Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация


Критерии устойчивости линейных систем

9600
знаков
0
таблиц
6
изображений
Устойчивость линейных систем

В реальной цепи, охваченной обратной связью, всегда имеются реактивные элементы, накапливающие энергию. Даже в усилителе на резисторах имеются такие элементы в виде паразитных емкостей схемы и электронных приборов, переходные конденсаторы, индуктивности проводов и так далее. Эти реактивные элементы создают дополнительные фазовые сдвиги и если на какой-либо частоте они в сумме дают дополнительный угол в 180, то обратная связь превращается из отрицательной в положительную и создаются условия для паразитной генерации.

Это обстоятельство во многих случаях существенно ограничивает эффективность применения обратной связи, так как при больших значениях Ѕ K y K o c Ѕ для устранения паразитной генерации требуются специальные устройства (фазокомпенсаторы и др.), уменьшающие крутизну ФЧХ в кольце обратной связи. Однако оказывается, что введение в схему новых элементов приводит лишь к сдвигу частоты паразитной генерации в область очень низких или очень высоких частот.

Итак, из выше сказанного следует, что применение обратной связи тесно связано с проблемой обеспечения устойчивости цепи.

Для правильного построения цепи и выбора ее параметров большое значение приобретают методы определения устойчивости цепи. Рассмотрим некоторые из них.

Алгебраические критерии устойчивости.

В настоящее время известно несколько критериев, различающихся больше по форме, чем по содержанию. В основе большинства из этих критериев лежит критерий устойчивости решений дифференциального уравнения, описывающего исследуемую цепь.

Пусть линейное однородное уравнение для цепи с постоянными параметрами задано в форме :

Критерии  устойчивости  линейных систем

где x - ток, напряжение и так далее., а постоянные коэффициенты Критерии  устойчивости  линейных систем - действительные числа, зависящие от параметров цепи.

Решение этого уравнения имеет вид :

Критерии  устойчивости  линейных систем

где Ai - постоянные, а pi - корни характеристического уравнения

Критерии  устойчивости  линейных систем (1)

Условие устойчивости состояния покоя цепи заключается в том, что после прекращения действия внешних возмущений цепь возвращается в исходное состояние. Для этого необходимо, чтобы возникающие в цепи при нарушении состояния покоя свободные токи и напряжения были затухающими. А это означает, что корни уравнения (1) должны быть либо отрицательными действительными величинами, либо комплексными величинами с отрицательными действительными частями. Из этих представлений вытекает следующий фундаментальный критерий устойчивости любых линейных систем :

“Cистема устойчива, если действительные части всех корней характеристического уравнения отрицательны.”

Это фундаментальное положение было основано А.М.Ляпуновым, который в 90-х годах прошлого века заложил основы теории устойчивости. В связи с этим приведенный выше критерий называют критерием Ляпунова.

Заметим, что левая часть характеристического уравнения (1) представляет собой не что иное, как знаменатель передаточной функции цепи записанной в форме

Критерии  устойчивости  линейных систем

Таким образом, корни характеристического уравнения цепи являются полюсами передаточной функции К(р) этой цепи.

Отсюда следует, что сформулированные выше условия отрицательности действительных корней равносильны следующему утверждению : для устойчивости цепи необ-ходимо, чтобы передаточная функция К(р) не имела полю-сов в правой полуплоскости комплексной переменной р.

В тех случаях, когда цепь описывается дифференциальным уравнением высокого порядка, исследование корней характеристического уравнения, необходимое для решения вопроса об устойчивости системы, является сложной задачей.

Однако ее можно решить, анализируя соотношения между коэффициентами уравнения без определения самих коэффициентов. Это можно сделать с помощью теоремы Гурвица, которая утверждает, что для того, чтобы действительные части всех корней уравнения

Критерии  устойчивости  линейных систем

c действительными коэффициентами и b0>0 были отрицательными, необходимо и достаточно, чтобы были положительными все определители D 1, D 2, ..., D m, составленные из коэффициентов уравнения по следующей схеме :

Критерии  устойчивости  линейных систем и т. д.

Сформулированный алгебраический критерий устойчивости называют критерием Рауса - Гурвица.

При составлении определителей по указанной схеме коэффициенты с индексом, превышающим степень характеристического уравнения заменяют нулями.

ПРИМЕР :

Для уравнения четвертой степени получаются следующие определители :

Критерии  устойчивости  линейных систем

В результате несложно видеть, что выполняется равенство

Критерии  устойчивости  линейных систем

Отсюда по теореме Гурвица следуют условия устойчивости (в виде следующих неравенств):

Критерии  устойчивости  линейных систем

Так, для характеристического уравнения второй степени

Критерии  устойчивости  линейных систем

Критерий Рауса - Гурвица особенно удобен для проверки устойчивости цепи с заданными параметрами: вычисления относительно просты. Недостатком этого критерия является ограниченность применения: область применения критерия ограничена цепями с сосредоточенными параметрами, поскольку только для них передаточная функция выражается через многочлены. Кроме того этот критерий не дает ясных указаний на то как из неустойчивой цепи сделать устойчивую.

Геометрические критерии устойчивости.

Требование, чтобы передаточная функция

Критерии  устойчивости  линейных систем

Критерии  устойчивости  линейных систем

не имела полюсов в правой полуплоскости р = s + iw , т.е. в области, ограниченной полуплоскостью бесконечно большого радиуса R и осью iw (см. рисунок), равносильно условию, что знаменатель выражения (2) не должен иметь нулей в указанной области или, что то же, функция

Критерии  устойчивости  линейных систем (*)

не должна обращаться в единицу ни в одной из точек правой полуплоскости р.

Критерии  устойчивости  линейных систем

Но Н(р) представляет собой передаточную функцию разомкнутого кольца обратной связи, то есть отношение напряжения на зажимах 2-2 к напряжению на зажимах 1-1 при разомкнутой системе, как это показано на рисунке 2.

Для дальнейшего анализа перейдем от комплексной плоскости р на другую комплексную плоскость Н(р)=u+i (см. рисунок 3).

Критерии  устойчивости  линейных систем

При этом каждой точке р плоскости s , i w соответствует определенное значение Н на плоскости u,iv. И любой замкнутый контур на плоскости перейдет в некий, также замкнутый контур на плоскости Н.

Если исходный контур на плоскости р задан в виде контура как на рисунке 1, то соответствующий ему контур на плоскости Н называется годографом функции Н(p).

Показанный на рисунке 1 контур можно разбить на два участка : прямую iw от Ґ до -Ґ и полуокружность бесконечно большого радиуса R. На первом участке, где s = 0 , р=i w , функция H(p) обращается в функцию H(i w ). В соответствии с выражением (*) этот участок преобра-зуется на плоскости H в линию, определяемую следующим cоотношениемКритерии  устойчивости  линейных систем

откуда

Критерии  устойчивости  линейных систем

Критерии  устойчивости  линейных систем

В этих выражениях аргументы передаточных функций соответственно четырехполюсников

Критерии  устойчивости  линейных систем

На втором рисунке контура (см. рисунок 1) при R® Ґ функция H(p)® 0. Это вытекает из общего выражения

Критерии  устойчивости  линейных систем
Критерии  устойчивости  линейных систем

которое при Ѕ pЅ ® Ґ можно представить в виде (под В подразумевается постоянный коэффициент, а p0i и pпi - соответственно нули и полюсы функции К(р)).

Совершенно аналогично и функцию Н(р) при Ѕ pЅ ® Ґ можно представить в форме H(p) = Apn-m где n и m - числа соответственно нулей и полюсов функции Н(р).

При n < m и Ѕ pЅ ® Ґ модуль функции H(p) на полуокружности R ® Ґ равен нулю. Таким образом, полуокружность бесконечно большого радиуса R на плоскости р преобразуется в точку, лежащую в начале координат на плоскости Н, и для построения годографа Н в виде замкнутого контура достаточно знать поведение Н(р) на оси iw, то есть знать АЧХ и ФЧХ цепи Ky(iw),Koc(iw).

Обходу контура на рисунке 1 в положительном направлении (против часовой стрелки) соответствует обход годографа Н при изменении частоты от Ґ до -Ґ , т.е. также против часовой стрелки (см. рисунок 3).

Следовательно, если годограф передаточной функции разорванного кольца не охватывает точку 1,i0 , то при замкнутой цепи обратной связи система устойчива, в противном случае система неустойчива.

Это условие называют критерием устойчивости Найквиста, а годограф H(iw) - диаграммой Найквиста.

Показанная на рисунке 3 диаграмма соответствует устойчивой системе. Это видно из того, что годограф Н не охватывает точку 1,i0. Сплошной линией показана часть контура, соответствующая положительным частотам 0<w<Ґ , а штриховой - часть контура, соответствующая отрицательным частотам. Так как функция u(w) четная, а v(w) нечетная относительно w, то оба годографа симметричны относительно действительной оси.

Рисунок 3 был построен для случая, когда при w = 0 передаточная функция Н(iw) отлична от нуля ( эта возможно, например, для усилителей постоянного тока, в которых отсутствуют разделительные конденсаторы).

Критерии  устойчивости  линейных систем
Рисунок 4

Пример диаграммы Найквиста для неустойчивой системы приведена на рисунке 4.

Основное преимущество данного метода : удобство оперирования с АЧХ и ФЧХ разомкнутой цепи.

Следует отметить, что при сложной схеме устройства форма диаграммы бывает настолько усложнена, что по ней сложно судить о попадании точки 1,i0 в замкнутый контур годографа. В подобных случаях оказывается полезным критерий, вытекающий из критерия Найквиста, основанный на подсчете числа пересечений годографом оси Uн(w) на участке 1,Ґ .

Для устойчивости системы тогда необходимо, чтобы годограф либо вообще не пересекал этот отрезок (так, как показано на рисунке 4), либо пересекал его в положительном и отрицательном направлениях одинаковое число раз

* * *

Справедливости ради необходимо заметить, что известны и другие геометрические методы исследования устойчивости линейных систем с обратной связью, например критерий Михайлова и критерий пересечений. Они широко применяются при анализе систем автоматического регулирования. Но мы не будем рассматривать их в данной работе , а при необходимости , с ними можно познакомиться в книге : Котельников В.А., Николаев А.М. “Основы радиоэлектроники”

Литература

1. С.И. Баскаков “Радиотехнические цепи и cигналы” , 1983. М.: Высшая школа.

2. И.С. Гоноровский “Радиотехнические цепи и сигналы”, 1986 М.: Радио и связь.


Информация о работе «Критерии устойчивости линейных систем»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 9600
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 6

Похожие работы

Скачать
11991
6
16

... , замкнутая система, при заданной структуре и параметрах, устойчива. Определим критический коэффициент усиления из условия: 5. Определение областей устойчивости Устойчивость систем зависит от структуры и параметров системы. При расчете систем автоматического управления возникает задача опреде-ления диапазона изменения варьируемых параметров системы, при кото-рых она устойчива. ...

Скачать
17601
12
18

...   Рис. 6 Рис. 7 Схема моделирования показана на рис. 8. Рис.8 Исследование устойчивости для удобства сравнения проводится на трех моделях, отличающихся структурой или параметрами.   2.Оптимальные линейные САР Задача оптимального синтеза линейной системы авторегулирования при случайных воздействиях заключается в определении такой структуры и параметров системы, при ...

Скачать
19438
0
3

... x ( t0 ) = x0. С целью упрощения все рисунки п. 10 ,если нет специальных оговорок, приводится для случая n = 1. x 0 t Рис.1 Так как задача теории устойчивости впервые возникла в механике, то переменную t принято интерпретировать как время, а искомую вектор-функцию x ( t ) - как движение точки в зависимости от времени в ...

Скачать
43651
7
12

... работы Целью работы является анализ частотных характеристик разомкнутых и замкнутых систем, получение навыков по использованию критерия устойчивости Найквиста. В работе предусматривается исследование трех систем, различающихся видом передаточной функции (ПФ) разомкнутого контура. Варианты значений параметров ПФ приведены в табл. 3.1. Замкнутая система построена по типу классической следящей ...

0 комментариев


Наверх