Метод Рунге – Кутта

1.2 Метод Рунге – Кутта

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка y`=f(x,y) с начальным условием y(x0)=y0.

Выберем шаг h и введём обозначения:

xi=x0+i*h и yi=y(xi), где i=0,1,2,...,

xi- узлы сетки,

yi- значение интегральной функции в узлах.

Проведём решение в несколько этапов.

Обозначим точки: A(xi,yi), B(xi+1,yi+1), C, D, E.

Через точку А проведём прямую под углом α, где tg α = f(xi,yi).

На прямой (1) найдём точку С. Через точку С проведём прямую под углом α1, где

tg α1 = f(xi+h/4, yi+h/4*f(xi,yi).

Через точку А проведём прямую параллельную последней прямой.

Найдём точку D на прямой (2) и через неё проведём прямую под углом α2, где

tg α2 = f(xi+h/2, yi+h/2*f(xi,yi)).

Через точку А проведём прямую параллельную последней прямой.

По примеру, описанному выше, построим прямую, которая пересечётся с прямой x = xi+1. Эта точка и будет решением дифференциального уравнения при x = xi+1.

Согласно методу Рунге – Кутта четвёртого порядка, последовательные значения yi искомой функции y определяется по формуле:

y i+1=yi+Δy,

где

Δy=(k1+2*k2+2*k3+k4)/6, i=0,1,2,...

а числа k1(i),k2(i),k3(i),k4(i) на каждом шаге вычисляются по формулам:

k1=h*f(xi,yi)

k2 =h*f(xi+h/2,yi+k1/2)

k3=h*f(xi+h/2,yi+k2/2)

k4 =h*f(xi+h,yi+k3)

Это явный четырёхэтапный метод четвёртого порядка точности.

 

2. Блок-схемы

3. Виды, формы

 

3.1 Начальная форма

3.2 Конечная форма

4. Программа для решения дифференциального уравнения в Visual Basic

Dim y(9) As Single

Dim YE(9) As Single

Dim YR(9) As Single

Dim YT(9) As Single

Dim l(9) As Single

Private x0 As Single

Private Function fun(a As Single, b As Single) As Single

f = (b + 2) / (a + 1)

fun = f

End Function

Private Sub Command1_Click()

x0 = Val(Text1.Text)

xk = Val(Text2.Text)

y0 = Val(Text3.Text)

h = Val(Text4.Text)

N = (xk - x0) / h

MSFlexGrid1.Rows = N + 2

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 0) = "x"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 1) = "YE"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 2) = "YR"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 3) = "YT"

Min = y0

Max = y0

l(0) = x0

y(0) = y0

YE(0) = y0

YR(0) = y0

YT(0) = y0

For i = 0 To N

l(i + 1) = x0 + i * h

k1 = h * fun(l(i), YR(i))

k2 = h * fun(l(i) + h / 2, YR(i) + k1 / 2)

k3 = h * fun(l(i) + h / 2, YR(i) + k2 / 2)

k4 = h * fun(l(i) + h, YR(i) + k3)

k = (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6

YR(i + 1) = YR(i) + k

YE(i + 1) = YE(i) + h * fun(l(i), YE(i))

YT(i) = (l(i + 1) + 1) * 2 - 2

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 0) = l(i + 1)

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 1) = YE(i)

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 2) = YR(i)

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 3) = YT(i)

If YE(i) > Max Then max1 = YE(i)

If YE(i) < Min Then min1 = YE(i)

If YR(i) > Max Then Max2 = YR(i)

If YR(i) < Min Then Min2 = YR(i)

If YT(i) > Max Then Max3 = YT(i)

If YT(i) < Min Then Min3 = YT(i)

Next i

For i = 0 To N - 1

px = (5415 / (xk - x0))

py = (6705 / (max1 - min1))

u1 = (l(i) - x0) * px + 600

u2 = 7440 - (YE(i) - min1) * py

u3 = (l(i + 1) - x0) * px + 600

u4 = 7440 - (YE(i + 1) - min1) * py

Picture1.Line (u1, u2)-(u3, u4)

u5 = (l(i) - x0) * px + 600

u6 = 7440 - (YR(i) - min1) * py

u7 = (l(i + 1) - x0) * px + 600

u8 = 7440 - (YR(i + 1) - min1) * py

Picture1.Line (u5, u6)-(u7, u8)

u9 = (l(i) - x0) * px + 600

u10 = 7440 - (YT(i) - min1) * py

u11 = (l(i + 1) - x0) * px + 600

u12 = 7440 - (YT(i + 1) - min1) * py

Picture1.Line (u9, u10)-(u11, u12)

Next i

End Sub

Заключение

В данной курсовой рассматривались два метода решения ОДУ с начальными условиями, то есть задачи Коши: метод Эйлера и метод Рунге – Кутта четвёртого порядка.

Данные полученные этими методами идентичны друг другу, но с точки зрения простоты использования метод Эйлера гораздо проще в описании, чем метод Рунге – Кутта четвертого порядка.

Если посмотреть на графики и значения в точках, то можно убедится в том что методы почти точно определяют значения в у, и графики почти совпадают, имея небольшой угол отклонения.