Метод наименьших квадратов

3.3.2. Метод наименьших квадратов

В методе средних при определении коэффициентов уравнения использовалось условие равенства нулю алгебраической суммы отклонений результатов эксперимента от теоретической кривой ( в частном случае прямой ). Очевидно, что при этом D i могут быть значительной величины. Имеет значение только ² уравновешивание² положительных и отрицательных отклонений.

Поставим теперь задачу нахождения по результатам наблюдений наиболее вероятные значения неизвестных коэффициентов.

Предположим, что искомая зависимость y = ¦(х) существует. Тогда параметры этой линии необходимо выбрать таким образом, чтобы точки yi располагались по обе стороны кривой y = ¦(х) как можно ближе к последней. Предположим, что разброс точек yi относительно y = ¦(х) подчиняется закону нормального распределения. Тогда мерой разброса является дисперсия s 2 или ее приближенное выражение - средний квадрат отклонений.

.

И требование минимального разброса будет удовлетворено, если минимизировать выражение ( D yi )2. Как известно, необходимым условием того, что функция приобретает минимальное значение, является то, что ее первая производная ( или частные производные для функции многих переменных ) равна нулю. Применение метода наименьших квадратов имеет смысл, если число экспериментальных точек n больше числа определяемых коэффициентов.

Рассмотрим реализацию метода наименьших квадратов применительно к уравнению вида y = ax + b.

Для нахождения коэффициентов а, b искомой прямой необходимо минимизировать сумму квадратов расстояний D yi по ординате от точки (хi; yi) до прямой ( см. рис. 12 ). Расстояния D yi определятся

D yi = yi - axi - b.

Для минимизации приравниваем к нулю производные этой суммы по параметрам а, b:

; .

Преобразуем эту систему

Получим систему нормальных уравнений метода наименьших квадратов.

Решая ее относительно а, b получаем:

; .

Вычисляя из n опытов необходимые суммы и производя указанные действия, получаем величину коэффициентов а, b.

Как видно, способ наименьших квадратов достаточно громоздок и при его применении широко используется вычислительная техника. Метод наименьших квадратов может использоваться и в случае нелинейных функций. Например, если определяются параметры квадратичной зависимости:

y = ах2 + bx + с,

то

.

Дифференцируя это соотношение по а, b, с получаем систему нормальных уравнений:

Из этой системы можно определить параметры а, b, с.

При использовании метода наименьших квадратов при других нелинейностях, удобнее будет линеаризовать исходные зависимости.

В табл. 4 приведены системы нормальных уравнений для некоторых исходных уравнений.

Таблица 4

Системы нормальных уравнений

Исходное уравнение	Система нормальных уравнений
y=axb
y=a× lgx+b
y=eax+b
y=aebx
y=
y=
y=

Примечания: 1. Величины х, y обозначают значения величин хi, yi в i-ом опыте;

Знак S обозначают сумму величин от i = 1 до i = n, где n - число равноточных измерений. Интерполирование функций

Известно, что под интерполированием понимают отыскание значений функции, соответствующих промежуточным значениям аргумента, отсутствующим в таблице логарифмов, тригонометрических и др. функций.

В общем смысле можно сказать, что задача интерполирования обратна задаче табулирования функций. При интерполировании по таблице значений функции строится ее аналитическое выражение, т.е. по значениям функции yo, y1, ..., yn при значениях аргумента хо, х1, ..., хn определяется выражение неизвестной функции.

Понятно, что через данные точки ( даже большого числа ) можно провести множество различных кривых. Поэтому существует интерполирование в различных функциях F (х). Чаще всего требуют, чтобы функция F(х) была многочленом степени на единицу меньшей, чем число известных значений.

Таким образом, задачу интерполирования функций можно сформулировать следующим образом.

Для данных значений х º хо, х1, ..., хn и y º yo, y1, ..., yn найти многочлен y = F (х) степени n, удовлетворяющий условиям F (хо) = yo, F (х1) = y1, ..., F (хn) = yn. Точки хо, х1, ..., хn называют узлами интерполяции. Многочлен F (х) - интерполяционным многочленом , а формулы его построения - интерполяционными формулами.

Как видно из описания сущности интерполирования, в отличии от описанных ранее способов получения функций ( графического, метода средних, метода наименьших квадратов ), интерполяционный многочлен опишет кривую, проходящую точно через заданные точки.

Параболическое интерполирование

При параболическом интерполировании в качестве интерполяционного многочлена F (х) принимают многочлен n - ой степени вида

F (х) = ао + а1х + а2х2 + ... + аnxn.

Используя свойство прохождения функции F (х) через заданные точки для неизвестных коэффициентов аi можно составить n + 1 уравнений с n + 1 неизвестным:

ао + а1хо + а2хо2 + ... + аnхоn = yo; ао + а1х1 + а2х12 + ... + аnх12 = y1; .................................................... ао + а1хn + а2хn2 + ... + аnхn2 = yn.

Эта система имеет единственное решение, если значения хi отличны друг от друга. Понятно, что при большом n возникает сложность решения этой системы. Перед рассмотрением общего способа решения, рассмотрим простой пример.

Дано: хо = 0, х1 = 1, х2 = 2, yо = 1, y1 = 1, y2 = 3. Определить многочлен F (х).

Записывая многочлен F (х) в виде

F (х) = ао + а1х + а2х2

составим систему уравнений

или

откуда ао = 1, а1 = - 1, а2 = 1 и интерполирующий многочлен имеет вид

F (х) = 1 - х + х2.

Теперь рассмотрим общий подход к отысканию интерполяционного многочлена F (х), не решением системы, а непосредственной записью.

Определим выражение для многочлена, принимающего в точке х = хо значение yо = 1, а в точках х = х1, х2, ..., хn - значения y1 = y2 = ... = yn = 0. Очевидно, что многочлен будет иметь вид

.

Здесь при х = хо числитель и знаменатель равны, а при х = х1, х2, ..., хn - числитель равен нулю.

Теперь построим многочлен Fо (х), принимающий в точке хо значение yо и обращающийся в нуль для значений х = х1, х2, ..., хn. Учитывая предыдущее построение можно записать

.

Теперь можно записать многочлен F (х) для произвольного значения хi ( i = 0, 1, 2, ..., n ) принимающего значения F (хi) = yi, а во всех остальных точках х ¹ хi значение, равное нулю

.

Как видно из записи, числитель не будет содержать выражения (х - хi), а знаменатель - (хi - хi), т.е. выражений, обращающих числитель и знаменатель в нуль.

Искомый многочлен будет равен сумме

,

т.е. снова в каждой точке хi одно из слагаемых принимает нужное значение yi, а все остальные обращаются в нуль.

В развернутом виде

= ... + .

Полученная формула называется интерполяционной формулой Лагранжа.

Используя формулу Лагранжа запишем многочлен F (х) для разобранного выше примера.

= =.

Получили тоже самое выражение, что и ранее.

Контрольные вопросы

Назначение графического метода обработки результатов; Сущность графического метода обработки результатов; Понятие и назначение функциональной шкалы; Выбор масштаба функциональной шкалы; Сущность аппроксимации методом средних; Сущность аппроксимации методом наименьших квадратов; Принципиальное отличие метода интерполирования от метода наименьших квадратов. 4.ОСНОВЫ НОМОГРАФИИ

Номография - слово греческое. Номос - закон, графо - пишу, черчу. В буквальном переводе это слово означает ² черчение закона² .

Своей задачей номография ставит построение специальных графиков - номограмм, служащих для решения различных уравнений. Номограммы дают возможность компактно представлять функции многих переменных и таблицы с несколькими входами. На номограммах можно решать некоторые трансцендентные уравнения и системы таких уравнений. Номограммы можно применять не только для вычислительных целей, но и для исследования положенных в их основу функциональных зависимостей.

Наглядность представления различных закономерностей и простота использования номограмм при достаточно высокой точности результата обеспечивают широкое использование номограмм в различных областях техники.

В основе номограмм лежит понятие функциональной шкалы ( см. выше ). На основе функциональных шкал создаются не только номограммы, но и различные вычислительные средства: универсальные вычислительные номограммы, логарифмические линейки и т.п.

В данной главе излагается один из возможных видов номограмм - номограммы в декартовой системе координат, имеющие достаточно широкое использование в машиностроении.

4.1. Номограммы в декартовой системе координат

В разделах 3.1., 3.2. описана процедура построения графиков для функции одного переменного. При этом на графике получается одна линия ( прямая или кривая ).

Если же изучаемая функция зависит от двух переменных

Z = ¦ (х, y),

то придавая в этом уравнении, например, параметру y ряд частных ( постоянных ) значений y1, y2, ..., yn можно, как и для функции одного переменного, построить зависимости

Z = ¦ (х, y1); Z = ¦ (х, y2); ................... Z = ¦ (х, yn).

Получим систему кривых ( в частном случае прямых ), называемых номограммой из ² помеченных² линий, т.к. каждая линия помечается соответствующим значением yi.

Пример. При исследовании процесса фрезерования было установлено, что наиболее целесообразно величину радиального биения смежных зубьев фрезы назначать по условию обеспечения участия в процессе резания всех зубьев фрезы. Аналитически это условие выражается уравнением

,

где Sz - расчетная величина подачи на зуб, мм/ зуб;

k = - параметр операции;

D - диаметр фрезы, мм;

t - глубина резания, мм;

D - величина биения смежных зубьев фрезы, мм.

Как видно, Sz = ¦ (k, D ) является функцией двух параметров. Здесь можно отметить, что, фактически Sz = ¦ (D, t, D ), т.е. функцией трех параметров, но два параметра (D, t) заменены одним - k = , легко определяемым и уменьшающим количество переменных. Данный прием широко используется в номографии.

Теперь необходимо определиться с осями и помеченным параметром. В качестве оси ординат, в соответствии с функциональной зависимостью, рационально принять Sz. В качестве же оси абсцисс можно принять либо k, либо D . Если в качестве оси ординат принять k ( а помеченным параметром D i ), то зависимость

Sz = ¦ (k, D i)

будет получаться криволинейной, в соответствии с закономерностью . Проще строить и использовать прямолинейные графики при равномерных шкалах. Поэтому стараются номограммы строить на основе прямых линий. Поэтому лучше будет строить номограмму из помеченных линий вида

Sz = ¦ (D , Ki),

где .

Теперь выбираем масштаб построения и диапазоны изменения переменных. С учетом условий процесса фрезерования принимаем D £ 0,08 мм; Sz £ 0,20 мм/ зуб. Параметр k изменяем дискретно k = 2; 5; 10; 20; 30; 40; 50. Так как зависимость Sz = ¦ (D , Ki) является прямой линией, проходящей через начало координат, то для построения графиков достаточно вычислить только одно значение Sz при каком - либо значении D . Например, для k = 2, при D = 0,06 мм имеем

( мм/зуб ).

Теперь через точки ( 0; 0 ) и ( 0,06; 0,06 ) можно провести прямую линию и пометить ее параметр k = 2. Аналогично проводятся и другие линии. На номограмме наносится линия, показывающая порядок ее использования.

4.2. Составные номограммы с помеченными линиями

Номограмму в одной четверти можно построить для функции двух переменных. При большем числе переменных это сделать уже нельзя. В этом случае используют составные номограммы. Идею построения рассмотрим сначала в общем виде.

Пусть нам дано уравнение в неявном виде с четырьмя переменными

¦ (х, y, z, h ) = 0.

Допустим, что его можно привести к виду

¦ 1(х, y) = ¦ 2 (z, h ),

т.е. можно разделить переменные. Положим

¦ 1 (х, y) = g ; ¦ 2 (z, h ) = g .

Мы получим два уравнения, зависящих от двух переменных. Каждое из этих уравнений можно номографировать, как описано выше. Обеспечив отсчет величины g на одинаковой функциональной шкале, можно обойтись и без численных значений g ( если они нас не интересуют по условиям решаемой задачи ).

Аналогично поступают и с уравнениями с большим числом переменных, которое будет приводить к увеличению числа общих шкал и большему числу четвертей построения номограммы. Нужно только иметь в виду, что не всякое уравнение допускает разложение на несколько уравнений с двумя переменными и, следовательно, не всякое уравнение удается таким образом номографировать.

Рассмотрим реальный пример построения составной номограммы.

При исследовании процесса фрезерования было установлено, что сила резания при фрезеровании узких поверхностей приобретает характер повторяющихся импульсов не гармонической формы. И возмущение технологической системы осуществляется не на одной, а в бесконечном диапазоне частот. Наиболее опасно воздействие первых трех гармоник, несущих значительно больше энергии возмущения, чем все другие. Распределение энергии по этим трем гармоникам осуществляется в зависимости от отношения фронтов нарастания и спада силы в импульсе. Это отношение можно характеризовать отношением углов контакта фрезы (j ) и зуба фрезы (y ) с заготовкой. Причем всегда j ³ y .

Для наглядного представления и определения характера распределения энергии по трем гармоникам в зависимости от условий операции построим номограмму.

В одной из четвертей первоначально отражается характер распределения энергии по гармоникам возмущения в зависимости от j / y (рис. 15). Эти зависимости построены из результатов исследований, которые здесь не отражаются. Коэффициент Х2 характеризует ² удельный вес² энергии данной гармоники в общем силовом возмущении. Диапазон j / y = 1...9.

Теперь отношение j / y раскрываем в параметрах инструмента и операции

.

Видно, что здесь четыре переменных величины: D, t, B, w .

Введем промежуточную ось С и построим номограмму из помеченных линий для одной из переменных величин, а именно Вi

.

Видно, что это уравнения прямых линий, проходящих через начало координат. Задаваясь одним значением j / y и Вi можно провести ее график. Например, при j / y = 5, Вi = 5 получим С = 2× 5×5 = 50. Аналогично поступаем для Вi = 10; 15; 20.

Далее вводим следующую промежуточную ось ( и соответственно переменную ) L = C × tg w i. Задаваясь величинами угла w i и С можно определить положение помеченных линий. Например, при w = 45°, С = 50

L = 50× tg 45° =50. Àíàëîãè÷íî ïîñòóïàåì и äëÿ äðóãèõ óãëîâ w i = 15° ; 30° ; 60° ; 75°. Проводим прямые линии через начало системы координат и помечаем значение угла w i каждой линии.

Таким образом осталась одна взаимосвязь параметров

.

Здесь необходимо определиться с параметром, направленном по оси и ² помеченным² параметром. В любом случае зависимость нелинейная. Кроме того, глубина резания является задаваемым параметром и его лучше взять в качестве ² помеченного² параметра. Для построения помеченных линий нужно определить несколько координат каждой линии.

Рассмотрим ² помеченную² линию t = 5 мм. В качестве переменного параметра принимаем диаметр фрезы D. При D = 25; 50; 100; 150; 200 мм соответственно имеем

По найденным точкам строится линия для t = 5 мм. Аналогично поступают и для других значений t.

Указаны промежуточные оси С, L, которые при использовании номограммы не нужны и могут не указываться, указаны и частные зависимости для каждой четверти номограммы.

Полученная номограмма наглядно показывает, что распределение энергии по гармоникам возмущения технологической системы определяется условиями операции, изменяя которые можно воздействовать на возмущение технологической системы.

Для исключения резонансных явлений необходимо знать спектр собственных частот системы и согласовывать условия операции с их значениями, уменьшая количество энергии на ² резонансной² частоте. Эти данные, как правило, отсутствуют. Поэтому используя номограмму можно скорректировать условия операции. Для этого по известным параметрам фрезы, которая показала неудовлетворительные результаты, и элементам режима резания необходимо определить распределение энергии по гармоникам возмущения и выбрать другое распределение. Так как глубину резания и ширину фрезерования изменять, как правило, невозможно, а изменение угла наклона режущей кромки часто нецелесообразно по условиям стойкости инструмента, то новое распределение энергии можно получить изменив диаметр фрезы ( в большую или меньшую сторону по сравнению с первоначальным ). При этом необходимо сохранить прежним относительное число зубьев ( z/D) и скорость резания, так как число оборотов и зубьев фрезы играют самостоятельную роль в определении частотного диапазона возмущения (inz).

Как видно из изложенного, номограмма может существенно помогать в управлении процессом резания, на основе заложенных в нее функциональных зависимостей.

Контрольные вопросы

Сущность и назначение номографии; Функцию какого числа переменных можно отразить в одной четверти декартовой системы координат ?Понятие номограммы из ² помеченных² линий; Сущность составной номограммы и промежуточной функциональной шкалы. 5. ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

В целях закрепления знаний и получения практических навыков предлагается решить несколько задач, имеющих практическую направленность.

При измерении твердости по Роквеллу были получены следующие результаты. Для образца А: 97,0; 98,7; 99,9; 99,5; 97,1; 99,5; 92,0; 100,6; 99,7; 98,0; 98,5; 99,5; 99,7; 99,5; 99,0; 98,5; 99,5; 98,8; 98,5; 99,1; 98,4; 96,6; 97,2; 101,7; 97,2; 98,2; 97,5; 97,7; 99,0; 99,0; 97,5. Для образца В, проверяемого на этом же приборе: 85,6; 87,1; 87,9; 86,9; 85,6; 85,2; 85,5; 85,7; 84,7; 86,4; 80,0; 85,0; 82,0; 86,0; 86,0; 87,3; 84,5; 87,0; 87,3; 85,4; 91,0; 90,0; 90,8; 89,2; 91,0; 90,4; 84,1; 81,7; 87,4; 84,0; 85,2.

Для каждой группы данных определить значение измеряемого параметра, наличие промахов в ряду измерений. Для какой группы измерений результат получен точнее? Выбрав в случайном порядке 1, 4, 9, 16, 25 отсчетов проверить справедливость зависимости точности среднего значения от числа измерений. Построить эмпирические законы интегрального и дифференциального распределений. Подобрать теоретический закон распределения и оценить его соответствие.

Отклонения диаметра вала распределены по нормальному закону. Половина значений диаметра лежит в интервале 20 ± 0,1 мм. Отклонения диаметра отверстия также распределены по нормальному закону. Половина всех отклонений отверстия находится в интервале 20 ± 0,05 мм. Полагая, что сборка соединения производится вручную, определите, сколько из 50 валов не подойдет по размеру. Какой номинальный диаметр осевого отверстия ( вместо 20 мм ) следует задать ( при том же законе распределения ), чтобы все 100% деталей подошли друг к другу при ручной сборке. В цехе машиностроительного завода выполняется сложный заказ, с определенной вероятностью возникновения брака. Для обеспечения плана выпуска 100 изделий запущено в производство 110 единиц. Какова вероятность, что заказ будет выполнен если вероятность получения одного изделия 0,9; 0,95 ? При исследовании обрабатываемости одного из конструкционных материалов были получены зависимости периода стойкости зуба фрезы от угла наклона w стружечной канавки.

Результаты приведены в таблице:

w °	20	30	40	50	60
T, мин	30	60	80	70	50

Используя метод наименьших квадратов и параболического интерполирования получить аналитическую зависимость стойкости от угла наклона .

С помощью критерия c 2 проверьте соответствие числа бракованных деталей за 51 смену пуассоновскому распределению.

Число бракованных изделий за одну смену, m	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Число смен с m бракованными изделиями	3	7	9	12	9	6	3	2	0

Известно, что количество бракованных инструментов в партии соответствует закону Пуассона с параметром интенсивности l = 0,5. Определить количество бракованных изделий в партии. Случайная величина х распределена по закону равной вероятности в интервале [ 1; 10 ]. Определите при каком значении х вероятность его нахождения в заданном интервале равна 0,05 и 0,95 ?Случайная величина х подчиняется нормальному закону распределения с параметрами х = 3, s 2 = 25. Вычислить вероятности Р ( Х ³ 10 ), Р ( - 2 £ Х £ 8 ), Р ( Х £ -10 ). Дайте графическую иллюстрацию результата. Станок - автомат настроен на выполнение размера 100,1 мм. Разброс размеров деталей подчиняется нормальному закону распределения с дисперсией s 2 = 0,25 мм2. Поле допуска на размер детали составляет 100 ± 0,15 мм. Найдите долю брака при проведенной настройке, представьте ее в виде графика от среднеарифметического значения. На какое значение необходимо настроить автомат, чтобы доля брака была минимальной, определите эту долю. Пусть х = 100, s = 0,5. Что окажет большее влияние на увеличение доли брака - сдвиг х на ± 0,5 или увеличение s на 0,5 ?При исследовании силы резания в зависимости от глубины резания была измерена главная составляющая силы резания Рz при четырех значениях глубины резания

t, мм	1	2	3	4
Pz, Н	2300	3200	4000	4600

Графическим методом, методом средних и методом наименьших квадратов установить зависимость составляющей силы от глубины резания.

ЛИТЕРАТУРА Теория Вероятностей, М. 1998 Гутер Р.С., Овчинский Б.В. Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта. - М.: Физматгиз, 1962. - 356 с. Зайдель А.Н. Ошибки измерения физических величин. - Л.: Наука, 1974. - 108 с. Кассандрова О.Н., Лебедев В.В. Обработка результатов наблюдений. - М.: Наука, 1970. - 104 с. Колесников А.Ф. Основы математической обработки результатов измерений. - Томск: ТГУ, 1963. - 49 с. Плескунин В.И., Воронина Е.Д. Теоретические основы организации и анализа выборочных данных в эксперименте. Учебное пособие. - Л.: ЛЭУ, 1979. - 232 с. Румшинский Л.З. Математическая обработка результатов эксперимента. Справочное руководство. - М.: Наука, 1971. - 192 с. Рыжов Э.В., Горленко О.А. Математические методы в технологических исследованиях. - Киев: Наук. думка, 1990. - 184 с. Сухов А.Н. Математическая обработка результатов измерений. Учебное пособие. - М.: МИСИ, 1982. - 89 с. Чкалова О.Н. Основы научных исследований. - Киев: Вища школа, 1978. - 120 с.