; результаты занести в таблицу и вычислить значение относительной частоты по каждому вопросу при n = 10.

	Вопрос	Кол-во раз	Относительная частота
		из 10	из 20	из...	из 100
1	Сколько раз был исход 3,1,4,2,5?
2	Сколько раз был случай, когда ни одна карточка не оказалась на своем месте?
3	Сколько раз все карточки оказались на своем месте?
4	Сколько раз две карточки оказалась на своем месте?
5	Сколько раз три карточки оказалась на своем месте?
6	Сколько раз четыре карточки оказалась на своем месте?

Затем повторить опыт еще 10 раз. На самом деле мы имеем уже 20 опытов, которые опять заносим в таблицу и вычисляем относительную частоту при n = 20. Проделав опыт, например, 100 раз, можно определить приближенное значение вероятности для каждого исхода.

А как определить вероятность на множестве элементарных событий? Далее можно привести формулу классической вероятности (выше мы ее предлагали).

Элементарным, как это видно из самого названия, является самое простое событие, которое нельзя разложить на другие события.

Например, выпадение на кубике четного числа — событие не элементарное. Оно раскладывается на три события: выпала двойка, выпала четверка, выпала шестерка. А вот выпадение каждого числа как раз и есть элементарное событие. При бросании кубика получаем множество из 6-ти элементарных событий. Событию “выпадание четного числа” соответствует подмножество из элементов 2, 4, 6 (мера этого подмножества M = 3). Событию “выпадание числа больше двух” соответствует подмножество из четырех элементов.

Обозначим множество элементарных событий греческой буквой  (омега). Тогда можем записать:

.

Пример. Пусть событие A — выпадание на кубике четного числа; M(A) = 3. Здесь  — множество всех возможных выпаданий; M() = 6. Значит, .

Пример. Возьмем мешок с 10 шариками (4 красных, 3 желтых, 3 синих). Ты наугад вынимаешь из мешка шарик. Множество элементарных событий состоит из 10-ти элементов; каждый элемент — вынимание одного шарика (M() = 10). Множество элементарных событий разбито здесь на три подмножества: красное (M(K) = 4), желтое (M(Ж) = 3), синее (M(С) = 3). Вероятность вытянуть с закрытыми глазами синий шарик определяется по формуле:

.

Аналогично без труда находятся вероятности P(K) и P(Ж).

Пример. Возьмем колоду игральных карт. Элементарное событие — вытягивание карты из колоды. Всего карт 36: . Изобразим множество  в виде таблицы:

Òàáë. F

	6	7	8	9	10	В	К	Д	Т





Укажи меры следующих подмножеств:

– всех пиковых карт;

– всех дам;

– всех карт с картинками (валеты, короли, дамы).

Зная меры указанных подмножеств, определи вероятности вытянуть пиковую карту, вытянуть даму, вытянуть картинку.

По-видимому, для множеств с конечным числом элементов, где мера — число элементов, все ясно.

Можно было вести речь и о несчетных множеств, но нам кажется, что в начальной школе достаточно и этого материала [9, 146; 13, 236—242].

Глава III. Анализ эксперимента

Как воспринимают школьники самые простые (или более сложные) задачи, направленные на активизацию различных мыслительных операций? Возможно ли научить учащихся начальных классов решать задачи и проводить эксперименты по теории вероятностей? Развиваются ли при этом мыслительные способности?

Чтобы ответить на эти вопросы, нами был проведен в гимназии № 1 г. Слонима. В эксперименте принимали участие ученики третьих классов. Эксперимент состоял из трех частей.

Констатирующий. Были предложены простые задачи для проверки восприятия школьниками вероятностных задач.

Методический (обучающий). Предлагалась система задач с использованием элементов теории вероятностей и статистики, которые они выполняли под руководством учителя, а также были даны первоначальные представления о теории вероятностей.

Контрольный. В этой части ученики решали задачи, похожие на задания из констатирующего эксперимента, но более сложного уровня для окончательной оценки умения решать логические задачи с элементами теории вероятностей.

III.1. Констатирующий эксперимент

Предложены следующие задания.

1. Есть 5 зрелых и 4 незрелых арбуза. Сколько арбузов надо купить, чтобы среди них был хотя бы один зрелый?

2. Есть три ключа от трех замков. Они перемешались. Сколько проб достаточно, чтобы подобрать ключи к замкам?

3. В аквариуме 6 золотых рыбок и 2 незолотые рыбки. Наугад достали 3 рыбки. Какие рыбки могли достать?

4. В мешочке 3 красных и 3 желтых шарика. Сколько надо вынуть наугад, не глядя в мешочек, шариков, чтобы быть уверенным в том, что:

а) хотя бы один из вынутых шариков будет красным;

б) два шарика будут разного цвета;

в) не будет ни одного красного шарика.

5. В мешочке 10 одинаковых по размерам и весу шаров, из которых 4 красных и 6 голубых. Из урны извлекается 1 шар. Какова вероятность (шанс) того, что извлеченный шар окажется голубым? Сколько нужно сделать попыток, чтобы достать 1 голубой шар?

Цель констатирующего эксперимента: проверить, как ученики III класса будут воспринимать и решать эти задачи, т. е. изучить начальный уровень знаний, умений, навыков.

Вывод. Результат констатирующего эксперимента освещен в таблице.

№	Ф. И.	1	2	3	4	5	Всего решено
1	Ахремко Ксения	+	+	+	-	-	2
2	Беленко Юлия	+	+	+	+	-	4
3	Гедич Вадим	+	-	-	-	-	1
4	Грабун Максим	+	+	+	+	-	4
5	Иванов Роман	+	-	+	-	-	2
6	Киселев Кирилл	+	-	-	-	-	1
7	Куровская Ольга	-	+	+	-	-	2
8	Матеюк Андрей	+	-	-	-	-	1
9	Окунь Евгений	+	+	-	-	-	2
10	Панфилов Егор	-	+	-	-	-	1
11	Сидорик Анастасия	+	+	+	+	-	4
12	Сочан Анастасия	+	+	+	-	-	2
13	Тимохин Артем	+	+	-	-	-	2
14	Филипчик Виталий	+	-	+	-	-	2
15	Чищеня Ирина	+	-	+	-	-	2
	Итого	13	9	8	3	0	33

В эксперименте принимало участие 15 человек. Нету ни одного учащегося, решившего все задачи. Основной успех достигнут при решении задач №№ 1—3. Итак, как видим, результат невысок.

Причины низких результатов:

1. Подобные задачи редко встречались в практике учащихся.

2. Предложенные задачи чаще всего решаются нетрадиционными методами.

3. Учащиеся не знакомы с элементами теории вероятностей.

III.2. Методический (обучающий) эксперимент

Цель эксперимента: познакомить учеников с элементами теории вероятностей, логическим процессами, приемами решения задач, с проведением эксперимента, вычислением вероятности по формуле. Предлагались следующие задания.

1. В ящике имеются 3 черных и 5 белых шаров. Какое наименьшее количество шаров надо взять из ящика (не заглядывая в него) чтобы среди вынутых шаров оказался: а) хотя бы 1 черный; б) хотя бы 1 белый?

2. В ящике имеются 12 одинаковых шаров, отличающихся только цветом: 6 красных, 3 белых, 2 зеленых и 1 черный. Какое наименьшее количество шаров надо взять из ящика наугад, чтобы среди вынутых шаров было не менее двух шаров одного цвета?

Решение. Будем рассуждать следующим образом: вынув один шар, вынимаем следующий. Он может оказаться того же цвета, что и первый. Но возможно, что второй шар иного цвета, третий шар отличается по цвету от двух первых и т. д. Наихудший вариант: 4 первых шара оказались разных цветов. Тогда пятый шар составит одноцветную пару с одним из ранее вынутых.

Ответ: 5 шаров[7] .

В методическом эксперименте учащихся познакомились с понятиями теории вероятностей, приемами вычислений по формуле, учились проводить опыты. Приведем несколько из них.

1. Опыты с пятью монетами, которые Буратино получил от Карабаса-Барабаса[8] .

Велась таблица, куда заносились предположения детей об исходе опытов и данные опытов. Опыт проводился более 100 раз.

Учащиеся научились проводить эксперимент и заносить данные в таблицу, делать вывод.

2. Эксперимент с двумя белыми и одним черным шаром, где нужно было выяснить, каков может быть результат опыта, если вытаскивать один за другим 2 шара. Исходы опытов зарисовывались.

После знакомства детей с формулой, по которой вычисляется вероятность, были предложены задачи таких типов:

1. В урне 10 одинаковых шаров, из которых 4 красных и 6 голубых. Из урны извлекается 1 шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется голубым?

Решение. Событие “извлеченный шар окажется голубым” обозначим буквой A. Данное испытание имеет 10 равновозможных элементарных исходов, из которых 6 благоприятствуют событию A. В соответствии с формулой получаем:

.

2. В урне 3 черных и 4 белых шара. Вы вынимаете один из них, кладете обратно, перемешиваете и вынимаете другой. Возможен один из трех исходов: либо оба шара черные, либо оба белые, либо они различных цветов. Каковы вероятности этих событий?

Во время эксперимента дети учились применять формулу, придумывали и свои аналогичные задачи.

III.3. Контрольный эксперимент

Цель: 1. Окончательно проверить, доступны ли первоначальные логические понятия, элементы теории вероятностей, методика решения задач на нахождение вероятности какого-либо события учащимся начальных классов. 2. Проверить умения решать вероятностные задачи после получения некоторых теоретических и практических знаний и умений.

Были предложены задачи:

1. В пакете имеются конфеты трех сортов, не различимые на ощупь. Какое наименьшее число конфет надо взять наугад из пакета, чтобы среди вынутых были хотя бы 2 конфеты одного сорта?

2. Ключи от четырех чемоданов перемешались. Нужно определить, от какого чемодана какой ключ. Сколько для этого надо сделать попыток?

3. В мешочке 3 красных и 3 желтых шарика. Сколько надо вынуть наугад, не глядя в мешочек, шариков, чтобы быть уверенным в том, что:

а) будет 2 желтых шарика;

б) 3 шарика будут разного цвета.

4. В мешочке 3 черных и 4 белых шара. Вы вынимаете один из них, кладете обратно, перемешиваете и вынимаете другой. Найти вероятность того, что вынут черный шар (3/7), вынут белый шар (4/7).

5. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры одинаковы? (9/90)

Вывод. Результат контрольного эксперимента освещен в таблице.

№	Ф. И.	1	2	3	4	5	Всего решено
1	Ахремко Ксения	+	+	+	+	+	5
2	Беленко Юлия	+	+	+	+	+	5
3	Гедич Вадим	+	+	-	-	-	2
4	Грабун Максим	+	+	+	+	+	5
5	Иванов Роман	+	+	+	+	+	5
6	Киселев Кирилл	+	+	-	-	-	2
7	Куровская Ольга	+	+	+	-	-	3
8	Матеюк Андрей	+	-	-	-	-	1
9	Окунь Евгений	+	+	+	+	-	4
10	Панфилов Егор	+	+	-	-	-	2
11	Сидорик Анастасия	+	+	+	+	+	5
12	Сочан Анастасия	+	+	+	+	+	5
13	Тимохин Артем	+	+	+	+	+	5
14	Филипчик Виталий	+	+	+	+	-	4
15	Чищеня Ирина	+	+	-	-	-	2
	Итого	13	9	8	3	0	55

Правильно решенных задач — 55. Наибольшее количество решений достигнуто в задачах №№ 1, 2, 3. В этот раз решили все задачи 7 человек. Как видим, ученики 3-го класса после получения некоторых знаний и умений справились с заданиями намного лучше, чем в констатирующем эксперименте. Некоторые учащиеся решили задания на нахождение вероятности события.

Итак, результаты эксперимента подтверждают гипотезу о том, что мыслительные способности можно развивать. Многие вероятностные задачи доступны учащимся начальной школы. Этому безусловно способствует система специальных задач и упражнений, которые, как нам кажется, надо в большем количестве вводить в учебники по математике для начальной школы.

Заключение

Мы попытались показать, насколько многообразен и интересен мир задач и упражнений, как важно, начиная с начальной школы, развивать логику ребенка, его мыслительные способности, вводя даже такое сложное понятие как теория вероятностей.

Некоторые виды задач, приемлемые для начальной школы, рассматривались нами более подробно, более тщательно раскрывалась методика работы с ними. Многие задачи недоступны детям младшего школьного возраста, хотя отдельные элементы их в пропедевтическом плане можно предлагать на уроках математики и занятиях по интересам.

На основании изученной литературе и результатов эксперимента мы пришли к выводам:

1. В ныне действующих учебниках по математике (под ред. А. А. Столяра) рассмотренные выше задачи присутствуют, но в малом количестве и эпизодично.

2. Поскольку многие задачи с элементами теории вероятностей и статистики доступны детям младшего школьного возраста, интересны им и тесно связаны с программой по математике, то их необходимо включать в учебники. Они привлекают ребят и делают уроки многообразными и интересными.

3. Необходимо более тщательно разработать методику работы задач с элементами теории вероятностей и статистики.

4. Система выше рассмотренных задач и упражнений позволяет активизировать мышление детей.

5. Использование разнообразных задач с элементами теории вероятностей и статистики в курсе математики начальной школы позволяет:

развивать:

— логическое и вообще математическое мышление;

— способности к решению нестандартных задач;

— интерес к математике как науке;

уточнять математические понятия; знакомиться с новыми понятиями, создавая хорошую базу знаний для обучения в среднем и старшем звене школы;

расширять:

— круг упражнений в курсе математики начальной школы;

— круг интересов младших школьников.

Таким образом, наша гипотеза в целом подтверждается: задачи с использованием элементов теории вероятностей и статистики можно и нужно вводить в курс математики начальной школы в бульших количествах. Это детям доступно и интересно.

Давая ученикам инструмент — умение логически мыслить, проводить эксперименты, делать выводы, — позволяющий более уверенно чувствовать себя в проблемных ситуациях, в том числе и житейских, — не это ли и есть гуманизация образования?

Список литературы

1. Аргинская И. И. Обучаем по системе Занкова. М., 1991.

2. Блох А. Ш., Юркевич А. В. Первые темы теории вероятностей. Учебно-методическое пособие. Мн., 1978.

3. Бычкова Л. О., Сенютин В. Д. Об изучении вероятности и статистики в школе //Математика в школе. 1991. № 6. С. 9—12.

4. Горский Д. П. Краткий словарь по логике. М., 1991.

5. Гусев В. А., Орлов А. И., Розенталь А. Л. Внеклассная работа по математике в 6—8 классах. М., 1995.

6. Каменкова Н. Г. Элементы теории вероятностей: Учебное пособие. СПб, 1993.

7. Программы 12-летней общеобразовательной школы с рус. яз. обучения. Подготовительный — III кл. Мн., 1999.

8. Столяр А. А. Основы современной школьной математики. Ч. 1. Мн., 1975.

9. Тарасов Л. В. Неслучайная случайность. Ч. I. /Экспериментальный учебник развивающего типа по интегративному предмету “Закономерности окружающего мира” (VI класс). М., 1993.

10. Тихомирова А. Ф., Басов А. В. Развитие логического мышления детей. Яр., 1997.

11. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. Ч. II. М., 1983.

12. Эльконин Д. Б. Детская психология. М., 1960.

13. Юркевич А. В., Шербаф А. И., Жавнерко В. В. Об одном способе изложения теории вероятностей в школе //Новые технологии в системе непрерывного образования. Т. 2. Мн., 1995.

14. Юркевич А. В., Шербаф А. И. Теория вероятностей в задачах. Учебное пособие. Мн., 1994.