Канонический базис

3. Канонический базис

Для дальнейших результатов нам понадобится новый базис W(S), обладающий кроме ортогональности еще некоторыми дополнительными свойствами. Так как ортогональных базисов в гильбертовом пространстве W(S) существует бесконечно много, то любой из них можно получить из последовательности {ek,fk} унитарным преобразованием с матрицей перехода Т. Воспользуемся этим и трансформируем наш базис в базис {l}, ортогональный не только в W(S), но и в следующем скалярном произведении:

где KR(x0,y0) - шар с центром в (x0,y0) и радиуса R, равного расстоянию от центра до границы S. Базис с таким дополнительным свойством назовем каноническим в точке (x0,y0). Доказано (см.[4]), что базис в W(S), канонический в точке (x0,y0), существует.

Вектор-столбец бесконечной высоты с координатами:

для l = 0,1,2,... - назовем нормированным следом u(x,y) в точке (x0,0) аналогично его определению в [4].

Ортонормированному базису {ek,fk} сопоставим бесконечную матрицу , столбцы которой являются нормированными следами в (x0,0) функций ek и fk. Матрица - это нормированная фундаментальная матрица следов (ФМС) в точке (x0,0). Из [4] известно, чторазложима в произведение трех сомножителей, первый из которых Q = (qij) частично изометричен в l2, второй  - диагонален с положительной возрастающей последовательностью диагональных элементов {j}, а третий  - изометричен в l2, т.е.

Учитывая параметры этого разложения и формулы нахождения коэффициентов ряда [4, §5, теорема 1] и используя свойства скалярного произведения, канонический в точке (x0,0) базис удобно записать в виде ряда по функциям ek и fk. Тогда при всех натуральных l имеют место равенства:

Дифференцирование ek и fk сводится к дифференцированию uk и vk.

4. Приближенное интегрирование гармонических функций

В этом параграфе построим формулы интегрирования произвольной функции из W(S) и базисной последовательности полиномов.

Теорема 4.1. Существует единственная последовательность такая, что для любой функции u из W(S) и точки (x0,0) луночки S скалярное произведение конечно и при этом

Последовательность вычисляется по формулам:

где базис в W(S).

Это утверждение легко доказать, если разбить функцию u(x,y) на две части - четную и нечетную по y и разложить каждую в ряд по каноническому базису W(S). Далее, учитывая определение (3.1) координат вектор-столбца , производя необходимые преобразования с суммами и учитывая (3.2)-(3.3), получим формулы (4.1).

В формулировке теоремы 4.1 мы вывели представления для коэффициентов D1j и D2j, которые используют интегралы по луночке S. Численное вычисление множителя Al сводится к результатам следующего утверждения. Но сначала условимся об обозначениях.

Теорема 4.2. Интеграл от полинома uk+1, взятый по луночке S = S(1,2-1), совпадает с приращением функции Qk() на отрезке [1,2], а от полинома vk+1, взятый по той же луночке, равен нулю.

Здесь отметим, что приведенное в §4 приложение системы полиномов является не единственным. Например, ее можно применять в задачах, использующих альтернирующий метод Шварца. Также с их помощью можно находить решения в составных областях на плоскости.

Список литературы

Axler S., Bourdon P., Ramey~W. Harmonic Function Theory. Springer-Verlag, 1992.

Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения.М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит. 1963. 360 с.

Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.:Гос. изд-во физ.-мат. лит. 1961. 523 с.

Васкевич В.Л. Аналоги эрмитовых кубатурных формул для интеграла Дирихле от гармонической функции // Теоретические и вычислительные проблемы в задачах математической физики. Труды ИМ СО РАН, том 24. Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1994. С. 93-126.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.omsu.omskreg.ru/