Построение экономической модели с использованием симплекс-метода

Курсовая работа

Моделирование как метод научного познания.

Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний : техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования ХХ в. Однако методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания.

Термин "модель" широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. Рассмотрим только такие "модели", которые являются инструментами получения знаний.

Модель это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале.

Под моделирование понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез.

Главная особенность моделирования в том, что это метод опосредованного познания с помощью объектов-заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект. Именно эта особенность метода моделирования определяет специфические формы использования абстракций, аналогий, гипотез, других категорий и методов познания.

Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты ( или проблемы, относящиеся к этим объектам ) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует много времени и средств.

Моделирование циклический процесс. Это означает, что за первым четырехэтапным циклом может последовать второй, третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и точняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, бусловленные малым знанием объекта и ошибками в построении модели, можно исправить в последующих циклах. В методологии моделирования, таким образом, заложены большие возможности саморазвития.

Словесное описание

Фирма, производящая некоторую продукцию осуществляет её рекламу двумя способами через радиосеть и через телевидение. Стоимость рекламы на радио обходится фирме в 5 $, а стоимость телерекламы в 100$ за минуту.

Фирма готова тратить на рекламу по 1000 $ в месяц. Так же известно, что фирма готова рекламировать свою продукцию по радио по крайней мере в 2 раза чаще, чем по телевидению.

Опыт предыдущих лет показал, что телереклама приносит в 25 раз больший сбыт продукции нежели радиореклама.

Задача заключается в правильном распределении финансовых средств фирмы.

Математическое описание.

X1 время потраченное на радиорекламу.

X2 время потраченное на телерекламу.

Z искомая целевая функция, оражающая максимальный сбыт от 2-ух видов рекламы.

X1=>0, X2=>0, Z=>0 ;

Max Z = X1 + 25X2 ;

5X1 + 100X2 <=1000 ;

X1 -2X2 => 0

Использование графического способа удобно только при решении задач ЛП с двумя переменными. При большем числе переменных необходимо применение алгебраического аппарата. В данной главе рассматривается общий метод решения задач ЛП, называемый симплекс-методом.

Информация, которую можно получить с помощью симплекс-метода, не ограничивается лишь оптимальными значениями переменных. Симплекс-метод фактически позволяет дать экономическую интерепритацию полученного решения и провести анализ модели на чувствительность.

Процесс решения задачи линейного программирования носит итерационный характер : однотипные вычислительные процедуры в определенной последовательности повторяются до тех пор, пока не будет получено оптимальное решение. Процедуры, реализуемые в рамках симплекс-метода, требуют применения вычислительных машин мощного средства решения задач линейного программирования.

Симлекс-метод это характерный пример итерационных вычислений, используемых при решении большинства оптимизационных задач. В данной главе рассматриваются итерационные процедуры такого рода, обеспечивающие решение задач с помощью моделей исследования операций.

В гл 2 было показано, что правая и левая части ограничений линейной модели могут быть связаны знаками <=, = и =>. Кроме того, переменные, фигурирующие в задачах ЛП, могут быть неотрицательными или не иметь ограничения в знаке. Для построения общего метода решения задач ЛП соответствующие модели должны быть представлены в некоторой форме, которую назовем стандатрной формой линейных оптимизационных моделей. При стандартной форме линейной модели

Все ограничения записываются в виде равенств с неотрицательной правой частью ;

Значения всех переменных модели неотрицательны ;

Целевая функция подлежит максимизации или минимизации.

Покажем, каким образом любую линейную модель можно привести к стандартной.

Ограничения

Исходное ограничение, записанное в виде неравенства типа <= ( =>),

можно представить в виде равенства, прибавляя остаточную переменную к левой части ограничения ( вычитая избыточную переменную из левой части ).

Например, в левую часть исходного ограничения

5X1 + 100X2 <= 1000

вводистя остаточная переменная S1 > 0, в результате чего исходное неравенство обращается в равенство

5X1 + 100X2 + S1 = 1000, S1 => 0

Если исходное ограничение определяет расход некоторого ресурса, переменную S1 следует интерпретировать как остаток, или неиспользованную часть, данного ресурса.

Рассмотрим исходное ограничение другого типа :

X1 2X2 => 0

Так как левая часть этого ограничения не может быть меньше правой, для обращения исходного неравенства в равенство вычтем из его левой части избыточную переменную S2 > 0. В результате получим

X1 2X2 S2 = 0, S2 => 0

Правую часть равенства всегда можно сделать неотрицательной, умножая оби части на -1.

Например равенство X1 2X2 S2 = 0 эквивалентно равенству X1 + 2X2 + S2 = 0

Знак неравенства изменяется на противоположный при умножении обеих частей на -1.

Например можно вместо 2 < 4 записать 2 > 4, неравенство X1 2X2 <= 0 заменить на X1 + 2X2 => 0

Переменные

Любую переменную Yi, не имеющую ограничение в знаке, можно представить как разность двух неотрицательных переменных :

Yi=Yi’-Yi’’, где Yi’,Yi’’=>0.

Такую подстановку следует использовать во всех ограничениях, которые содержат исходную переменную Yi, а также в выражении для целевой функции.

Обычно находят решение задачи ЛП, в котором фигурируют переменные Yi’ и Yi’’, а затем с помощью обратной подстановки определяют величину Yi. Важная особенность переменных Yi’ и Yi’’ состоит в том, что при любом допустимом решении только одна из этих переменных может принимать положительное значение, т.е. если Yi’>0, то Yi’’=0, и наоборот. Это позволяет рассматривать Yi’ как остаточную переменную, а Yi’’ как избыточную переменную, причем лишь одна из этих переменных может принимать положительное значение. Указанная закономерность широко используется в целевом программировании и фактически является предпосылкой для использования соответсвующих преобразований в задаче 2.30

Целевая функция

Целевая функция линейной оптимизационной модели, представлена в стандартной форме, может подлежать как максимизации, так и минимизации. В некоторых случаях оказывается полезным изменить исходную целевую функцию.

Максимизация некоторой функции эквивалентна минимизации той же функции, взятой с противоположным знаком, и наоборот. Например максимизация функции

Z = X1 + 25X2

эквивалентна минимизации функции

( -Z ) = -X1 25X2

Эквивалентность означает, что при одной и той же совокупности ограничений оптимальные значения X1, X2, в обоих случаях будут одинаковы. Отличие заключается только в том, что при одинаковых числовых значениях целевых функций их знаки будут противоположны.

Симплекс-метод.

В вычислительной схеме симплекс-метода реализуется упорядоченный процесс, при котором, начиная с некоторой исходной допустимой угловой точки ( обычно начало координат ), осуществляются последовательные переходы от одной допустимой экстремальной точки к другой до тех пор, пока не будет найдена точка, соответствующая оптимальному решению.

Общую идею симплекс-метода можно проиллюстрировать на примере модели, посроенной для нашей задачи. Пространство решений этой задачи представим на рис. 1. Исходной точкой алгоритма является начало координат ( точка А на рис. 1 ). Решение, соответствующее этой точке, обычно называют начальным решением. От исходной точки осуществляется переход к некоторой смежной угловой точке.

Выбор каждой последующей экстремальной точки при использовании симплекс-метода определяется следующими двумя правилами.

Каждая последующая угловая точка должна быть смежной с предыдущей. Этот переход осуществляется по границам ( ребрам ) пространства решений.

Обратный переход к предшествующей экстремальной точке не может производиться.

Таким образом, отыскание оптимального решения начинается с некоторой допустимой угловой точки, и все переходы осуществляются только к смежным точкам, причем перед новым переходом каждая из полученных точек проверяется на оптимальность.

Определим пространство решений и угловые точки агебраически. Требуемые соотнощшения устанавливаются из указанного в таблице соответствия геометрических и алгебраических определений.

Геометрическое определение	Алгебраическое определение ( симплекс метод )
Пространство решений	Ограничения модели стандартной формы
Угловые точки	Базисное решение задачи в стандартной форме

Представление пространства решений стандартной задачи линейного программирования.

Линейная модель, построенная для нашей задачи и приведенная к стандартной форме, имеет следующий вид :

Максимизировать

Z = X1 + 25X2 + 0S1 + 0S2

При ограничениях

5X1 + 100X2 + S1 = 1000

X1 + 2X2 + S2 = 0

X1=>0, X2=>0, S1=>0, S2=>0

Каждую точку пространства решений данной задачи, представленную на рис.1, можно определить с помощью переменных X1, X2, S1 и S2, фигурирующими в модели стандартной формы. При S1 = 0 и S2 = 0 ограничения модели эквивалентны равенствам, которые представляются соответствующими ребрами пространства решений. Увеличение переменных S1 и S2 будет соответствовать смещению допустимых точек с границ пространства решений в его внутреннюю область. Переменные X1, X2, S1 и S2, ассоциированные с экстремальными точками А, В, и С можн о упорядочить, исходя из того, какое значение ( нулевое и ли ненулевое ) имеет данная переменная в экстремальной точке.

Экстремальная точка	Нулевые переменные	Ненулевые переменные
А	S2, X2	S1, X1
В	S1, X2	S2, X1
С	S1, S2	X1, X2

Анали зи руя табли цу, легко замети ть две з акономерности:

1. Стандартная модель содержи т два уравнения и четыре неизвестных, поэтому в каждой и з экстрема льных точек две ( = 4 2 ) переменные должны и меть нулевые значения.

2. Смежные экстремальные точки отличаются только одн ой переменной в каждой группе ( нулевых и нен уле вых переменных ),

Первая закономерность св идетельствует о возможности определения экстремальных точек алгебраически м способом путем при равнивания нулю такого коли чества пере менных, которое равно разности между количеством неизвестных и чи слом уравнений. В этом состои т сущн ость свойства однозна чности экстремальных точек. На ри с. 1 каждой неэкстремальной точке соответствует не более одной нулевой переменной. Так, любая точка внутренней области пространства решений вообще не и меет ни одной нулевой переменной, а любая неэкстремальная точка, лежащая на границе, всегда имеет лишь одну нулевую переменную.

Свойство однозначности экстремальных точек позволяет определить их алгебраическим методом. Буд ем счи тать, что линейная модель стандартной формы содержи т т уравнени й и п ( т <= п ) неизвестных ( п равые части ограничений — неотри цательные ). Тогда все допустимые экстремальные точки оп реде ляются как все однозначные неотрицательные решения си стемы m уравнени й, в которых п — m пе ременных равны нулю.

Однозначные решения такой системы уравнений, получаемые путем п риравни вания к нулю ( п — т ) переменных, называются базисными решениями. Если базисное реше ние удовлетворяет требованию неотрицательности правых частей, оно называется допустимым базисным решением. Переменные, имеющие нулевое значение, н азываются небазисными переменными, остальные — базисными переменными.

Из вышеи зложенного следует, что при реа ли зации си мп лексметода алгебраическое оп ределение бази сных решени й соответствует иденти фи кации экстремальных точек, осуществляемой при геометрическом представлении пространства решений. Таким образом, максимальное число и тераци й при использовании симплексметода равно максимальному числу бази сных решени й задачи ЛП, представленной в стандартной форме. Это означает, что количество итераци онных процедур си мпле кс-метода не превышает

Cпт= n! / [ ( n m )!m! ]

Вторая из ране е отмеченных закономе рн остей оказывается весьма поле зной для п остроения вычислите льных процедур симплекс-метода, при реали зац ии которого осуществляется последовательный п ере ход от одной э кстре мальной точки к другой, смежной с ней. Так как смежные экстре мальные точк и отличаются только одной п еременн ой, можно определить каждую последующую ( смежную) экстремальную точку путем заме ны одной и з текущих небазисных ( нулевых ) переменных текущей базисн ой переменной. В нашем случае получено решение, соотве тствующее точке А, откуда следует осуществить переход в точку В. Для этого нужно увели чив ать небазисную переменную X2 от исходного н улевого зн ачен ия до значения, соответствующего точке В ( см. рис. 1 ). В точке B переменная S1 ( которая в точке А была бази сной ) автоматическ и обращается в нуль и, следовательно, станови тся небазисной п еремен ной. Таким образом, между множеством небазисных и множество м базисных переменных происходит взаимообме н п еремен ными X2 и S1. Этот процесс можно наглядн о предс тави ть в виде следующей таблицы.

Экстремальная точка	Нулевые переменные	Ненулевые переменные
А	S2, X2	S1, X1
В	S1, X2	S2, X1

Применяя аналогичную процедуру ко всем экстремальным точкам рис. 1, можно убедиться в том, что любую последующую экстремальную точку всегда можно определить путем взаимной замены по одной переменной в составе базисных и небазисных переменных ( предыдущей смежной точки ). Этот фактор существенно упрощает реализацию вычислительных процедур симплекс-метода.

Рассмотренный процесс взаимной замены переменных приводит к необходимости введения двух новых терминов. Включаемой переменной называется небазисная в данный момент переменная, которая будет включена в множество базисных переменных на следующей итерации ( при переходе к смежной экстремальной точке ). Исключаемая переменная — это та базисная переменная, которая на следующей итерации подлежит исключению из множества базисных переменных.

Вычислительные процедуры симплекс-метода.

симплекс-алгоритм состоит из следующих шагов.

Шаг 0. Используя линейную модель стандартной формы, определяют начальное допустимое базисное решение путем приравнивания к нулю п — т ( небазисных ) переменных.

Шаг 1. Из числа текущих небазисных ( равных нулю ) переменных выбирается включаемая в новый базис переменная, увеличение которой обеспечивает улучшение значения целевой функции. Если такой переменной нет, вычисления прекращаются, так как текущее базисное решение оптимально. В противном случае осуществляется переход к шагу 2.

Шаг 2. Из числа переменных текущего базиса выбирается исключаемая переменная, которая должна принять нулевое значение ( стать небазисной ) при введении в состав базисных новой переменной.

Шаг 3. Находится новое базисное решение, соответствующее новым составам небазисных и базисных переменных. Осуществляется переход к шагу 1.

Поясним процедуры симплекс-метода на примере решения нашей задачи. Сначала необходимо представить целевую функцию и ограничения модели в стандартной форме:

 Z X1 25X2 +0S1 -0S2 = 0 ( Целевая функция )

5X1 + 100X2 + S1 = 1000 ( Ограничение )

-X1 + 2X2 + S2 = 0 ( Ограничение )

Как отмечалось ранее, в качестве начального пробного решения используется решение системы уравнений, в которой две переменные принимаются равными нулю. Это обеспечивает единственность и допустимость получаемого решения. В рассматриваемом случае очевидно, что подстановка X1 = X2 = 0 сразу же приводит к следующему результату: S1 = 1000, S2 = 0 ( т. е. решению, соответствующему точке А на рис. 1 ). Поэтому точку А можно использовать как начальное допустимое решение. Величина Z в этой точке равна нулю, так как и X1 и X2 имеют нулевое значение. Поэтому, преобразовав уравнение целевой функции так, чтобы его правая часть стала равной нулю, можно убедиться в том, что правые части уравнений целевой функции и ограничений полностью характеризуют начальное решение. Это имеет место во всех случаях, когда начальный базис состоит из остаточных переменных.

Полученные результаты удобно представить в виде таблицы :

Базисные переменные	Z	X1	X2	S1	S2	Решение
Z	1	-1	25	0	0	0	Z уравнение
S1	0	5	100	1	0	1000	S1 -уравнение
S2	0	-1	2	0	1	0	S2 уравнение

Эта таблица интерпретируется следующим образом. Столбец « Базисные переменные » содержит переменные пробного базиса S1, S2, значения которых приведены в столбце « Решение ». При этом подразумевается, что небазисные переменные X1 и X2 ( не представленные в первом столбце ) равны нулю. Значение целевой функции Z = 1*0 + 25*0 + 0*1000 + 0*1 равно нулю, что и показано в последнем столбце таблицы.

Определим, является ли полученное пробное решение наилучшим ( оптимальным ). Анализируя Z уравнение, нетрудно заметить, что обе небазисные переменные X1 и X2, равные нулю, имеют отрицательные коэффициенты. Всегда выбирается переменная с большим абсолютным значением отрицательного коэффициента ( в Z уравнении ), так как практический опыт вычислений показывает, что в этом случае оптимум достигается быстрее.

Это правило составляет основу используемого в вычислительной схеме симплекс-метода условия оптимальности, которое состоит в том, что, если в задаче максимизации все небазисные переменные в Z уравнении имеют неотрицательные коэффициенты, полученное пробное решение является оптимальным. В противном случае в качестве новой базисной переменной следует выбрать ту, которая имеет наибольший по абсолютной величине отрицательный коэффициент.

Применяя условие оптимальности к исходной таблице, выберем в качестве переменной, включаемой в базис, переменную Х2. Исключаемая переменная должна быть выбрана из совокупности базисных переменных S1, S2. Процедура выбора исключаемой переменной предполагает проверку условия допустимости, требующего, чтобы в качестве исключаемой переменной выбиралась та из переменных текущего базиса, которая первой обращается в нуль при увеличении включаемой переменной X2 вплоть до значения, соответствующего смежной экстремальной точке.

Интересующее нас отношение ( фиксирующее искомую точку пе-ресечения и идентифицирующее исключаемую переменную ) можно определить из симплекс-таблицы. Для этого в столбце, соответствующем вводимой переменной X2, вычеркиваются отрицательные и нулевые элементы ограничений. Затем вычисляются отношения постоянных, фигурирующих в правых частях этих ограничений, к оставшимся элементам столбца, соответствующего вводимой переменной X2. Исключаемой переменной будет та переменная текущего базиса, для которой указанное выше отношение минимально.

Начальная симплекс-таблица для нашей задачи, получаемая после проверки условия допустимости ( т. е. после вычисления соответствующих отношений и определения исключаемой переменной ), воспроизведена ниже. Для удобства описания вычислительных процедур, осуществляемых на следующей итерации, введем ряд необходимых определений. Столбец симплекс-таблицы, ассоциированный с вводимой переменной, будем называть ведущим столбцом. Строку, соответствующую исключаемой переменной, назовем ведущей строкой ( уравнением ), а элемент таблицы, находящийся на пересечении ведущего столбца и ведущей строки, будем называть ведущим элементом.

После того как определены включаемая и исключаемая переменные ( с использованием условий оптимальности и допустимости ), следующая итерация ( поиск нового базисного решения ) осуществляется методом исключения переменных, или методом Гаусса — Жордана. Этот процесс изменения базиса включает вычислительные процедуры двух типов.

Тип 1 ( формирование ведущего уравнения ).

Новая ведущая строка = Предыдущая ведущая строка / Ведущий элемент

Тип 2 ( формирование всех остальных уравнений, включая Z yравнение ).

Новое уравнение = Предыдущее уравнение —

 Коэффициент 

 ведущего столбца Новая ведущая строка ).

предыдущего 

уравнения 

Выполнение процедуры типа 1 приводит к тому, что в новом ведущем уравнении ведущий элемент становится равным единице. В результате осуществления процедуры типа 2 все остальные коэффициенты, фигурирующие в ведущем столбце, становятся равными нулю. Это эквивалентно получению базисного решения путем исключения вводимой переменной из всех уравнений, кроме ведущего. Применяя к исходной таблице процедуру 1, мы делим S2 уравнение на ведущий элемент, равный 1.

Базисные переменные	Z	X1	X2	S1	S2	Решение
Z
S1
S2	0	-1/2	1	0	1/2	0

Чтобы составить новую симплекс-таблицу, выполним необходимые вычислительные процедуры типа 2.