5. Функция распределения и ее свойства

Рассмотрим вероятностное пространство Случайное событие и его вероятность, образованное случайной величиной Случайное событие и его вероятность.

Определение. Функцией распределения случайной величины Случайное событие и его вероятностьназывается функция Случайное событие и его вероятностьдействительного переменного Случайное событие и его вероятность, определяющая вероятность того, что случайная величина Случайное событие и его вероятностьпримет в результате реализации эксперимента значение, меньшее некоторого фиксированного числа Случайное событие и его вероятность:

Случайное событие и его вероятность(1)

Там где понятно, о какой случайной величине Случайное событие и его вероятность, Случайное событие и его вероятностьили Случайное событие и его вероятностьидет речь, вместо Случайное событие и его вероятностьбудем писать Случайное событие и его вероятность. Если рассматривать случайную величину Случайное событие и его вероятностькак случайную точку на оси Случайное событие и его вероятность, то функция распределения Случайное событие и его вероятностьс геометрической точки зрения это вероятность того, что случайная точка Случайное событие и его вероятностьв результате реализации эксперимента попадет левее точки Случайное событие и его вероятность.

Очевидно что функция Случайное событие и его вероятностьпри любом Случайное событие и его вероятностьудовлетворяет неравенству Случайное событие и его вероятность. Функция распределения случайной величины Случайное событие и его вероятностьимеет следующие свойства:

2) Функция распределения — неубывающая функция Случайное событие и его вероятность, т.е. для любых Случайное событие и его вероятностьи Случайное событие и его вероятность, таких что Случайное событие и его вероятность, имеет место неравенство Случайное событие и его вероятность.

Доказательство. Пусть Случайное событие и его вероятностьи Случайное событие и его вероятностьи Случайное событие и его вероятность. Событие, состоящее в том, что Случайное событие и его вероятностьпримет значение, меньшее, чем Случайное событие и его вероятность, Случайное событие и его вероятностьпредставим в виде объединения двух несовместных событий Случайное событие и его вероятностьи Случайное событие и его вероятность: Случайное событие и его вероятность.

Тогда согласно аксиоме 3 Колмогорова, Случайное событие и его вероятностьили по формуле (1)

Случайное событие и его вероятность, (2)

откуда Случайное событие и его вероятность, так как Случайное событие и его вероятность. Свойство доказано.

Теорема. Для любых Случайное событие и его вероятностьи Случайное событие и его вероятностьвероятность неравенства Случайное событие и его вероятностьвычисляется по формуле

Случайное событие и его вероятность(3)

Доказательство. Справедливость формулы (3) следует из соотношения (2). Таким образом, вероятность попадания случайной величины Случайное событие и его вероятностьв полуинтервал Случайное событие и его вероятностьравна разности значений функции распределения вычисленных на концах полуинтервала Случайное событие и его вероятностьи Случайное событие и его вероятность.

2) Случайное событие и его вероятность; Случайное событие и его вероятность.

Доказательство. Пусть Случайное событие и его вероятностьи Случайное событие и его вероятность— две монотонные числовые последовательности, причем Случайное событие и его вероятность, Случайное событие и его вероятностьпри Случайное событие и его вероятность. Событие Случайное событие и его вероятностьсостоит в том, что Случайное событие и его вероятность. Достоверное событие Случайное событие и его вероятностьэквивалентно объединению событий Случайное событие и его вероятность:

Случайное событие и его вероятность; Случайное событие и его вероятность.

Так как Случайное событие и его вероятность, то по свойству вероятностей Случайное событие и его вероятность, т.е. Случайное событие и его вероятность.

Принимая во внимание определение предела, получаем Случайное событие и его вероятность; Случайное событие и его вероятность

3) Функция Случайное событие и его вероятностьнепрерывна слева в любой точке Случайное событие и его вероятность, Случайное событие и его вероятность

Доказательство. Пусть Случайное событие и его вероятность— любая возрастающая последовательность чисел, сходящаяся к Случайное событие и его вероятность. Тогда можно записать: Случайное событие и его вероятность

На основании аксиомы 3 Случайное событие и его вероятность

Так как ряд справа состоит из положительных чисел и сходится к Случайное событие и его вероятность, то остаток ряда, начиная с некоторого номера Случайное событие и его вероятность, будет меньше Случайное событие и его вероятность, Случайное событие и его вероятность(теорема об остатке ряда)

Случайное событие и его вероятность.

Используя формулу (3), выразим вероятности событий через функцию распределения. Получим

Случайное событие и его вероятность,

откуда Случайное событие и его вероятностьили Случайное событие и его вероятность, а это означает, что Случайное событие и его вероятность.

Из рассмотренных свойств следует, что каждая функция распределения Случайное событие и его вероятностьявляется 1) неубывающей, 2) непрерывной слева и 3) удовлетворяет условию Случайное событие и его вероятностьи Случайное событие и его вероятность. И, обратно, каждая функция, обладающая свойствами 1), 2), 3), может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины.

Теорема. Вероятность того, что значение случайной величины больше действительного числа Случайное событие и его вероятность, вычисляется по формуле Случайное событие и его вероятность.

Доказательство. Достоверное событие Случайное событие и его вероятностьпредставим в виде объединения двух несовместных событий Случайное событие и его вероятностьи Случайное событие и его вероятность. Тогда по 3-1 аксиоме Колмогорова Случайное событие и его вероятностьили Случайное событие и его вероятность, откуда следует искомая формула.

Определение. Будем говорить, что функция распределения Случайное событие и его вероятностьимеет при Случайное событие и его вероятностьскачок Случайное событие и его вероятность, если Случайное событие и его вероятность, где Случайное событие и его вероятностьи Случайное событие и его вероятностьпределы слева и справа функции распределения Случайное событие и его вероятностьв точке Случайное событие и его вероятность.

Теорема. Для каждого Случайное событие и его вероятностьиз пространства Случайное событие и его вероятностьслучайной величины Случайное событие и его вероятностьимеет место формула Случайное событие и его вероятность

Доказательство. Приняв в формуле (3) Случайное событие и его вероятность, Случайное событие и его вероятностьи перейдя к пределу при Случайное событие и его вероятность, Случайное событие и его вероятность, согласно свойству 3), получим искомый результат. Можно показать, что функция Случайное событие и его вероятностьможет иметь не более чем счетное число скачков. Действительно функция распределения может иметь не более одного скачка Случайное событие и его вероятность, скачков Случайное событие и его вероятность— не более 3-х, скачков Случайное событие и его вероятностьне более чем Случайное событие и его вероятность.Иногда поведение случайной величины Случайное событие и его вероятностьхарактеризуется не заданием ее функции распределения, а каким-либо другим законом распределения, но так, чтобы можно было получить из этого закона распределения функцию распределения


Информация о работе «Случайное событие и его вероятность»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 27056
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 0

Похожие работы

Скачать
7202
0
0

... тем отчетливее, чем длиннее серия. Все это вместе взятое заставляет искать способы однозначного определения меры возможности наступления случайного события, причем до испытания, до опыта. Вначале определим вероятность регулярного случайного события как число, около которого колеблется относительная частота в длинных сериях испытаний. Затем введем понятие равновозможности, равновероятности двух ...

Скачать
17151
0
0

... , что вероятнее выиграть у равносильного противника три партии из пяти чем пять из восьми. Задача 13А. Из партии, в которой 25 изделий, среди которых 6 бракованных, случайным образом выбрали 3 изделия для проверки качества. Найти вероятность того, что: а) все изделия годные, б) среди выбранных изделий одно бракованное; в) все изделия бракованные. Решение: а) Пусть событие А состоит в том, ...

Скачать
24510
0
0

... нашем примере: сила, с которой брошена монета, форма монеты и многие другие). Невозможно учесть влияние на результат всех этих причин, поскольку число их очень велико и законы их действия неизвестны. Поэтому теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет, она просто не в силах это сделать. Еще пример, выпадение снега в Москве 30 ноября является ...

Скачать
34707
0
6

... ничего другого, кроме как опять же события и . Действительно, имеем: *=, *=, =, =. Другим примером алгебры событий L является совокупность из четырех событий: . В самом деле: *=,*=,=,. 2.Вероятность. Теория вероятностей изучает случайные события. Это значит, что до определенного момента времени, вообще говоря, нельзя сказать заранее о случайном событии А произойдет это событие или нет. Только ...

0 комментариев


Наверх