Проблемы в области спектрального оценивания
Анализ эргодичных дискретных процессов
Периодограммные оценки Спектральной Плотности Мощности
Коррелограммные оценки Спектральной Плотности Мощности
Оценивание корреляционной функции - метод Юла-Уалкера
Гармонический алгоритм Берга
Спектральное оценивание по методу минимума дисперсии
Навигация
Гармонический алгоритм Берга
Спектральный анализ и его приложения к обработке сигналов в реальном времени
56254
знака
0
таблиц
7
изображений
1.4.3.2. Гармонический алгоритм Берга.
Алгоритм Берга идентичен геометрическому, однако оценка коэффициента отражения находится из других соображений, а именно : при каждом значений параметра p в нем минимизируется арифметическое среднее мощности ошибок линейного предсказания вперед и назад (то есть выборочная дисперсия ошибки предсказания):
Приравнивая производные к нулю, имеем оценку для 
:
Некоторым обобщением является взвешивание среднего квадрата ошибки предсказания для уменьшения частотного смещения, наблюдаемого при использовании базового метода Берга:
что приводит к следующей оценке :
1.4.4. Оценивание линейного предсказания по методу наименьших квадратов.
Налагая ограничения на авторегрессионные параметры, с тем чтобы они удовлетворяли рекурсивному выражению метода Левинсона, в методе Берга происходит минимизация по одного параметра - коэффициента отражения . Более общий подход состоит в минимизации одновременно по всем коэффициентам линейного предсказания.
Итак, пусть для оценивания авторегрессионных параметров порядка p используются последовательность данных 
.Оценка линейного предсказания вперед порядка p для отсчета 
будет иметь форму:
где 
- коэффициенты линейного предсказания вперед порядка p.
Ошибка линейного предсказания :
В матричном виде это выражение записывается как :
и соотношение для ошибки :
Однако если рассматривать, в котором минимизируется следующая, невзвешенная выборочная дисперсия :
то матрица 
принимает теплицевый вид (далее ее будем обозначать 
).
Нормальные уравнения, минимизирующие средний квадрат ошибки имеют следующий вид:
Элементы эрмитовой матрицы 
имеют вид корреляционных форм
, где 
Таким образом, авторегрессионные параметры могут быть получены в результате решения нормальных уравнений. Рассмотрим алгоритм, который в решении нормальных уравнений учитывает тот факт, что эрмитова матрица 
получена как произведение двух теплицевых и в результате этого сводит количество вычислений к 
. При использовании алгоритма Холецкого потребовалось бы 
операций.
Ошибки линейного предсказания вперед и назад p-ого порядка
Здесь вектор данных 
, вектор коэффициентов линейного предсказания вперед 
и вектор линейного предсказания назад 
определяется следующими выражениями:
, 
, 
На основе отсчетов измеренных комплексных данных ковариационный метод линейного предсказания позволяет раздельно минимизировать суммы квадратов ошибок линейного предсказания вперед и назад:
, 
что приводит к следующим нормальным уравнениям :
, 
Введем необходимые для дальнейшего определения :
, 
исходя из вида 
и 
можно записать :
, 
,
где вектор столбцы 
и 
даются выражениями :
, 
Важными также являются следующие выражения :
Пара векторов-столбцов 
и 
определяются из выражений :
Аналогично определяются вектора 
и 
, а также 
и 
через матрицы и .
Процедура, используемая для обновления порядка вектора линейного предсказания вперед выглядит следующим образом :
, где 
, в котором
Соответствующий вид имеет процедура обновления порядка для вектора предсказания назад:
, где 
,
Векторы и должны удовлетворять следующим рекурсиям обновления порядка:
Используя тот факт, что 
является эрмитовой матрицей имеем следующие выражения для 
и 
:
Введем скалярные множители
Соответствующие рекуррентные выражения для 
и 
имеют следующий вид :
Наконец, еще одна рекурсия обновления порядка необходима для вектора 
:
Обновление временного индекса в векторе коэффициентов линейного предсказания вперед осуществляется в соответствии с выражением :
Выражение для обновления временного индекса у квадрата ошибки линейного предсказания вперед :
Аналогичным образом обновление временного индекса в векторе коэффициентов линейного предсказания назад ведется в соответствии с выражением :
Выражение для обновления временного индекса у квадрата ошибки линейного предсказания назад :
, 
где комплексный скаляр 
удовлетворяет выражениям :
Соответствующие рекурсии по временному индексу для действительных скаляров и даются следующими выражениями:
, 
Начальные условия необходимы для того, чтобы начать рекурсивное решение с порядка равного нулю:
, 
, 
,
, 
,
, 
Экспериментальные результаты приведены в соответствующем разделе.
1.4.5. Градиентный адаптивный авторегрессионный метод
1.4.6. Рекурсивный авторегрессионный метод наименьших квадратов
1.5. Спектральное оценивание на основе моделей авторегрессии - скользящего среднего .
Модель авторегресии-скользящего среднего имеет больше степеней свободы, чем авторегрессионная модель, поэтому следует ожидать, что получаемые с ее помощью оценки спектральной плотности мощности будут обладать большими возможностями для передачи формы различных спектров. Основой спектрального оценивания при помощи модели авторегрессии-скользящего среднего является аппроксимация СС-процесса авторегрессионной моделью высокого порядка. Пусть
- системная функция СС(q)-процесса
-системная функция АР-процесса,
эквивалентного этому СС(q)-процессу, то есть 
Применим обратное z-преобразование к обеим частям последнего равенства, используя теорему об обратном преобразовании произведения функций, получим:
причем
Таким образом, СС-параметры можно определить по параметрам некоторой эквивалентной авторегрессионной модели посредством решения произвольной подсистемы из q уравнений. Используя АР-оценки высокого порядка 
можно записать следующую систему уравнений :
В идеальном случае ошибка 
должна быть равна нулю при всех значениях m, за исключением m=0, однако на практике при использовании конечной записи данных эта ошибка не будет равна нулю, поэтому оценки для CC-параметров должны определятся посредством минимизации дисперсии квадрата ошибки:
Из структуры уравнения для оценок параметров скользящего среднего видно, что эти оценки можно найти, решив соответствующие нормальные уравнения (здесь используется либо «Оценивание корреляционной функции - метод Юла-Уалкера», либо
«Оценивание линейного предсказания по методу наименьших квадратов»)
Общая процедура раздельного оценивания авторегрессионных параметров и параметров скользящего среднего заключается в следующем. Этап первый - определение авторегрессионных параметров по исходным данным, после этого исходную последовательность данных необходимо подвергнуть фильтрации для получения временного ряда приближенно соответствующего некоторому СС-процессу (этап второй). Этот фильтр имеет системную функцию вида :
, где 
- оценки
авторегрессионных параметров, определенные с помощью метода наименьших квадратов. Системная функция процесса авторегресии-скользящего среднего равна 
, поэтому
Таким образом, пропуская запись измеренных данных через фильтр с системной функцией 
, получаем на его выходе аппроксимирующий процесс скользящего среднего. Этап третий : для оценивания СС-параметров применяется процедура, описанная в начале этого раздела. Оценка спектральной плотности мощности АРСС-процесса имеет вид :
, где
- оценка автокорреляции, полученная по фильтрованной последовательности 
Экспериментальные результаты приведены в соответствующем разделе.
.
Похожие работы
... частотного диапазона и внешний вид фильтра. То же самое мы видим и для других Частотных диапазонов на плакатах 2 и 3 . Доклад окончен Тема: Модель тракта прослушивания гидроакустических сигналов ОглавлениеВведение Место тракта прослушивания в структуре режима ШП типовой ГАС Формирование канала наблюдения в частотной области 3 Факторы, влияющие на восстановление сигнала 3.1 Перекрытие входных ...
... ідеальних напруг приймальних каналів U, які вільні від ефекту взаємного впливу, вирішується система: , (27) де - вектор реальних напруг приймальних каналів, отриманих після аналого-цифрового перетворювача (АЦП) без проведення корекції. З метою компенсації взаємного впливу, розв’язання системи (12) здійснюється за методом найменших квадратів з мінімізацією функц ...
... на другом или утверждения о реализации идеи человеко-машинного общения. Поэтому исследования в этой области являются весьма актуальными. 3. Разработка программного обеспечения для распознавания команд управления промышленным роботом 3.1 Реализация интерфейса записи и воспроизведения звукового сигнала в операционной системе Microsoft Windows 3.1.1 Основные сведения Звуковые данные хранятся ...
... Кибернетики и Информатики Работа допущена к защите Зав. кафедрой д.т.н., проф. Семушин И.В. _____________________ _____________________ Дипломная работа Адаптивное параметрическое оценивание квадратно-корневыми информационными алгоритмами. Специальность: 01.02 – Прикладная математика. Проект выполнил студент гр. ПМ-52 _______________ Кудрявцев М.Ю. Руководитель: зав. кафедрой МКИ ...
0 комментариев