Дифференциальная геометрия торсов в пространстве 1R4 с псевдоевклидовой касательной плоскостью

Учреждение образования

«Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина»

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Дипломная работа

Дифференциальная геометрия торсов в пространстве 1R4 с псевдоевклидовой касательной плоскостью

Брест 2010

Содержание

Введение

§1. Пространство Минковского

§2. Кривые в пространстве 1R4

§3. Понятие о линейчатых и развертывающихся поверхностях

§4. Торсы в пространстве 1R4

§5. Линии на торсах пространства Минковского

§6. Асимптотические линии на торсе пространства Минковского

Заключение

Список использованных источников

 

Введение

В работе исследуется геометрия поверхностей четырехмерного псевдоевклидова пространства индекса один, т.е. пространства Минковского.

Изучение дифференциальной геометрии в пространстве Минковского является актуальной задачей, поскольку пространство Минковского является пространством специальной теории относительности, и все результаты по дифференциальной геометрии этого пространства получают физическое истолкование. Каждое событие характеризуется тремя пространственными координатами и моментом времени t. Если уравнения физической теории (релятивистской механики, релятивистской гидродинамики, электродинамики и др.) записаны в виде соотношений, связывающих векторы и тензоры, заданные в пространстве Минковского, то их вид будет одинаковым во всех инерциальных системах отсчета. Тем самым основной принцип специальной теории относительности будет выполняться автоматически.

Интервал (расстояние между точками) в пространстве Минковского играет роль, аналогичную роли расстояния в геометрии евклидовых пространств. Он инвариантен при замен е одной инерциальной системы отсчета на другую, так же, как расстояние инвариантно при поворотах, отражениях и сдвигах начала координат в евклидовом пространстве.

Данная работа состоит из шести параграфов.

В первом параграфе происходит знакомство с пространством Минковского, дается определение этого пространства, его основные особенности, перечисляются типы прямых и плоскостей.

Во втором параграфе исследуются кривые пространства 1R4, вводится понятие соприкасающегося флага. Для кривых с заданным соприкасающимся флагом строится канонический репер и выводятся деривационные формулы.

Третий параграф посвящен изучению развертывающихся и линейчатых поверхностей. Изучение основных понятий этого параграфа поможет перейти к рассмотрению торсов.

В четвертом параграфе рассматриваются торсы с псевдоевклидовой касательной плоскостью и соприкасающимся флагом вида {M, R1, 1R2, 1R3}. Для таких торсов строится канонический репер кривой пространства 1R4 и выводятся деривационные формулы.

В последующих двух параграфах исследуются линии на торсах указанного типа с помощью построенного канонического репера. Дается понятие геодезических линий, решается вопрос о существовании (1,2)-,(2,2)-,(1,3)-,(2,3)- геодезических линий на торсе с псевдоевклидовой касательной плоскостью. Вводится понятие нормальной кривизны кривой, вектора кривизны, определяются асимптотические линии.

 

§1. Пространство Минковского

 

Пространством Минковского называется четырехмерное псевдоевклидово пространство индекса 1.

Герман Минковский предложил данное пространство в 1908 году в качестве геометрической интерпретации пространства-времени специальной теории относительности.

Интервал в пространстве Минковского играет роль, аналогичную роли расстояния в геометрии евклидовых пространств. Он инвариантен при замене одной инерциальной системы отсчета на другую, так же, как расстояние инвариантно при поворотах, отражениях и сдвигах начала координат в евклидовом пространстве.

После евклидовых пространств индекса k=0, т.е. собственно евклидовых, наибольший интерес представляют евклидовы простран­ства индекса k=1 (они, конечно, принадлежат к псевдоевклидовым пространствам). Евкли­дово пространство индекса 1 представляет интерес с точки зрения теории дифференциальных уравнений (волновое уравнение с п аргу­ментами) и особенно с точки зрения теории относительности. В по­следнем случае играет роль именно четырехмерное евклидово пространство индекса 1.

Данное пространство может быть получено на базе четырехмерного аффинного пространства А, с помощью введения скалярного умножения векторов.

Пусть некоторый репер аффинного пространства А4, где , .

Введем скалярное умножение по формуле:

. (1)

Пространство A4, для векторов которого введено скалярное умножение по формуле (1) называется четырехмерным псевдоевклидовым пространством индекса 1 или пространством Минковского. Обозначается 1R4.

Скалярный квадрат вектора определяется по формуле:

. (2)

При этом вектора репера будут иметь следующие скалярные квадраты:

(3)

 

Определение 1.1. Длиной вектора в пространстве Минковского будем называть число:

Определение 1.2. Векторы   пространства Минковского называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Таким образом, в пространстве 1R4 будут существовать векторы трех типов.

1.                Векторы действительной длины при .

Например,  (2,1,1,2).

2.                Векторы мнимой длины при .

Например,  (3,1,1,1).

3.                Ненулевые векторы нулевой длины при .

Например,  (6,2,4,4).

Такие векторы называются изотропными. Они лежат на изотропном конусе.

x1

x2

Рис. 1.1. Изотропный конус

Уравнение конуса будет иметь вид

 

-(x₀)²+(x₁)²+(x₂)²+(x₃)²=0

Такой конус также называют световым.

Расстояние ρ(М,N) между точками М(x1,x2,x3,x4) и N(у1,у2,у3,у4) в пространстве 1R4 определяется как длина вектора  (у1- x1, у2- x2, у3- x3, у4- x4) и равна

ρ(М,N)= (5)

В пространстве 1R4 существует три типа прямых.

1. Прямые действительной длины (R1), направляющий вектор которых является вектором действительной длины. Например, е = [].

2. Прямые мнимой длины (1R1), направляющий вектор которых является вектором мнимой длины. Например, е = [].

3. Изотропные прямые (), направляющий вектор которых является изотропным вектором. Например, e = [0, +].

В пространстве 1R4 существует три типа двумерных плоскостей.