Множественная корреляция

3.4. Множественная корреляция.

Изменение экономических явлений происходит под влиянием не одного, а большего числа самых разнообразных факторов. Связь между результативным признаком и двумя и более факторами принято выражать уравнением множественной регрессии. Наиболее простым видом уравнения множественной регрессии – линейное уравнение с двумя независимыми переменными:

Х0 = а0 + а1х1 + а2х2. (3)

Параметры уравнения множественной регрессии определяется методом наименьших квадратов путем решения системы нормальных уравнений:

∑х0 = па0 + а1∑х1 +а2∑х2

∑х0х1 = а0∑х1 + а1∑(х1)2 + а2∑х1х2 (4)

∑х0х2 = а0∑х2 + а1∑х1х2.

Подставим данные из таблицы в систему уравнений.

15,937 = 21а0 + 67,01а1 + 39,09а2 :(21) (5)

48,58 = 67,01а0 + 224,13 а1 + 130,8 а2 :(67,01) (6)

29,8 = 39,09а0 + 130,8а1 + 73,33а2 :(39,09) (7)

0,758 = а0 + 3,19а1 + 1,86а2 (8)

0,724 = а0 + 3,34а1 + 1,95а2 (9)

0,762 = а0 + 3,35а1 + 1,879а2 (10)

0,004 = 0,16а1 + 0,01а2

0,038 = 0,01а1 – 0,08а2

-0,034 = 0,15а1 + 0,09а2

0,15а1 + 0,09а2 = - 0,034

1,66а1 + а2 = - 0,37

а2 = -0,37 – 1,66а1

0,004 = 0,16а1 – 0,0037 – 0,016а1

0,0077 = 0,144а1

а1 = 0,053

а2 = (-0,37 – 1,66*0,053) = - 0,45

Для нахождения а0 , подставим а1 и а2 в (8) уравнение и получим:

0,758 = а0 + 0,169 – 0,837

а0 = 1,42.

Подставим параметры а0 а1 и а2 в (6) уравнение и получим:

67,01*1,428 + 224,13*0,053 - 130,8*0,45 = 48,58

95,6 + 11,87 – 58,86 ≈48,58

Или эти параметры подставим в (9) уравнение:

39,09*1,428 + 130,8*0,053 +73,33*(-0,45) ≈ 29,81

55,82 + 7 – 33 = 29,82.

Уравнение множественной линейной зависимости примет вид:

Х0;1;2 = 1,428 + 0,053х1 – 0,45х2.

Параметры уравнения множественной регрессии показывают, что с уменьшением себестоимости производства на 1 тыс. руб. в расчете на 1 ц уровень окупаемости затрат возрастет на 0,053, а повышение средней цены реализации 1 ц привеса живой массы КРС на 1 тыс. руб. даст убыток уровня окупаемости затрат на 0,45.

Определим тесноту связи, рассчитав множественный коэффициент корреляции по формуле:

Для его расчета надо найти средние значения , а также среднее квадратическое отклонение по уровню рентабельности, себестоимости и цене реализации 1 ц привеса живой массы КРС.

х0х1 = (∑х0х1) / п = 2,313

х0х2 = (∑х0х2) / п = 29,81 / 21 = 1,419

х1х2 = 130,8 / 21 = 6,12

х2 = 224,13 /21 = 1,9

рассчитаем среднее квадратическое отклонение:

σ2 = (∑(х2)2 / п – (х2)2) = (73,33/21 –(1,86)2 = 3,5 – 3,45 = 0,5 = 0,179

Рассчитаем парные коэффициенты корреляции:

r0;1 = (х0х1 – х0 * х1) / σ0 σ1 = (2,313 – 2,418) / 0,121 = - 0,88

(r0;1)2 = 0,84

r0;2 = (х0х2 – х0 * х2) / σ0 σ2 = (1,419 -1,44)/0,03 = -0,7

(r0;2)2 = 0,5

r1;2 = (х1х2 – х1 * х2) / σ1 σ2 = (6,12– 6,08) / 0,121 = 0,33

(r1;2)2 = 0,10

R = (0,77+ 0,5 -2 *(-0,88)*(-0,7)*0,33) / (1-0,10) = (1,27 – 0,406) /0,9 = 0,864 / 0,9 = 0,96 = 0,979.

Связь между признаками очень тесная, так как коэффициент множественной корреляции составляет 0,97, а детерминации – 0,96, т.е. 96% в колебаниях уровня окупаемости затрат в данных условиях зависит от исследуемых факторов и только 4% - от других, не учтенных в анализе.

3.5. Анализ показателей динамики уровня окупаемости затрат производства живого привеса мяса КРС.

Ряд динамики - представляет собой ряд, расположенной в хронологической последовательности числовых значений статистических показателей, характеризующих изменение общественных явлений во времени, а именно: время и уровень ряда. По времени, они разделяются на:

1)моментные – составляющие ряда динамики числа выражают размеры изучаемого признака по состоянию на определенные даты;

2) интервальные – составляющие числа выражают размеры изучаемого явления за определенные промежутки времени.

Важнейшие показатели динамики.

Количественные изменения общественных явлений во времени отображаются в статистике при помощи ряда показателей. К их числу относятся: уровень, абсолютный прирост, темп роста и абсолютное значение одного процента прироста.

Уровень ряда.

Исходной базой для расчета перечисленных выше показателей служат абсолютные или относительные величины, отображающие непосредственно уровень развития на определенную дату или за определенный период. Эти первичные значения показателя, отображающие ряд динамики, называются уровнями ряда.

Различают начальный, конечный и средний уровни ряда. Начальным уровнем называют первый член ряда динамики, а конечным – последний его член. Для общей характеристики уровня явления за весь период исчисляется средний показатель из всех членов ряда. Средняя из уровней ряда динамики называется хронологической средней. Способы расчета средней хронологической зависят от характера ряда динамики.

Средний уровень интервального ряда динамики, содержащего данные за несколько следующих непосредственно друг за другом равных отрезков времени, например за несколько лет подряд, обычно рассчитываются по формуле средней арифметической простой, т.е. сумма членов ряда делится на их число.

Абсолютный прирост.

Абсолютные приросты – это разности между уровнями ряда, которые показывают, насколько один уровень больше или меньше другого.

Цепной метод: ∆цу = Уi - У i-1.

Базисный метод: ∆бу = Уi –У0,

где Уi - уровень сравниваемого периода,

У i-1. – уровень предшествующего периода

У0 – уровень базисного периода.

Средний абсолютный прирост равен частному от деления суммы всех абсолютных приростов на их число:

∆У = (Уп – У1) / (п-1),

где У1 – начальный уровень ряда

Уп – конечный его уровень

∆У – средний прирост

п – число членов ряда.

Темп роста и темп прироста.

Для характеристики относительной скорости изменения уровня ряда динамики в единицу времени используются показатели темпа роста и темпа прироста. Темпом роста называется отношение одного уровня ряда динамики к другому уровню, принятому за базу сравнения. Исчисляют цепным и базисным методом:

Трц = (Уi/ У i-1)*100

Трц = Уi / У0 * 100.

Темпы роста обычно выражают либо в процентах, либо в виде простых отношений. Темпы роста, выраженные в виде простых отношений, называются коэффициентами роста.

Крц = Уi /У i-1

Крб = Уi / У0.

Если рассчитаны темпы роста и они выражены в %, то темпы прироста можно найти как разность между темпом роста и 100%: Тпрц = Трц – 100 и Тпрб = Трб – 100.

Чтобы правильно оценить значение полученного темпа прироста, его рассматривают в сопоставлении с показателем абсолютного прироста. Результат выражают четвертым показателем: абсолютным значением 1% прироста и рассчитывают как отношение абсолютного прироста к темпу прироста за тот же период времени.

∆1% = 0,01 * У i-1. Абсолютное значение 1% прироста = 0,01 части предыдущего уровня. Показывает какое абсолютное значение скрывается за относительными показателями 1% прироста. Этот показатель играет весьма важную роль в экономическом анализа.

По данным о динамике уровня окупаемости затрат производства живого привеса мяса КРС в изучаемой совокупности районов за последние 7 лет проведем анализ динамики , используя приемы проявления тенденции развития явления. Составим сводные данные по уровню окупаемости затрат производства привеса живой массы КРС за последние 7 лет по Чувашской республике.

Таблица 22.

Сводные данные по уровню окупаемости затрат по Чувашской республике за 1996-2002 гг.

Года	Полная себестоимость реализованного мяса КРС в живой массе, тыс. руб.	Денежная выручка, тыс. руб..	Средний уровень окупаемости затрат, руб.
1996	144623	89619	0,62
1997	178072	97603	0,55
1998	217832	109428	0,50
1999	252649	201839	0,80
2000	69427	53307	0,76
2001	98852	92330	0,93
2002	366568	304286	0,83

Таблица 23.

Аналитические показатели ряда динамики по уровню окупаемости затрат производства живого привеса мяса КРС.

Годы	Средний уровень окупаемости затрат, руб.	Показатели ряда динамики	Абсолютное значение 1% прироста
Абсолютный прирост	Темп роста,%	Темп прироста,%
цепной	базисный	цепной	базисн.	цепной	базисн.
1996	0,62	-	-	-	100,0	-	-	-
1997	0,55	-0,07	-0,07	88,7	88,7	--11,3	-11,3	0,0062
1998	0,50	-0,05	-0,12	90,9	80,6	-9,1	-19,4	0,0055
1999	0,80	0,3	-0,18	160	129,03	60	29,03	0,005
2000	0,76	-0,04	0,14	95	122,6	-5	22,6	0,008
2001	0,93	0,17	0,31	122,4	150	22,4	50	0,0076
2002	0,83	-0,1	0,21	89,24	133,8	-10,76	33,8	0,0093

Начальный уровень ряда равен 0,62 руб., а конечный – 0,83 руб. Для общей характеристики уровня окупаемости затрат производства живого привеса мяса КРС за весь изучаемый период исчислим средний показатель.

Рассчитаем этот показатель оп средней хронологической простой:

у = ∑Уi / п = ( 0,62 + 0,55 + 0,5 + 0,8 + 0,76 + 0,93 + 0,83)/7 = 0,71.

Уровни ряда динамики 1 1996 по 2002 гг. претерпевают различные изменения и общая тенденция развития не ясна, с этой целью проанализируем общую тенденцию развития в рядах динамики. Динамический ряд, характеризующий уровень окупаемости затрат, выравним по способу наименьших квадратов. В основе этого способа лежит требование минимума суммы квадратов отклонений фактических уровней от их выравненных значений, исчисленных по какому-либо математическому уравнению. Это условие записывается так:

∑(Уi - Уi)2→min

Уi – фактический уровень динамического ряда;

Уi – уровень выравненный по математическому уравнению.

Исходя из этого, для проявления тенденции динамики можно использовать уравнение прямой линии:

У= а0 + а1t, где а0, а1-неизвестные параметры, t-значения дат. И для определения параметров а0 и а1 в соответствии с требованиями способа наименьших квадратов составим систему из двух уравнений:

па0 + а1 ∑t = ∑У

а0∑t + а1∑t2 = ∑t * У,

4,99 = 7а0 +0*а1 =>а0 =0,71

1,65 = 28а1 => а1 = 0,06, уравнение линейного тренда примет вид:

Уt = 0,71 + 0,06t.

Коэффициент а1 характеризует средний прирост мяса крупного рогатого скота в год, коэффициент а0 – это значение выравненной продуктивности для центрального в динамическом ряду года, принятого за начало отчета. Для 1999 г. t=0 и тогда Уt = 0,71 + 0,06*0 = 0,71 руб. Для оценки степени приблеженности линейного тренда к фактическим данным исчислим среднее квадратическое отклонение:

σy(t) = ∑(Y – Yi)2 / (п-р) = 0,199 / 5 = 0,039,

где п – число лет

р – число параметров уравнения.

Vy(t) = σy(t) / у * 100% = 0,039 / 0,199 * 100 = 19,59 % - показывает о достаточно неустойчивом эффективном развитии и производства привеса живой массы крупного рогатого скота.

Таблица 24.

Выравнивание уровня окупаемости затрат производства живого привеса мяса КРС по уравнению прямой линии.

Год	Фактический уровень окупаемости затрат, руб. Y	Отклонение от года, t	t2	Y*t	Выравненный уровень окупаемости затрат по линейному тренду, руб. Yt	(Y-Yt)	(Y-Yt)2
1996	0,62	-3	9	-1,86	0,53	0,09	0,081
1997	0,55	-2	4	-1,1	0,59	-0,04	0,0016
1998	0,5	-1	1	-0,5	0,65	-0,15	0,0225
1999	0,80	0	0	0	0,71	0,09	0,081
2000	0,76	1	1	0,76	0,77	-0,01	0,0001
2001	0,93	2	4	1,86	0,83	0,1	0,01
2002	0,83	3	9	2,49	0,89	-0,06	0,0036
	∑У = 4,99	∑t=0	∑t2=28	∑Уt=1,65	∑Уt=4,97	-	0,199

Необходимым условием регулирования рыночных отношений является составление надежных прогнозов развития социально-экономических явлений. Для этого используется метод экстраполяции. Экстраполяция – нахождение уровней за пределами изучаемого ряда. Зная уравнение для теоретических уравнений и подставляя в него значения t за пределами исследуемого ряда рассчитывают вероятные Уt. Рассчитаем для 2003 г. вероятный уровень окупаемости затрат: Уt = 0,71 + 0,06*4=0,95 руб.