Эти же координаты имеют соответственно и векторы

_{2. Эти же координаты имеют соответственно и векторы} и . По определению скалярного произведения векторов:
= х₁х_{2 +} y₁y₂. (1)
Выразим скалярное произведение через тригонометрические функции углов и . Из определения косинуса и синуса следует, что
х₁ = R cos , y₁ = R sin , х₂ = R cos , y₂ = R sin .
Подставив значения х₁, х₂, y₁, y₂ в правую часть равенства (1), получим:
= R²cos cos + R²sin sin = R²(cos cos + sin sin).
С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторовимеем:
= cos BOC = R²cos BOC.
Угол ВОС между векторами и может быть равен - (рис.1), - ( - ) (рис.2) либо может отличаться от этих значений на целое число оборотов. В любом из этих случаев cos BOC = cos ( - ). Поэтому
= R² cos ( - ).
Т.к. равно также R²(cos cos + sin sin), то
cos( - ) = cos cos + sin sin.

cos( + ) = cos( - (-)) = cos cos(-) + sin sin(-) = cos cos - sin sin.
Значит,
cos( + ) = cos cos - sin sin. Формулы синуса суммы и разности двух аргументов:

sin( + ) = cos( /2 - ( + )) = cos(( /2 - ) - ) = cos( /2 - ) cos + sin( /2 - ) sin = sin cos + cos sin.
Значит,
sin( + ) = sin cos + cos sin.

sin( - ) = sin( + (-)) = sin cos(-) + cos sin(-) = sin cos - cos sin.
Значит,
sin( - ) = sin cos - cos sin.

№ 17

Формулы двойных углов

Формулы сложения позволяют выразить sin 2, cos 2, tg 2, ctg 2 через тригонометрические функции угла .
Положим в формулах
sin( + ) = sin cos + cos sin ,
cos( + ) = cos cos - sin sin ,
,
.
равным . Получим тождества:

sin 2 = 2 sin cos ;
cos 2 = cos² - sin² = 1 - sin² = 2 cos² - 1;
; .

№ 18

Формулы половинного аргумента

Выразив правую часть формулы cos 2 = cos² - sin² через одну тригонометрическую функцию (синус или косинус), придем к соотношениям
cos 2 = 1 - sin² , cos 2 = 2 cos² - 1.
Если в данных соотношениях положить = /2, то получим:
cos = 1 - 2 sin² /2, cos 2 = 2 cos² /2 - 1. (1) Из формул (1) следует, что
 (2),  (3). Разделив почленно равенство (2) на равенство (3), получим
 (4). В формулах (2), (3) и (4) знак перед радикалом зависит от того, в какой координатной четверти находится угол /2. Полезно знать следующую формулу:
.

№ 19

Формулы суммы и разности синусов, косинусов

  Сумму и разность синусов или косинусов можно представить в виде произведения тригонометрических функций. Формулы, на которых основано такое преобразование, могут быть получены из формул сложения.
  Чтобы представить в виде произведения сумму sin + sin , положим = x + y и = x - y и воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности. Получим:
sin + sin = sin (x + y) + sin (x - y) = sinx cosy + cosx siny + sinx cosy - cosx siny = 2sinx cosy.
  Решив теперь систему уравнений = x + y, = x - y относительно x и y, получим х = , y = .
Следовательно,
   sin + sin = 2 sin cos .
Аналогичным образом выводят формулы:
   sin -sin = 2 cos sin ;
   cos + cos = 2 cos cos ;
   cos + cos = -2 sin sin .

№ 20

Чтобы найти решение приведенного квадратного уравнения x² + px + q = 0, где , достаточно перенести свободный член в правую часть и к обеем частям равенства прибавить . Тогда левая часть станет полным квадратом, и мы получаем равносильное уравнение = - q .
Оно отличается от простейшего уравнения x² = m только внешним видом: стоит вместо x и - q - вместо m. Находим = . Отсюба х = - . Эта формула показывает, что всякое квадратное уравнение имеет два корня. Но эти корни могут быть и мнимыми, если < q . Может также оказаться, что оба корня квадратного уравнения равны между собой, если = q . Возращаемся к обычному виду .
1. Сумма корней приведенного квадратного уравнения x² + px + q = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, т.е. х₁ + х₂ = -р, а х₁х₂ = q .
2. Теорема, обратная теореме Виета. Если р, q, х₁, х₂ таковы, что х₁ + х₂ = -р и х₁х₂ = q , то х_{1 и} х₂ - корни уравнения x² + px + q = 0.

№ 21

Опр. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобыполучить число b.
  Формулу (где b > 0, a > 0 и a 1) называют основным логарифмическим тождеством.
  Свойства логарифмов:

; ; Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:
.
Для доказательства воспользуемся основным логарифмическим тождеством:
x = , y = .
Перемножим почленно эти равенства, получаем:
xy = = .
Следовательно, по определению логарифма (п.3) доказан. Логарифм частного равен логарифму делимого без логарифма делителя:
.
Ход доказательства аналогичен доказательству п.3 Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания:
.
При доказательстве, также необходимо воспользоваться основным логарифмическим тождеством.

№ 22

Производной функции f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции в точке х₀ к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Это можно записать так: . Из определения производной следует, что функция может иметь производную в точке х₀ только в том случае, если она определена в некоторой окрестности точки х₀, включая эту точку. Необходимым условием существования производной функции в данной точке является непрерывность функции в этой точке. Существование производной функции f в точке х₀ эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (х₀ ; f(х₀)) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен . В этом состоит геометрический смысл производной. Механический смысл производной f '(x) функции у = f(x) - это скорость изменения функции в точке х. Поэтому при решении прикладных задач следует помнить, что какой бы процесс ни описывался изучаемой функцией у = f(x) производную с физической точки зрения можно представить как скорость, с которой протекает процесс.

№ 23

Производная суммы равна сумме производных, если они существуют:
. Если функция u и v дифференцируемы в точке х₀ то их производные дифференцируемы в этой точке и
. Если функция u и v дифференцируемы в точке х₀, а С - постоянная, то функция Cu дифференцируема в этой точке и
. Если функция u и v дифференцируемы в точке х₀ и функция v не равна нулю в этой точке, то частное двух функций тоже дифференцируемо в точке х₀ и
.