Экономико-математические методы и прикладные модели

Министерство образования РФ

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

Факультет учетно-статистический

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

по дисциплине «Экономико-математические методы и прикладные модели»

Вариант № 5

Исполнитель:

Специальность: БУАиА

Группа:

№ зачетной книжки:

Преподаватель: Орлова И.В.

Москва 2007

Задача 1

 

Решить графическим методом типовую задачу оптимизации

Продукция двух видов (краска для внутренних (I) и наружных (E) работ) поступает в оптовую продажу. Для производства красок используется два исходных продукта – А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 8 тонн соответственно. Расходы продуктов А и В на 1 т соответствующих красок приведены в таблице.

Исходный продукт	Расход исходных продуктов на тонну краски, т		Максимально возможный запас, т
	Краска Е	Краска I
А	1	2	6
В	2	1	8

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску Е более чем на 1т. Кроме того, установлено, что спрос на краску I не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны 3000 ден.ед. для краски Е и 2000 ден.ед. для краски I. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

 

Решение

Введем следующие переменные:

Х₁ – количество краски Е (т);

Х₂ – количество краски I (т).

 Цена краски Е составляет 3000(ден. ед.), а цена краски I –2000 (ден. ед.). Необходимо максимизировать целевую функцию:

Введены следующие ограничения:

Х₁+2Х₂≤6;

2Х₁+Х₂≤8;

Х₂≤2;

Х₂-Х₁≤1.

Первое ограничение по продукту А Х₁+2Х₂≤6. Прямая Х₁+2Х₂=6 проходит через точки (0;3) и (6;0).

Второе ограничение по продукту В 2Х₁+Х₂≤8. Прямая 2Х₁+Х₂=8 проходит через точки (0;8) и (4;0).

Третье ограничение Х₂≤2. Прямая Х₂=2 проходит параллельно оси Х₁ через точку Х₂=2.

Четвертое ограничение Х₂-Х₁≤1. Прямая Х₂-Х₁=1 проходит через точки (0;1) и (-1;0).

 Решением каждого неравенства системы ограничений ЗЛП является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее. Пересечение полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы, называется областью допустимых решений.

Решением неравенств будет являться полуплоскость, лежащая ниже пересекающихся прямых Х₁+2Х₂₌6, 2Х₁+Х₂₌8, Х₂₌2, Х₂-Х₁₌1.

При максимизации функции линия уровня перемещается по направлению вектору – градиенту.

После решения системы уравнений

Х₁+2Х₂₌6

2Х₁+Х₂₌8

Находим, что Х₁=3,33, Х₂ = 1,33

(ден. ед.)

Ответ:

Прибыль фирмы будет максимальной, т.е. 12650 ден. ед., если ежедневно будет производиться 3,33 т краски Е и 1,33 т краски I.

При решении задачи на минимум – решений не будет.

Задача 2

 

Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования

На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.

Вид ресурсов	Нормы расхода ресурсов на ед. продукции			Запасы ресурсов
	I вид	II вид	III вид
Труд	1	4	3	200
Сырье	1	1	2	80
Оборудование	1	1	2	140
Цена изделия	40	60	80

Требуется:

1.  Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2.  Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3.  Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4.  На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

·  проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

·  определить, как изменяется выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья на 18 единиц;

·  оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов.

Решение

1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

Х₁- норма расхода ресурса первого вида

Х₂ - норма расхода ресурса второго вида

Х₃ - норма расхода ресурса третьего вида.

Целевая функция имеет вид

, где

Ограничения:

1)  по труду

2) по сырью

3) по оборудованию

Оптимальный план найдем через Поиск решений в надстройках Excel (рис. 2.1) и (рис. 2.2).

Рис. 2.1

Рис. 2.2

Полученное решение означает, что максимальную выручку от реализации готовой продукции (4000 ед.) предприятие может получить при выпуске 40 единиц изделия 1 вида и 40 единиц изделия 2 вида. При этом ресурс «труд» и «сырье» будут использованы полностью, из 140 единиц оборудования будет использовано только 80 единиц.

Excel позволяет представить результаты поиска решения в форме отчета рис. 2.3

Microsoft Excel 10.0 Отчет по результатам
Рабочий лист: [Контр.раб 2.5.xls]кр 2.5
Отчет создан: 06.12.2007 18:42:36
Целевая ячейка (Максимум)
	Ячейка	Имя	Исходное значение	Результат
	$D$3		4000	4000
Изменяемые ячейки
	Ячейка	Имя	Исходное значение	Результат
	$A$2	х1	40	40
	$B$2	х2	40	40
	$C$2	х3	0	0
Ограничения
	Ячейка	Имя	Значение	Формула	Статус	Разница
	$D$4		200	$D$4<=$E$4	связанное	0
	$D$5		80	$D$5<=$E$5	связанное	0
	$D$6		80	$D$6<=$E$6	не связан.	60
						Рис.2.3

В отчете по результатам содержатся оптимальные значения переменных , которые соответственно равны 40; 40; 0; значение целевой функции – 4000, а также недоиспользованный ресурс «оборудование» в размере 60 единиц.

Оптимальный план  

2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

Число неизвестных в двойственной задаче равно числу функциональных ограничений в исходной задаче. Исходная задача содержит 3 ограничения: труд, сырье и оборудование. Следовательно, в двойственной задаче 3 неизвестных:

двойственная оценка ресурса труд

 двойственная оценка ресурса сырья

 двойственная оценка ресурса оборудования

Целевая функция двойственной задачи формулируется на минимум. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены в системе ограничений исходной задачи:

Необходимо найти такие «цены» на типы сырья,чтобы общая стоимость используемых типов сырья была минимальной.

Ограничения. Число ограничений в системе двойственной задачи равно числу переменных в исходной задаче. В исходной задаче 3 переменных, следовательно, в двойственной задаче 3 ограничения. В правых частях ограничений двойственной задачи стоят коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи. Левая часть определяет стоимость типа сырья, затраченного на производство единицы продукции.

Каждое ограничение соответствует определенной норме расхода сырья на единицу продукции:

Найдем оптимальный план двойственной задачи, используя теоремы двойственности.

Воспользуемся первым соотношением второй теоремы двойственности

тогда

Подставим оптимальные значения вектора в полученные выражения

И получим

 ,

,

, так как 80 < 140, то

В задаче и , поэтому первое и второе ограничения двойственной задачи обращаются в равенства

Решая систему уравнений получим, y₁ = 6,67, y₂ = 33,33, y₃ = 0.

Проверяем выполнение первой теоремы двойственности

Это означает, что оптимальный план двойственной задачи определен, верно.

Решение двойственной задачи можно найти, выбрав команду Поиск решений – Отчет по устойчивости (рис.2.4).

Microsoft Excel 10.0 Отчет по устойчивости
Рабочий лист: [Контр.раб 2.5.xls]кр 2.5
Отчет создан: 06.12.2007 19:04:27
Изменяемые ячейки
			Результ.	Нормир.	Целевой	Допустимое	Допустимое
	Ячейка	Имя	значение	стоимость	Коэффициент	Увеличение	Уменьшение
	$A$2	х1	40	0	40	20	4.000000003
	$B$2	х2	40	0	60	100	20
	$C$2	х3	0	-6.666666672	80	6.666666672	1E+30
Ограничения
			Результ.	Теневая	Ограничение	Допустимое	Допустимое
	Ячейка	Имя	значение	Цена	Правая часть	Увеличение	Уменьшение
	$D$4		200	6.666666667	200	120	120
	$D$5		80	33.33333333	80	60	30
	$D$6		80	0	140	1E+30	60

Рис 2.4

3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

Подставим в ограничения двойственной задачи оптимальные значения вектора :

Затраты на 3 изделия превышают цену (). Это же видно и в отчете по устойчивости (рис. 2.4) значения  (нормир. стоимость) равно -6.67. Т.е. стоимость нормы расходов на единицу изделия больше чем цена изделия. Эти изделия не войдут в оптимальный план из-за их убыточности.

4)  На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

-  проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

-  определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья на 18 единиц;

-  оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов.

Проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

Запасы сырья по первому и второму виду были использованы полностью, а по третьему виду – оборудование - было недоиспользовано 60.

Определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья на 18 единиц

Из теоремы об оценках известно, что колебание величины приводит к увеличению или уменьшению . Оно определяется:

Из расчетов видно, если мы увеличим запасы сырья на 18 единицы, то выручка возрастет на 600 единиц, т. е общая выручка составит после изменения запасов 4600 единиц.

При этом структура плана не изменилась – изделия, которые были убыточны, не вошли и в новый план выпуска, так как цены на них не изменились.

Решим систему уравнений:

И получим

Новый оптимальный план

Изменение общей стоимости продукции на 600 ед. получено за счет увеличения плана выпуска 1 вида продукции на 24 ед по цене 40 ед (40*(64-40)=960 ед.) и уменьшения на 6 ед. плана выпуска продукции 2 вида по цене 60 (60*(34-40)=-360 ед.)

Оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов.

Для оценки целесообразности включения в план изделия четвертого вида воспользуемся вторым свойством двойственной оценки.

, подставим , ,

 т.к. 80>70, то включение в план изделия четвертого вида невыгодно.

 

Задача 3

 

Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева, построить баланс производства и распределения продукции предприятий.

Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида; второе предприятие – продукции второго вида; третье предприятие – продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутренне потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки a_ij (i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов y_i  вектора конечной продукции Y.

Требуется:

1.  Проверить продуктивность технологической матрицы А=( a_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).