Вариационные ряды

Задание № 1.

По данной выборке:

а) Найти вариационный ряд;

б) Построить функцию распределения;

в) Построить полигон частот;

г) Вычислить среднее значение СВ, дисперсию, среднеквадратичное отклонение.

№=42. Элементы выборки:

1 5 1 8 1 3 9 4 7 3 7 8 7 3 2 3 5 3 8 3 5 2 8 3 7 9 5 8 8 1 2 2 5 1 6 1 7 6 7 7 6 2

Решение.

а) построение ранжированного вариационного ряда:

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9

б) построение дискретного вариационного ряда.

Вычислим число групп в вариационном ряду пользуясь формулой Стерджесса:

Примем число групп равным 7.

Зная число групп, рассчитаем величину интервала:

Для удобства построения таблицы примем число групп равным 8, интервал составит 1.

Таблица 2

xj	1-2 (+)	2-3	3-4	4-5	5-6	6-7	7-8	8-9	Итого
fj	11	7	1	5	3	7	6	2	42
Середина интервала xj’	1,5	2,5	3,5	4,5	5,5	6,5	7,5	8,5
xj’fj	16,5	17,5	3,5	22,5	16,5	45,5	45	17	184
Накопленная частота fj’	11	18	19	24	27	34	40	42

в) построение функции распределения:

С помощью ряда накопленных частот построим кумулятивную кривую распределения.

Диаграмма 1

в) построение полигона частот:

Диаграмма 2

г) вычисление среднего значения СВ, дисперсии, среднеквадратичного отклонения:

Задание № 2.

По заданной выборке проверить гипотезу о нормальном распределении СВ по критерию согласия Пирсона. Произвести интервальную оценку выборочного среднего значения с доверительной вероятностью 0,98

Таблица 1.

78	80	83	84	84	86	88	88	89	89	91	91	92	92	94	94	96	96	96	97	97	99	99	101	102
102	104	104	105	105	107	109	110	110	115	120	76	78	81	83	84	86	86	88	88	89	89	91	92	92
92	94	94	96	96	97	97	99	99	99	101	102	104	104	105	105	107	107	110	110	112	115	75	78	80
83	84	86	86	88	88	89	91	91	91	92	92	94	94	96	96	97	97	99	99	101	101	102	102	104
104	105	107	109	109	112	115	117	73	81	84	84	86	88	89	91	91	92	94	96	96	97	99	101	101
104	105	105	107	107	110	117	123	67	78	81	81	83	84	84	86	86	88	88	88	89	89	91	91	91
92	92	92	94	94	94	96	96	97	97	97	99	99	99	101	101	102	102	104	104	104	105	105	107	107
109	109	110	110	113	118	121

№=182

Решение.

Вычислим число групп в вариационном ряду пользуясь формулой Стерджесса:

Определим величины интервала:

Примем число групп равным 8, а число интервалов 7.

Таблица 2.

Номер интервала	xj	fj	x’j	x’jfj	f’j
1	2	3	4	5	6
1	67-74 (+)	2	70,5	141	2
2	74-81	12	77,5	930	14
3	81-88	30	84,5	2535	44
4	88-95	40	91,5	3660	84
5	95-102	47	98,5	4629,5	131
6	102-109	32	105,5	3376	163
7	109-116	13	112,5	1462,5	176
8	116-123	6	119,5	717	182
Итого		182		17451

Условные обозначения в таблице: x_j - установленные интервалы; f_j - частота событий; x’_j - середина интервала; f’_j - накопленная частота.

На основании полученных данных построим таблицу 2.

Значения  и  находим по таблице значений функции Лапласа.

P_j определяется разностью  и , а f’_j = P_j * n.

Таблица 3.

Номер интервала	Границы интервала					Pj	f’j
1	2	3	4	5	6	7	8
1	67-74	-2,26	-1,70	-0,4881	-0,4554	0,0327	5,9514
2	74-81	-1,70	-1,16	-0,4554	-0,3770	0,0784	14,2688
3	81-88	-1,16	-0,61	-0,3770	-0,2291	0,1479	26,9178
4	88-95	-0,61	-0,06	-0,2291	-0,0279	0, 2012	38,0268
5	95-102	-0,07	0,47	-0,0279	0,1808	0, 2087	37,9834
6	102-109	0,47	1,02	0,1808	0,3461	0,1653	30,0846
7	109-116	1,02	1,57	0,3461	0,4418	0,0957	17,4174
8	116-123	1,57	2,12	0,4418	0,4830	0,0412	7,4984
Итого

Условные обозначения в таблице:

x^н_j - нижняя граница интервала;

x^в_j - верхняя граница интервала;

t^н_j и t^в_j - нормированные отклонения для нижней и верхней границ интервала;

 и  - значение интегральной функции Лапласа для t^н_j и t^в_j;

P_j - оценка вероятности попадания в интервал;

f’_j - частота теоретического распределения.

Итак, воспользуемся данными таблицы 1 и 2 для расчета критерия "хи-квадрат", предварительно округлив теоретические частоты в графе 8 табл.2, а также объединив частоты двух последних интервалов, выполняя требование f’_j ³ 5.

Таблица 4.

Номер интервала	Эмпирические частоты	Теоретические частоты
1	2	6	16	2,67
2	12	14	4	0,29
3	30	27	9	0,33
4	40	38	4	0,1
5	47	38	81	2,13
6	32	30	4	0,13
7	16	25	81	3,24
Итого	182	178		8,89

X²_расч = 8,89

Таким образом, проведенный расчет дает право не отвергать гипотезу о нормальном характере эмпирического распределения.

Произведем интервальную оценку выборочного среднего значения с доверительной вероятностью 0,98.

На основе имеющейся выборки получим точечную оценку математического ожидания в виде выборочной средней:

Среднеквадратичное отклонение составляет: . Уровень надежности . Определяем значение функции Лапласса:

По таблице значений функции  находим соответствующее значение z. В данном случае . Тогда .

Доверительный интервал] 95,6868 - 0,164, 95,6868 + 0,164 [=

=] 95,5228, 95,8508 [.

Следовательно, 95,5228 < M_x < 95,8508 с вероятностью 0,98.

Задание № 4.

По заданной выборке (x,y) найти коэффициент корреляции и уравнения линейной регрессии y=a+b*x, №=45

Таблица 5

x…... y		x…... y		x…... y		x…... y		x…... y		x…... y		x…... y		x…... y		x…... y		x…... y		x…... y
23	-115	18	-90	10	-48	19	-91	18	-84	9	-44	12	-55	24	-115	6	-26	22	-107	18	-84
18	-83	11	-54	15	-71	13	-64	8	-51	14	-64	22	-109	8	-38	14	-64	22	-106	9	-43
16	-74	17	-85	15	-71	13	-60	11	-37	24	-118	18	-87	6	-28	7	-31	22	-109	13	-64
8	-35	8	-35	12	-56	12	-54	14	-67	14	-68	21	-102	10	-46	16	-79	17	-80	18	-87
22	-105

Решение:

На основании исходных данных найдем суммы и средние значения x и y:

Вычислим параметр парной линейной корреляции:

Свободный член уравнение регрессии вычислим по формуле:

, откуда

Уравнение регрессии в целом имеет вид:

Коэффициент корреляции, рассчитанный на основе полученных данных: