Навигация
(шпаргалка)
Осн. понятия
Грани числовых мн-в
Числовые последовательности
Непр. ф-ции на пр-ке
1. Осн. понятия
Мат.модель – любой набор кр-ний; неравенств и иных мат. Соотношений, которая в совокупности описывает интересующий нас объект.
Мн-во вещест. чисел разбивается: на рационал. и иррац. Рац. – число, которое можно представить в виде p/q где p и q – цел. числа. Иррац. – всякое вещественное число, которое не явл. рационал.
Любое вещ. число можно представить в виде бесконеч. десят. Дроби а, а1,а2…аn… где а –люб. число, а а1, а2 … аn числа, приним. целые знач.
Некоторые числовые множества.
Мн-ва – первичное понятие, на уровне здравого смысла, его не возможно точно определить.
Для описания мн-в единая символика, а именно, если в мн-во А входят только эл. х, которые обладают некоторым св-вом S(x), то тогда мн-во А описывается А={х½ вып-ся усл S(x)}.
Подмн-ва – если А и В 2 мн-ва и все эл-ты мн-ва А сод-ся в В, то А наз-ся подмн-вом В, А В, если в В сод-ся эл-ты отличные от эл-тов мн-ва А, то В строго шире А, то А наз-ся собственным подмн-вом В. АÌВ. А=В- мн-ва совпадают.
Операции с мн-воми А В={х!х принадл. либо А, либо В} – обьединение мн-в А и В.
АÇ В={х½хÎА и хÎВ} пересечение мн-в А и В.
А В={х½хÎА, но хÏВ}дополн. к м-ву В во мн-ве А
Числовые мн-ва
R,N,Z,Q - стандартные обозначения мн-в на числ. прямой. (а,в)= {х½а<х<в} – интервал из R (открытый промежуток, т.к. не содержит границ)
[а,в] – замкнутый промежуток сод. гранич. т-ки.
(а,в] – полуинтервал.
Окрестностью т-ки х наз-ся любой интервал содержащий т-ку х, необязательно симметричную.
2. Грани числовых мн-в
Пусть Х – непустое мн-во веществ. чисел.
Мн-во Х назся огран. сверху(снизу), если сущ-ет число с такое, что для любого х Х вып-ся неравенство с³х(х³с). Число с наз-ся верхн.(нижн.) гранью мн-ва Х. Мн-во, огран. сверху и снизу наз-ся ограниченым
Если мн-во имеет 1 верхнюю грань то она имеет их бесчисленное мн-во.
Пример X=R+ - ограничено снизу, но не сверху, значит не ограничено.
Точные грани числовых мн-в
Пусть мн-во Х ограничено сверху, если это мн-во содержит макс число, т.е. наименьшую из своих верхних граней, то это число назся макс мн-ва Х и обозначается Х*=maxX. Если мн-во содержит мин число Х* , то оно min мн-ва Х
Пример Х=[0,1) то max[0,1) не $. min [0,1)=0
Число Х* наз-ся точной верхн. гранью, мн-ва Х, если во-первых оно явл. верхн. гранью этого мн-ва, а во-вторых при сколь угодном уменьшении Х* получ. число перестает быть верх. гранью мн-ва.
Верхн. грань – supX=x*, а нижн. грань infX=x*
Теорема. Любое непустое ограниченное сверху (снизу) числ. мн-во имеет точную верх(ниж) грань.
Таким образом у огран. мн-ва обе грани $, док-во основано на непрерывности мн-ва действит. чисел.
3. Числовые последовательности
Если для каждого нат. числа n определено некоторое правило сопоставляющее ему число xn, то мн-во чисел х1,х2, … ,хn, … наз-ся числовой последовательностью и обозначается {xn}, причем числа образующие данную посл-ть наз-ся ее эл-ми, а эл-т хn общим эл-том посл-ти .
!Порядок следования эл-тов оч. важен, перестановка хотя бы 2-х эл-тов приводит к др. посл-ти.
Основные способы задан. посл-ти:
а) явный, когда предъявляется ф-ла позволяющая по заданному n вычислить любой эл-т n, т.е. xn=f(n), где f- некоторая ф-ция нат. эл-та.
б) неявный, при котором задается некоторое рекуррентное отношение и несколько первых членов посл-ти.
Пример:
а) xn=5n x1=5, x2=10
б) x1=-2 xn=4n-1 –3, n=2,3… х2=-11, х3=-47
Ограниченные последовательности(ОП)
Посл-ть {xn} наз-ся огран. сверху(снизу), если найдется какое-нибудь число {xn} M(m) xn£M "n (xn³m "n) посл-ть наз-ся огранич., если она огранич. сверху и снизу.
Посл-ть {xn} наз-ся неогранич., если для любого полного числа А сущ-ет эл-т хn этой посл-ти, удовлетворяющий неравенству ½xn½>А.
Сходящиеся и расходящиеся посл-ти
Св-ва сходящихся посл-тей
Теорема «Об единственности пределов»
Теорема «Сходящаяся посл-ть ограничена»
Теорема «О сходимости монотон. посл-ти»
4. Сходящиеся и расходящиеся посл-ти
Большое внимание уд-ся выяснению вопроса: обладает ли данная посл-ть сл-щим св-вом (сходимости) при неогранич. Возрастании номеров посл-ти эл-ты посл-ти сколь угодно близко приближаются к некоторому числу а или же этого св-ва нет.
Опр Если для любого e >0 найдется такой номер N, для любого n >N:½xn-a½< e
Все посл-ти имеющие предел наз-ся сходящимися, а не имеющее его наз-ся расходящимися.
Связь сходящихся посл-тей и б/м.
Дает сл. теорему
Теорема Для того чтобы посл-ть xn имела пределом число а необходимо, чтобы эл-ты этой посл-ти можно было представить в виде xn=a+an, где посл-ть {an}®0, т.е. является б/м.
Док-во
а) Допустим, что xn®a и укажем посл-ть an удовл. равенству xn=a+an. Для этого просто положим an=xn-a, тогда при n®¥½xn-a½ равно растоянию от xn до а ® 0 => an б/м и из равенства преобразования определяю an получаем xn=a+an.
Свойство б/м
Если {xn},{yn}- любые посл-ти, то их сумма {xn+yn}, это есть пос-ть с общим членом xn+yn. Аналогично с разностью, частным и умножением.
Т-ма о св-вах б/м
а) {xn}и{yn}-б/м пос-ти, б/м
1) их сумма, разность и произведение являются б/м
2) Произведение любой огранич. посл-ти на б/м являются б/м
!О частном не говорят, т.е. частное б/м может не быть б/м.
Посл-ть {xn} явл. б/б, если для любого числа с>0 сущ-ет номер N для всех номеров n>N ½xn½>c.
!Понятие б/б не совпадает с неограниченной: посл-ть может быть неогранич., но не является б/б.
Пример 1,1/2,3,1/4,5,1/6,7… явл. неогранич., т.е. принимает сколь угодно большие по модулю значения, однако в ней имеются эл-ты со сколь угодно большими номерами принимающие дробные знач. и сколь угодно малые по модулю.
Св-ва сходящихся посл-тей
Теорема «Об единственности пределов»
Если посл-ть xn сходится, то она имеет единственный предел.
Док-во (от противного)
{xn} имеет два разл. Предела a и b, а¹b. Тогда согласно определению пределов любая из окрестностей т. а содержит все эл-ты посл-ти xn за исключением конечного числа и аналогичным св-вом обладает любая окрестность в точке b. Возьмем два радиуса e= (b-a)/2, т.к. эти окрестности не пересекаются, то одновременно они не могут содержать все эл-ты начиная с некоторого номера. Получим противоречие теор. док-на.
Теорема «Сходящаяся посл-ть ограничена»
Пусть посл-ть {xn}®а e >о N:"n>N½xn-a½<e эквивалентна а-e<xn<a+e "n>N => что каждый из членов посл-ти удовлетворяет неравенству½xn½£ c = max {½a-e½,½a+e½,½xn½,…,½xn-1½}
Теорема «Об арифметических дейсьвиях»
Пусть посл-ть {xn}®a,{yn}®b тогда арифметические операции с этими посл-тями приводят к посл-тям также имеющие пределы, причем:
а) предел lim(n®¥)(xn±yn)=a±b
б) предел lim(n®¥)(xn*yn)=a*b
в) предел lim(n®¥)(xn/yn)=a/b, b¹0
Док-во:
а)xn±yn=(а+an)±(b+bn)=(a±b)+(an±bn) Правая часть полученная в разности представляет сумму числа a+b б/м посл-тью, поэтому стоящая в левой части xn+yn имеет предел равный a±b. Аналогично др. св-ва.
б) xn*yn=(а+an)*(b+bn)=ab+anb+abn+anbn
an*b – это произведение const на б/м
а*bn®0, anbn®0, как произведение б/м.
=> поэтому в правой части стоит сумма числа а*b+ б/м посл-ть. По т-ме О связи сходящихся посл-тей в б/м посл-ти в правой части xn*yn сводится к a*b
Практический вывод состоит в том, что нахожд. пределов посл-тей заданных сл. выражениями можно сводить к более простым задачам вычисления lim от составляющих этого выр-ния
Посл-ть {xn} наз-ся возр., если x1<…<xn<xn+1<…;
неубывающей, если x1£x2£…£xn£xn+1£…; убывающей, если x1>x2>…>xn>xn+1>…; невозр., если x1³x2³…³xn³xn+1³…
Все такие посл-ти наз-ся монотонными. Возр. и убыв. наз-ся строго монотонными
Монотонные посл-ти ограничены с одной стороны, по крайней мере. Неубывающие ограничены снизу, например 1 членом, а не возрастыющие ограничены сверху.
Теорема «О сходимости монотон. посл-ти»
Всякая монотонная посл-ть явл-ся сходящейся, т.е. имеет пределы.
Док-во Пусть посл-ть {xn} монотонно возр. и ограничена сверху. X – все мн-во чисел которое принимает эл-т этой посл-ти согласно усл. Теоремы это мн-во огранич., поэтому по соотв. Теореме оно имеет конечную точную верх. грань supX xn®supX (обозначим supX через х*). Т.к. х* точная верх. грань, то xn£x* " n. " e >0 вып-ся нер-во $ xm(пусть m- это n с крышкой):xm>x*-e при " n>m => из указанных 2-х неравенств получаем второе неравенство x*-e£xn£x*+e при n>m эквивалентно ½xn-x*½<e при n>m. Это означает, что x* явл. пределом посл-ти.
Экспонента или число е
Ф-ции одной переменной
Обратные ф-ции
Похожие работы
Ось абсцисс пустим вдоль оси первого конуса, ось ординат - вдоль оси второго конуса, ось аппликат - параллельно оси цилиндра, причем так, чтобы система координат была правой. Расстояние d от вершин конусов до начала координат находим с помощью Теоремы Пифагора:2 + l = + 2 = 7.7 (см) таким образом ось цилиндра описывается следующим уравнением: Вершина первого конуса имеет следующие координаты - ...
урецкий, персидский, татарский и французский языки, а также мусульманское и международное право. Целью данной работы является освещение предмета высшей математики в профессиональной деятельности военного юриста. Работа включает не только теоретические аспекты применения методов высшей математики в военной юриспруденции, но и примеры практического использования методик. 1. Характеристика ...
... f ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b]. Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...
бнику, решения задач необходимо ответить на вопросы для самопроверки, помещенные в конце темы. В соответствии с действующим учебным планом студенты-заочники изучают курс высшей математики в течение 1 и 2 семестра и выполняют в каждом семестре по две контрольные работы. Первая и вторая контрольные работы выполняются студентами в 1 семестре после изучения тем 1-2 и 3-4 соответственно. Третья и ...
0 комментариев