Навигация
2.7.1.3. V постулат.
«Начала» Евклида на протяжении более двух тысяч лет подвергались тщательному изучению. Имеется огромная литература, содержащая комментарии к «Началам». Уже древние комментаторы заметили, что «Начала» содержат существенные недостатки, в связи с этим предпринимались попытки их устранения. Особое внимание критиковавших «Начала» Евклида привлекал к себе V постулат.
V постулат занимает в системе постулатов «Начал» особое положение в силу ряда глубоких соображений. Прежде всего, обращает на себя внимание то обстоятельство, что утверждение, содержащееся в V постулате, не имеет столь простого и очевидного характера, какой имеют прочие постулаты. Во-вторых, формулировка V постулата носит довольно сложный и громоздкий характер. И наконец, третья особенность заключается в весьма своеобразном использовании Евклидом этого постулата. В то время, как все остальные постулаты используются им с самого начала, при изложении первых теорем, V постулат применяется впервые лишь в доказательстве 29-го предложения.
Таким образом, применение V постулата в «Началах» Евклида резко разграничивает геометрические предложения на две категории: на предложения, доказываемые без помощи V постулата; и на предложения, которые не могут быть доказаны без его использования. Предложения первой категории называются абсолютной геометрией, а второй – образует так называемую собственную евклидову геометрию.
Изложенные особенности V постулата имели большое значение для последующего развития геометрии. Исследователи, жившие после Евклида, и комментаторы «Начал», рассматривали V постулат, как предложение, которое не следует помещать среди постулатов, а необходимо доказать как теорему. Они были убеждены в его доказуемости. Поэтому усилия многих поколений математиков были направлены на то, чтобы доказать V постулат при помощи остальных постулатов и тем самым свести его в разряд теорем. В этом и заключалась проблема V постулата Евклида.
Решением этой проблемы занимались многие математики, в том числе: Посидоний (I в. до н. э.), Птолемей (III в. до н. э.), Прокл (410 – 475 гг), Насир-Эддин (1201 – 1274 гг.), Д. Валлис (1616 – 1703 гг.), Ламберт (1728 – 1777 гг.), Лежандр (1752 – 1833 гг.), Гаусс (1777 – 1855 гг.), И. Больяи (1802 – 1860 гг.). Все они неизменно оканчивались неудачей. Авторы доказательств в своих рассуждениях использовали явным или скрытым образом наглядно очевидные предложения, которые при тщательном анализе оказывались предложениями эквивалентными самому постулату.
Например, наиболее интересная попытка доказательства была предпринята итальянским математиком Джироламо Саккери (1667 – 1733 гг.) – священник, профессор университета. Он пытался заменить V постулат Евклида его отрицанием и попытался вывести теорему, которая противоречила бы одной из доказанных Евклидом теорем. Полученное противоречие показало бы, что его предположение ложно и V постулат можно вывести из остальных. В процессе поиска он получил теорему, которая противоречила ранее полученным результатом, и написал книгу «Евклид, избавленный от всех пятен». Однако впоследствии математики выяснили, что Саккери в действительности не пришел к противоречию, и вопрос по-прежнему остается открытым.
В середине XVIII в. над этой проблемой размышлял немецкий математик Ламберт. В отличие от Саккери, он понял, что любой набор гипотез, который не приводит к противоречию, порождает новую геометрию, и убедился, что V постулат Евклида невозможно вывести из остальных аксиом, т. е. аксиома о параллельных независима от остальных.
Насколько велик труд, затраченный на исследования, связанные с проблемой доказательства V постулата, можно судить по тому, что известно около 250 серьёзных сочинений, посвящённых теории параллельности и не достигших поставленной цели. Однако, несмотря на безрезультатность и тщетность всех попыток доказательства V постулата, они всё же не были бесполезны. В результате этих многовековых поисков были выявлены логические зависимости между некоторыми важными геометрическими предложениями и, в частности, были открыты предложения, эквивалентные V постулату. Например, в современной школьной практике V постулат известен, как аксиома параллельных Плейфера: «Через точку, лежащую вне данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной».
2.8. Архимед.
2.8.1. Жизнь.
| Уроженец греческого города Сиракузы на острове Сицилия, Архимед был приближенным управлявшего городом царя Гиерона (и, вероятно, его родственником). Возможно, какое-то время Архимед жил в Александрии – знаменитом научном центре того времени. То, что сообщения о своих открытиях он адресовал математикам, связанным с Александрией, например |
Эратосфену, подтверждает мнение о том, что Архимед являлся одним из деятельных преемников Эвклида, развивавших математические традиции александрийской школы. Вернувшись в Сиракузы, Архимед находился там вплоть до своей гибели при захвате Сиракуз римлянами в 212 до н.э.
Дата рождения Архимеда (287 до н.э.) определяется исходя из свидетельства византийского историка 12 в. Иоанна Цеца, согласно которому он «прожил семьдесят пять лет». Яркие картины его гибели, описанные Ливием, Плутархом и Валерием Максимом, различаются лишь в деталях, но сходятся в том, что Архимеда, занимавшегося в глубокой задумчивости геометрическими построениями, зарубил римский воин. Кроме того, Плутарх сообщает, что Архимед, «как утверждают, завещал родным и друзьям установить на его могиле описанный вокруг шара цилиндр с указанием отношения объема описанного тела к вписанному», что было одним из наиболее славных его открытий. Цицерон, который в 75 до н.э. был на Сицилии, обнаружил выглядывавшее из колючего кустарника надгробие и на нем – шар и цилиндр.
Похожие работы
... факт; доказательство получается с помощью обратной процедуры.) Принято считать, что последователи Платона изобрели метод доказательства, получивший название «доказательство от противного». Заметное место в истории математики занимает Аристотель, ученик Платона. Аристотель заложил основы науки логики и высказал ряд идей относительно определений, аксиом, бесконечности и возможности геометрических ...
... и понятие актуальной бесконечности. Аристотель (384-322 гг. до н.э.) отчетливо различает два вида бесконечности: потенциальную и актуальную. Понятие актуальной бесконечности в древней Греции не получило развития как в философии, так и в математике. Понятие бесконечности подвергалось серьезной критике со стороны Зенона Элейского (около 490-430 гг. до н.э.). Зенон был учеником Парменида, главы ...
... координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных изображений. Можно выделить следующие цели изучения метода координат в школьном курсе геометрии: - дать учащимся эффективный метод решения задач и доказательства ряда теорем; - показать на основе этого метода тесную связь алгебры и геометрии; - способствовать ...
... схоларх афинской школы платоников специально рассматривает проблему возвращения и в чисто концептуальном плане, что представляет безусловный интерес для проводимого здесь подхода к истории античной философии, начавшейся с сакрализации текстов Гомера и "древнейших теологов" и завершающейся их глобальным осмыслением. Приведем некоторые размышления Дамаския о возвращении. "Познаваемое является ...
0 комментариев