Навигация
Задачи для самостоятельного решения
16896
знаков
0
таблиц
17
изображений
2. Задачи для самостоятельного решения
Представленные ниже задачи для самостоятельного решения, являются контрольным заданием заочной школы. Выбор задач для решения производится в соответствии с указаниями рядом с названием каждой темы. Правила оформления работ смотрите во вступительной статье.
Треугольник (решить любые две задачи).
М10.1.1 В треугольнике АВС сторона АС равна 26, а медианы, проведенные из вершин А и С, равны соответственно 36 и 15. Найти третью медиану.
М10.1.2 Найти площадь равнобедренного треугольника, если высота, опущенная на основание, равно 10, а высота, опущенная на боковую сторону, равна 12.
М10.1.3 Определить углы треугольника, в котором медиана, биссектриса и высота, выходящие из одной и той же вершины треугольника, делят соответствующий угол на 4 равные части.
М10.1.4 Найти угол А треугольника АВС, если заданы длины его сторон |АС|=b, |АВ|=с и длина l биссектрисы внутреннего угла А.
Треугольники и окружность (решить любые две задачи).
М10.1.5 Из точки А к окружности радиуса R проводится касательная, которая касается окружности в точке М. Секущая, проходящая через точку А, пересекает окружность в точках K и L, причем L – середина отрезка АК, угол АМК равен 60°. Найдите площадь треугольника АМК.
М10.1.6 Площадь прямоугольного треугольника равна Р, а площадь круга, вписанного в него, равна Q. Найдите площадь круга, описанного около этого треугольника.
М10.1.7 Найдите углы прямоугольного треугольника, если известно, что радиус вписанной окружности равен 2 см, а гипотенуза – 13 см.
М10.1.8 В треугольнике АВС АН и ВN – высоты, М – середина стороны АВ. АН=4, АВ=5, ВС=4. Найдите длну отрезка, который высекает на стороне ВС окружность, проходящую через точки Н, М и N.
Теорема Менелая (обязательно решить № М10.1.10, попробовать № М10.1.9).
М10.1.9 Вокруг 4-х угольника АВСD можно описать окружность. Пусть прямые АВ и СD пересекаются в точке М, а прямые ВС и АD – в точке К. (Точки В и D лежат на отрезках АМ и АК соответственно). Пусть Р – проекция точки М на прямую АК, L – проекция точки К на прямую АМ. Докажите, что прямая LР делит диагональ ВD пополам.
Указание: Запишите теорему Менелая для треугольника АВD и прямой LР и попробуйте выразить отрезки АР, РD, А L и ВL через отрезки МР и К L и углы 4-х угольника АВСD.
М10.1.10 На стороне ВС треугольника АВС выбрана точка F. Оказалось, что отрезок АF пересекает медиану ВD в точке Е так, что АЕ=ВС. Докажите, что ВF=FE.
Четырехугольники (решить любые три задачи).
М10.1.11 В выпуклом четырехугольнике АВСD проведены диагонали АС и ВD. Известно, что АD=2, ÐАВD=ÐАСD=90° и расстояние между точкой пересечения биссектрис треугольника АВD и точкой пересечения биссектрис треугольника АСD равно 
. Найдите длину стороны ВС.
М10.1.12 В параллелограмме АВСD длина стороны АD равна 8. Биссектриса угла АDС пересекает прямую АВ в точке Е . В треугольник АDЕ вписана окружность с центром в точке О, касающаяся стороны АЕ в точке К и стороны АD в точке L. Найдите величину угла КОL, если длина КL равна 2.
М10.1.13 Основание АВ трапеции АВСD вдвое длиннее основания СD т вдвое длиннее боковой стороны АD. Длина диагонали АС равна а, длина боковой стороны ВС равна b. Найдите площадь трапеции.
М10.1.14 На сторонах АВ и ВС параллелограмма АВСD взяты соответственно точки К и М так, что АК:КВ=2:3, а ВМ:МС=2:1. Найти отношение площадей треугольников КВМ и КМD.
М10.1.15 Сумма длин оснований трапеции равна 9, а длины диагоналей равны 5 и 
. Углы при большом основании — острые. Найдите площадь трапеции.
Четырехугольники и окружности (решить № М10.1.16 и одну любую задачу).
М10.1.16 Основание АС равнобедренного треугольника АВС является хордой окружности, центр которой лежит внутри треугольник АВС. Прямые, проходящие через точку В, касаются окружности в точках D и Е. Найдите площадь треугольника DВЕ, если АВ=ВС=2, ÐАВС=
, а радиус окружности равен 1.
М10.1.17 В треугольнике АВС известна сторона АВ=4, ÐВАС=30°, ÐАВС=130°. На АВ как на диаметре построен круг. Найдите площадь части круга внутри треугольника.
М10.1.18 В трапеции АВСЕ основание АЕ равно 16, СЕ=
. Окружность, проходящая через точки А, В, С, вторично пересекает прямую АЕ в точке Н, ÐАНВ=60°. Найдите АС.
М10.1.19 В окружность радиуса 10 вписан четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны и равны 12 и 
. Найдите стороны четырехугольника.
Комбинации многоугольников и окружностей (решить любые две задачи).
М10.1.20 Две окружности радиуса 3 и 4, расстояние между центрами которых равно 5, пересекаются в точках А и В. Через точку В проведена прямая, пересекающая окружности в точках С и D так, что СD=8 и В лежит между С и D, В¹С¹D. Найдите площадь треугольника АСD.
М10.1.21 Окружность О1 радиуса 3r касается продолжения стороны АВ угла АВС, ее центр лежит на стороне ВС. Окружность О2 радиуса r касается сторон угла АВС и окружности О1. Найдите угол АВС.
М10.1.22 Дан треугольник АВС. Окружность радиуса R касается прямых АВ и ВС в точках А и С соответственно и пересекает медиану ВD в точке L так, что ВL=
ВD. Найдите площадь треугольника.
М10.1.23 В четырехугольнике MNPQ расположены две непересекающиеся окружности так, что одна из них касается сторон MN, NP и PQ, а другая — сторон MN, MQ и PQ. Точки В и А лежат, соответственно, на сторонах MN и PQ, причем отрезок АВ касается обеих окружностей. Найдите длину стороны MQ, если NP=b и периметр четырехугольника BAQM больше периметра четырехугольника ABNP на величину
Похожие работы
... равенств (1) и (2) и сделав необходимые сокращения мы получим выражение (**). Обратное утверждение доказывается методом “ от противного“ также, как и в теореме Менелая. Некоторые рекомендации по применению теоремы Менелая для решения задач. Одним из замечательных свойств геометрических задач является многообразие методов их решения. Это часто заводит в тупик школьников и абитуриентов, которым ...
... о фигурах в одном трёхмерном евклидовом пространстве геометрия за 40 - 50 лет превратилась в совокупность разнообразных теорий, лишь в чём-то сходных со своей прародительницей - геометрией Евклида. Аксиомы планиметрии Аксиомы принадлежности - Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. - Через любые две точки можно провести ...
... Остальные понятия, такие как сонаправленность полупрямых и равенство фигур, рекомендуется изучать классическим способом. Т.к. благодаря мультимедийному пособию ученикам уже известны основные свойства движений и они с помощью учителя без особых усилий смогут применить накопленные знания при изучении данных тем. Например, в теме «сонаправленность полупрямых» основным элементом является параллельный ...
... мало сведений по морфометрии и в особенности сосудистых компонентов хориальных ворсин плаценты женщин, проживающих в сурьмяной биогеохимической провинции (СБГХП). С учетом вышесказанного, целью данной работы явилось изучение планиметрических особенностей структурных компонентов сосудистого хориона жительниц проживающих в СБГХП. Материал и методы исследования. Объектом исследования явились 142 ...
0 комментариев