Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием

С.А. Клоков, Омский государственный университет, кафедра математического анализа

1. Введение. Обозначения. Постановка задачи

Пусть  - стационарная (в узком смысле) последовательность случайных величин (с.в.), ,  - -алгебры, порожденные семействами , . Говорят, что удовлетворяет условию равномерно сильного перемешивания (РСП), если коэффициент перемешивания

стремится к нулю при .

Как обычно, через обозначим дисперсию суммы , а через  - нормальную с.в. с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Символы  и обозначают сходимость по распределению и равенство распределений с.в.,  ·  - норму в L2, 1(A) - индикатор множества A. Через обозначим срезку , через  - дисперсию суммы . Вместе с последовательностью будет рассматриваться последовательность таких с.в., что и независимы. В случае, если функции f и g связаны соотношением , где const - абсолютная константа, будем писать , а если и , то .

Будем считать известными определения правильно меняющихся и медленно меняющихся функций (см., например, [5]).

Говорят, что последовательность с.в. притягивается к нормальному закону, если при некотором выборе нормирующих констант An и имеет место соотношение , . В случае, если с.в. имеют конечные вторые моменты, дисперсия суммы и говорят, что к последовательности применима центральная предельная теорема (ЦПТ).

Первые предельные теоремы для слабо зависимых величин были доказаны И.А. Ибрагимовым в начале 60-х годов. Условие РСП дает возможность доказывать результаты о сходимости к нормальному закону без каких-либо предположений о скорости перемешивания (стремления к нулю). В этом случае будем говорить, что справедливо строгое притяжение к нормальному закону. В [?] доказана

Теорема 1. Пусть  - стационарная последовательность с.в., удовлетворяющая условию РСП, , для некоторого и . Тогда к последовательности применима ЦПТ.

Для последовательности независимых одинаково распределенных с.в. ЦПТ справедлива, если потребовать существование лишь вторых моментов. Исходя из этого, в [1] высказана

Гипотеза (Ибрагимов, 1965).  

Пусть   - стационарная последовательность с.в., удовлетворяющая условию РСП, и . Тогда к последовательности применима ЦПТ.

Пусть  - последовательность независимых одинаково распределенных с.в., не имеющих вторых моментов. Тогда распределение принадлежит области притяжения нормального закона тогда и только тогда, когда функция является ММФ. Иосифеску сформулировал следующее предположение.

Гипотеза (Ибрагимов-Иосифеску).

Пусть  - стационарная последовательность с.в., удовлетворяющая условию РСП с , и H(x) - ММФ. Тогда притягивается к нормальному закону.

Гипотезы Ибрагимова и Ибрагимова-Иосифеску не доказаны и не опровергнуты до сих пор.

Хорошо известны два достаточных условия для медленного изменения H(x): существование конечного второго момента () и правильное изменение хвоста распределения одного слагаемого ( - ПМФ порядка -2). В работе [4] доказана

Теорема 2. Пусть  - стационарная последовательность с.в., удовлетворяющая условию РСП, причем . Пусть , выполнено соотношение

(1)

где h(x) - ММФ. Тогда притягивается к нормальному закону.

В настоящей работе показано, что теорема 2 остается справедливой, если на функцию h(x) из (1) наложить более слабое ограничение, чем медленное изменение. В монографии Е.Сенеты предложено обобщение понятия ММФ. Функция h(x) называется SO-меняющейся [3], если существуют такие положительные постоянные C1 и C2, что для всех выполнено

(2)

Очевидно, что ММФ h(x) удовлетворяет (2), но не наоборот. Примерами SO-меняющихся функций могут служить любые функции, отделенные от нуля и от бесконечности. Таким образом, введенное расширение класса ММФ является нетривиальным.

Основным результатом работы является обобщение теоремы 2:

Теорема 3. Пусть  - стационарная последовательность с.в., удовлетворяющая условию РСП, и выполнено соотношение

(3)

где h(x) - SO-меняющаяся функция. Тогда притягивается к нормальному закону.

Обобщение результата M. Пелиграда стало возможным благодаря уточнению доказательства теоремы 2, данного в работе [4].

2. Вспомогательные результаты

Из (2) очевидным образом следует

Лемма 1. Пусть h(x) - SO-меняющаяся функция. Тогда для любого фиксированного и для любой функции достаточно медленно.

Определим последовательность соотношением .

Лемма 2. Пусть выполнено (3). Тогда

а) для любого x0 или достаточно медленно;

б) если целое число k фиксировано или целочисленная последовательность достаточно медленно, то .

Доказательство. Из определения an легко выводится, что

(4)

Из (4) и леммы 1 следует, что

(5)

Пункт а) доказан. Теперь докажем б). Пусть D0 - некоторая константа. Из (4) и леммы 1, аналогично (5), выводим для любого фиксированного k или достаточно медленно, что

.

Выбором достаточно большой константы можно добиться, что , откуда следует, что . Выбирая достаточно малую константу D = D2, получим, что . Таким образом, .

Лемма 3. Пусть - схема серий с.в. с конечными вторыми моментами, в каждой серии с.в. образуют стационарную последовательность, удовлетворяющую условию РСП с одним и тем же коэффициентом перемешивания причем . Пусть Tn,j ,. Тогда

(6)

Доказательство. Первое неравенство в (6) доказано в предложении 3.3 из [4], а второе выведено в [3, лемма3.3].

Лемма 4. Для любого фиксированного k или достаточно медленно выполнено соотношение .

Доказательство. Схема доказательства приведена в [?, теорема 18.2.3].

Лемма 5. Пусть k = k(n) - целочисленная последовательность, достаточно медленно стремящаяся к бесконечности, и имеет место (3). Тогда

(7)

где при .

Доказательство. Для проведения оценки (7) используются идеи M. Пелиграда, предложенные в [4]. В силу пункта б) леммы 2 существует такая константа C0, что . Пусть - такая числовая последовательность, что и zn = o(Ck1/2). Тогда, имея в виду пункт а) леммы 2, легко видеть, что для

(8)

Из (8) выводим

где 0 - некоторая константа. Пользуясь пунктом а) леммы 2, нетрудно вычислить, что при .

3 Доказательство основного результата

В работе А.Г. Гриня [?] введено понятие универсальной нормирующей последовательности (УНП) . Там же доказана

4. Пусть - стационарная последовательность, удовлетворяющая условию РСП. Для того чтобы притягивалась к нормальному закону, достаточно, а если , и необходимо, чтобы при любом . Пусть k = k(n) - целочисленная последовательность, стремящаяся к бесконечности столь медленно, что одновременно справедливы леммы 2, 4, 5. Тогда, имея в виду еще и лемму 3, получаем

(9)

Вместе с определением УНП (9) означает, что и an2 = o(bn2). Пусть последовательность q = q(n) стремится к бесконечности столь медленно, что an2 = o(q-1bn2). Пользуясь пунктом а) леммы 2, имеем для любого

при . Согласно теореме 4, последовательность притягивается к нормальному закону. Теорема доказана.

Список литературы

Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965. 524 с.

Гринь А.Г. Об областях притяжения для сумм зависимых величин // Теория вероятн. и ее применен. 1990. Т. 35. N2. С. 255-270.

Peligrad M. An invariance principle for -mixing sequences. - Ann. Probab. 1985. V. 13. N4. Р. 1304-1313.

Peligrad M. On Ibragimov-Iosifescu conjecture for -mixing sequences // Stochastic Processes and their Applications. 1990. V. 35. P. 293-308.

Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. М.: Наука, 1985. 142