Навигация
С. Артёмов, Ю. Гиматов, В. Фёдоров
Он думал, что уснула я
И всё во сне стерплю.
Иль думал, что я думала,
Что думал он «я сплю».
С. Маршак. Из Ковентри Патмора.
Предлагаем вниманию читателей задачу, требующую для решения весьма изощрённой логики:
Математик R сказал математикам P и S: «Я задумал два натуральных числа. Каждое из них больше единицы, а сумма их меньше ста. Математику P я сейчас сообщу – по секрету от S – произведение этих чисел, а математику S я сообщу – по секрету от P – их сумму». Он выполнил обещанное и предложил отгадать задуманные числа. Между P и S произошёл следующий диалог (высказывания P мы обозначаем буквой π с индексами, высказывания S – буквой σ):
| – Я, пожалуй, не могу сказать, чему равны задуманные числа. | (π1) |
| – Я заранее знал, что Вы этого не сможете. | (σ1) |
| – А ведь тогда я их знаю. | (π2) |
| – А тогда и я их знаю. | (σ2) |
Попробуйте теперь и вы отгадать задуманные числа.
1. Неужели их можно отгадать?
При первом взгляде на задачу она представляется неразрешимой: как можно отгадать числа, когда про них ничего не сказано?
Попробуем на примере. Пусть R задумал 7 и 42. Тогда он сообщил P число 294, S – 49. Ну, а что дальше? Р сказал, что он не может отгадать задуманные числа. Ну, конечно же не может – он знает только их произведение. Хотя, впрочем, он знает ещё, что они натуральные, больше единицы и их сумма меньше ста. А что это даёт?
Обозначим задуманные числа через k0 и l0, причём пусть для определённости k0 ≤ l0. Обозначим ещё произведение k0·l0 через p0, сумму k0 + l0 через s0.
Итак, P сообщили, что p0 = 294.
Тогда k0 может равняться 2, 3, 6, 7 и 14, а l0 будет при этом равно, соответственно, 147, 98, 49, 42 и 21. Первые два значения для k0 нам не подходят – при них s0 > 100. Всё равно остаются ещё три возможности. Значит, P действительно не может отгадать задуманные числа.
Идём дальше. S утверждает, что он заранее знал, что P не сможет отгадать k0 и l0. Как S пришёл к такому выводу? Наверняка он попробовал всеми возможными способами представить известное ему s0 в виде суммы двух допустимых слагаемых:
49 = 2 + 47 = 3 + 46 = ... = 24 + 25.
R мог задумать любую из этих пар чисел. Он сообщил P какое-то из произведений i·(49 – i), и S утверждает, что ни по одному из них P не может отгадать задуманные числа.
А если при некотором i оба числа i, 49–i – простые? Например, если R задумал 2 и 47, то P он сообщил 94, и P прекрасно может отгадать задуманные числа.
Следовательно, если R задумал 7 и 42, то S, получив s0 = 49, не имел бы права произнести (σ1). Значит, R не мог задумать 7 и 42.
Таким образом, кое-что о задуманных числах сказать всё-таки можно.
Преодолев первоначальные сомнения, подумаем, в каком направлении двигаться. Один способ отгадывания уже виден: брать всевозможные пары чисел k0, l0, удовлетворяющие неравенствам
| 2 ≤ k0 ≤ l0 ≤ 97, | (1) |
| 2 ≤ k0 + l0 ≤ 99, | (2) |
и проверять, «выдерживают» ли они диалог (π1) – (σ2).
Поскольку перебор во всех случаях конечен, в принципе можно было бы действовать и так. Однако решать задачу таким образом скучно. Попробуем сократить перебор.
Прежде всего давайте сначала искать не k0 и l0, а их сумму s0: для пары (k0, l0) возможных вариантов больше двух тысяч, а для s0 – меньше ста. Впрочем, и на этом пути лобовой перебор длинен и скучен.
2. Около гипотезы Гольдбаха-Эйлера
Какую информацию можно извлечь из (π1) и (σ1)? Что они означают?
| (π1), | очевидно, означает, что p0 не однозначно разлагается в произведение двух множителей, удовлетворяющих неравенствам (1), (2); | (π′1) |
| (σ1) | означает, что При любом разложении числа s0 сумму двух слагаемых, удовлетворяющих неравенствам (1), их произведение обладает свойством (π′1). | (σ′1) |
Высказывание (π′1) позволяет отбросить некоторые произведения, (σ′1) – некоторые суммы.
Из (σ′1) вытекает, что s0 не представимо в виде суммы двух простых чисел: если s0 = q1 + q2, где q1, q2 – простые, то число q1·q2 единственным образом разлагается в произведение двух множителей, удовлетворяющих неравенствам (1), (2), и, следовательно, не обладает свойством (π′1).
Но любое чётное число, удовлетворяющее неравенствам (2), представимо в виде суммы двух простых (это доказывается последовательной проверкой чисел 4, 6, 8, .... 98).
Следовательно, s0 – нечётное. Кроме того, s0–2 – составное: иначе s0 = 2 + (s0 – 2) представлялось бы в виде суммы двух простых. После отбрасывания чисел, не удовлетворяющих этим двум условиям, для s0 остаётся 24 возможности.
Выше мы воспользовались тем, что все чётные числа от 4 до 98 представимы в виде суммы двух простых.
В 1742 г. член Петербургской Академии наук Христиан Гольдбах в письме к Леонарду Эйлеру высказал предположение, что любое нечётное число, большее пяти, может быть представлено в виде суммы трёх простых чисел. В ответном письме Эйлер выдвинул гипотезу, что каждое чётное число, большее двух, представимо в виде суммы двух простых чисел. (Из гипотезы Эйлера гипотезу Гольдбаха вывести очень легко – сделайте это!)
В течение почти двухсот лет гипотезы Гольдбаха и Эйлера казались совершенно недоступными для доказательства, хотя непосредственным перебором математик Миле проверил их до 9 000 000.
В 1930 г. замечательный советский математик Л. Г. Шнирельман доказал существование такого k, что каждое натуральное число n > 1 может быть представлено в виде суммы не более k простых чисел. Число k у Шнирельмана было довольно велико. В настоящее время доказано, что теорема Шнирельмана верна при k = 20.
В 1934 г. академик И. М. Виноградов доказал существование такого n0, что любое нечётное число n > n0 представимо в виде суммы трёх простых чисел. Казалось бы, в век ЭВМ можно было бы поручить машине проверить «остальные» числа (от 7 до n0), но «постоянная Виноградова» n0 так велика (по последним оценкам n0 > 265536), что эта проверка превосходит возможности современных ЭВМ.
В доказательстве же гипотезы Эйлера до сих пор не достигнуто никакого существенного успеха.
Похожие работы
... новую песню?) Yes, I will (да, приду, да, буду, да сделаю). Не то чтобы will сдавал позиции. Просто come и gonna отвоевывают позиции под лучами англоязычного солнца. Конечно, об активном разговорном American English — языке общаг, кухонь, "Макдональдсов", спортивных площадок, колледжей и казарм — можно говорить еще и еще, но, как выражаются американцы: next time — как-нибудь в следующий раз. ...
... решения Bliss 9800 GTX 512MB мы не имеем. 3. Экономический расчет стоимости анализа обьекта Целью экономического расчета дипломного проекта является выбор оптимальной видеокарты для дизайнерского моделирования ООО "Бест Вей корп.", качественная и количественная оценка экономической целесообразности создания, использования и развития этой видеокарты, а также определение организационно- ...
... не за один день построен. Ср. Не сразу Москва строилась. Не вдруг все делается. 719. Salt water and absence wash away love. Любовь пропадает во время долгого плавания. Ср. С глаз долой — из сердца вон. 720. Saying and doing are two things. Сказать и сделать — две разные вещи. Ср. Скоро только говорится, а не скоро дело делается. Сказано — не доказано, надо сделать. От слова до дела — бабушкина ...
... . Замена привлекает внимание созвучием исходного и заменяющего компонентов. Заголовок - это способ дать читателю возможность с первого взгляда сориентироваться, нужно ли читать остальной текст. Трансформация фразеологизма обусловлена стремлением авторов усилить экспрессивную окраску заголовка. Мы выяснили, что такое изменение фразеологизмов служит «противоядием» от речевых штампов. Преобразуя ...
0 комментариев