Продуктивные модели Леонтьева

2.2 Продуктивные модели Леонтьева

Определение. Матрица А ≥ 0 называется продуктивной, если для любого вектора у ≥ 0 существует решение х ≥ 0 уравнения

х = Ах + у (2.4)

В этом случае модель Леонтьева, определяемая матрицей А, тоже называется продуктивной. Другими словами, модель продуктивна, если любое конечное потребление у можно обеспечить при подходящем валовом выпуске х.

Уравнение Леонтьева (2.4) можно записать следующим образом:

(Е – А)х = у, (2.5)

где Е – единичная матрица. Возникает, естественно, вопрос об обращении матрицы Е – А. Понятно, что если обратная матрица (Е – А)^-1 существует, то из (2.5) вытекает

х = (Е – А)^-1 у. (2.6)

Теорема 1 (первый критерий продуктивности).

Матрица А ≥ 0 продуктивна только тогда, когда матрица (Е – А)^-1 существует и неотрицательна.

Доказательство.

Если матрица (Е – А)^-1 существует и неотрицательна, то из (2.6) сразу же следует продуктивность матрицы А.

Обратно, пусть матрица А продуктивна. Рассмотрим следующие системы уравнений:

(Е – А)х = е₁, (Е – А)х = е₂, …, (Е – А)х = е_n ,

Где е₁, е₂, …, е_n – столбцы единичной матрицы. Каждая из этих систем в силу продуктивности матрицы А имеет неотрицательное решение, т.е. существуют такие векторы (столбцы) с₁ ≥ 0, с₂ ≥ 0, …, с_n ≥ 0, что

(Е – А)с₁ = е₁, (Е – А)с₂ = е₂, …, (Е – А)с_n = е_n (2.7)

Обозначим через С матрицу, составленную из столбцов с₁ с ₂, …, с _n. Тогда вместо n равенств (2.7) можно написать одно:

(Е – А)С = Е.

Следовательно, матрица Е-А имеет обратную С, причем С ≥ 0.

Теорема доказана.

Теорема 2 (второй критерий продуктивности).

Неотрицательная квадратная матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда её число Фробениуса меньше единицы.

Доказательство.

Пусть неотрицательная матрица А продуктивна. Тогда для любого неотрицательного вектора у существует решение х ≥ 0 уравнения (2.4) Пусть у > 0, тогда, очевидно, х > 0. Умножив равенство (2.4) слева на левый вектор Фробениуса р^Т_А и учитывая, что

р^Т_АА = λ_Ар^Т_А, (2.8)

получим

λ _А (р^Т_А х) + р^Т_А у = р^Т_А х,

или

(1 – λ_А)(р^Т_А х) = р^Т_А у.

Так как р^Т_А ≥ 0 и у ≥ 0, х ≥ 0, то р^Т_Ау > 0, р^Т_Ах > 0. Поэтому из последнего равенства вытекает, что λ_А < 1.

Обратно, пусть неотрицательная матрица А имеет число Фробениуса λ_А < 1. Покажем, что она продуктивна. Возьмем неотрицательный вектор у и покажем, что у системы (2.4) существует решение х ≥ 0.

Рассмотрим следующую неотрицательную матрицу размера (n + 1)(n+ 1):

а₁₁ а₁₂ … а_1n у₁

а₂₁ а₂₂ … а_2n у₂

А = …………….

а_n1 а_n2 … а_nn у_n

0 0 … 0 1

Где а_ij – элементы матрицы А и у₁, …, у_n – координаты вектора у. В более компактной форме матрицу можно записать так:

А = А у

0 1

Умножая эту матрицу слева на вектор р^Т = (0, …, 0,1), легко убедиться, что

р^ТА = р^Т.

Следовательно, одним из собственных значений матрицы А является вектор λ = 1.

Пусть вектор Х = (х₁ , …, х_n , х_n+1 ) = (х , х_n+1) является собственным вектором матрицы А, т.е. АХ = λХ. В силу определения матрицы А эторавносильно тому, что

А у х = λ х

0 1 х_n+1 х_n+1

или

Ах + у х_n+1 = λх,

х_n+1 = λ х_n+1. (2.9)

Если λ ≠ 1, то из второго соотношения системы (2.9) следует, что х_n+1 = 0, в силу чего первое уравнение имеет вид Ах = λх. Следовательно, λ – собственное значение матрицы А и, по нашему предположению ‌‌‌|λ| < 1. Таким образом, λ_А = 1 является положительным и максимальным по модулю собственным значением, следовательно является числом Фробениуса. По теореме Фробениуса-Перрона у матрицы А существует неотрицательный собственный вектор х_А = ( х_А , х_n+1), соответствующий λ_А =1. Очевидно, что х_n+1 ≠ 0, так как в противном случае из (2.9) следовало бы, что Ах = х. А это противоречит тому, что число Фробениуса λ_А < 1. Поэтому мы можем считать, что х_n+1 = 1. В силу того, что х_n+1 = 1, равенство (2.9) принимает вид

Ах_А + у = х_А.

Поскольку х_А = (х_А, х_n+1) ≥ 0, то х_А ≥ 0.

Следовательно, матрица А продуктивна.

Следствие.

Если для неотрицательной матрицы А и некоторыого положительного вектора у уравнение (2.4) имеет неотрицательное решение х, то матрица А продуктивна.

Доказательство.

Как было уже показано, из существования положительного решения у уравнения (2.4) следует, что λ_А < 1. На основании теоремы Фробениуса матрица А продуктивна.

Теорема 3 (третий критерий продуктивности).

Неотрицательная матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда сходится бесконечный ряд

Е + А + А² + … (2.10)

Доказательство.

Пусть сходится ряд (2.10). Согласно лемме его сема равна (Е – А)^-1. При этом сумма указанного ряда будет неотрицательна, поскольку все слагаемые ряда неотрицательны. Итак, матрица (Е – А)^-1 существует и неотрицательна. Отсюда по теореме 1.3 следует продуктивность А.

Обратное утверждение (если А продуктивна, то ряд (2.10) сходится) доказывать не будем.