Построение адаптивной модели Брауна. Модель Брауна строится в несколько этапов

3. Построение адаптивной модели Брауна. Модель Брауна строится в несколько этапов.

1) По первым пяти точкам временного ряда методом наименьших квадратов оцениваем параметры а₀ и а₁ линейной модели

.

Получаем начальные значения параметров модели Брауна  и , которые соответствуют моменту времени t=0 (определены с помощью функций EXCEL «ОТРЕЗОК» и «НАКЛОН» соответственно.

2) Находим прогноз на первый шаг (t=1):

.

3) Определяем величину отклонения расчетного значения от фактического:

.

4) Скорректируем параметры модели для параметра сглаживания =0,4 по формулам:

;

,

где  - коэффициент дисконтирования данных, отражающий степень доверия к более поздним наблюдениям; - параметр сглаживания (=);  - отклонение (остаточная компонента).

По условию =0,4, следовательно значение b равно:

.

Получим:

;

,

5) По модели со скорректированными параметрами a_0(t) и a_1(t) находим прогноз на следующий момент времени:

.

Для t=2:

.

6) Возвращаемся к пункту 3 и повторяем вычисления до конца временного ряда.

7) Вычислим среднюю относительную ошибку для данного параметра сглаживания:

8) Корректировка параметров модели для =0,7 и =0,3:

;

9) Средняя относительная ошибка для данного параметра:

Таким образом, судя по средней относительной ошибке при =0,4 и =0,7, в первом случае =4,1%, а во втором случае =5,0%. Следовательно, =0,4 – лучшее значение параметра сглаживания, т.к. средняя относительная ошибка меньше.

4. Оценим адекватность линейной модели. Рассчитанные по модели значения спроса , остатки  и их график были получены в EXCEL одновременно с построением модели (см. «ВЫВОД ОСТАТКА» в прил. 4).

Случайность остаточной компоненты проверим по критерию поворотных точек. В нашем случае общее число поворотных точек в ряду остатков составляет p=4.

Критическое число поворотных точек для a=0,05 и n=9 определяется по формуле

Так как , остатки признаются случайными.

Проверим независимость остатков с помощью критерия Дарбина–Уотсона (отсутствие автокорреляции). Для расчета d‑статистики используется выражение, составленное из встроенных функций EXCEL:

d‑статистика имеет значение (см. прил. 4):

;

;

Критические значения d‑статистики для a=0,05 и n=9 составляют: d₁=0,82; d₂=1,32. Так как выполняется условие

,

то нет достаточных оснований сделать тот или иной вывод о выполнении свойства независимости. Проверим независимость остатков по коэффициенту автокорреляции первого порядка, который равен (см. прил. 4):

.

Для расчета коэффициента автокорреляции использовалось выражение, составленное из встроенных функций EXCEL:

Критическое значение коэффициента автокорреляции для a=0,05 и n=9 составляет 0,666. Так как коэффициент автокорреляции не превышает по абсолютной величине критическое значение, то это указывает на отсутствие автокорреляции в ряде динамики. Следовательно, модель по этому критерию адекватна.

Проверим равенство нулю математического ожидания уровней ряда остатков. Среднее значение остатков равно нулю:  (определено с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ»; см. прил. 4). Поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.

Нормальный закон распределения остатков проверяем с помощью R/S-критерия, определяемого по формуле

,

где e_max; e_min - наибольший и наименьший остатки соответственно (определялись с помощью встроенных функций «МАКС» и «МИН»);  - стандартное отклонение ряда остатков (определено с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН»; см. прил. 4).

Критические границы R/S-критерия для a=0,05 и n=9 имеют значения: (R/S)₁=2,7 и (R/S)₂=3,7. Так как R/S-критерий попадает в интервал между критическими границами, то ряд остатков признается соответствующим нормальному закону распределения вероятностей. Модель по этому критерию адекватна.

Таким образом, выполняются все пункты проверки адекватности модели: модель признается адекватной исследуемому процессу.

Оценим адекватность построенной модели Брауна:  с параметром сглаживания  (см. таблица 2):

Таблица 2 - Анализ ряда остатков модели Брауна

Проверяемое свойство	Используемые статистики		Граница		Вывод
	наименование	значение	нижняя	верхняя
Независимость	d–критерий Дарбина-Уотсона r(1)-коэффициент автокорреляции	d=2,79 -0,44	0,82	1,32 0,666	Нельзя сделать вывод по этому критерию r(1)<0,666 адекватна
Случайность	Критерий пиков (поворотных точек)	6>2	2		адекватна
Нормальность	RS-критерий	R/S=	2,7	3,7	неадекватна
Мат.ожидание≈0	t-статистика Стьюдента			2,306	адекватна
Вывод: модель статистически неадекватна