С. Берколайко
[Решил добавить к уже выложенным доказательствам неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим ещё одно. Оно не такое потрясное по оригинальности как доказательства Бора и Гурвица, а любопытно, скорее, простотой используемых средств и ловкостью автора. – E.G.A.]
Пусть a1, a2, ..., an – положительные числа, среди которых есть различные. Тогда выполняется неравенство Коши:
| (1) |
Обозначим левую часть неравенства Коши через Sn и докажем его в такой форме:
| (Sn ) n > a1 a2 ... an . | (2) |
Очевидно, не ограничивая общности, можно считать, что для некоторого k такого, что 1 ≤ k ≤ n – 1,
| a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ ak ≤ Sn ≤ ak+1 ≤ ... ≤ an–1 ≤ an. | (3) |
Основой доказательства неравенства (2) будет неравенство
| (4) |
где 0 < a < b (см. рисунок). Заметим, что при a = b вместо (4) имеем
| b – a b | = ln | b a | = | b – a a | . |
Из (3) и (4)
| (5) |
или
| (6) |
Опять-таки из (3) и (4)
| (7) |
или
| (8) |
Легко проверить, что левая часть неравенства (6) равна правой части неравенства (8). Значит, из (6) и (8)
| (9) |
Поскольку среди чисел a1, a2, ..., an есть различные, в цепочке неравенств (3) какие-то неравенства выполняются «строго». Тогда эти «строгие» неравенства перейдут в (5) или (7). Значит, по крайней мере, одно из неравенств (6), (8) тоже будет «строгим». Поэтому вместо (9) мы можем утверждать
| ln | ak+1 ak+2 ... an (Sn) n–k | < ln | (Sn)k a1 a2 ... ak | , |
или
| ak+1 ak+2 ... an (Sn) n–k | < | (Sn)k a1 a2 ... ak | , |
откуда вытекает (2).
Если же a1 = a2 = ... = an, то, очевидно,
| a1 + a2 + ... + an n | = | n | Ö | a1 a2 ... an | . |
Похожие работы
... разработчиками. На сегодняшний день существует широкий спектр программ от простейших, контролирующих до сложных мультимедийных продуктов. 2. Опытно-экспериментальная работа по формированию познавательной потребности у учащихся средствами информационных технологий 2.1 Особенности изучения темы "Интеграл" в школьном курсе математики Выбор темы "Интеграл" неслучаен. Тема "Интеграл" изучается ...
... несколько уравнений, а в каждом уравнении - несколько переменных. Задача оценивания параметров такой разветвленной модели решается с помощью сложных и причудливых методов. Однако все они имеют одну и ту же теоретическую основу. Поэтому для получения начального представления о содержании эконометрических методов мы ограничимся в последующих параграфах рассмотрением простой линейной регрессии. ...
0 комментариев