Вектор полных затрат

3. Вектор полных затрат

Пусть А ≥ 0. Равенство

(Е – А)^-1 = Е + А + А² + … (3.11)

справедливо, как мы уже знаем, в том случае, когда матрица А продуктивна, имеет экономический смысл.

х = у + Ау + А²у + … (3.12)

В чем смысл распадения вектора х на слагаемые у, Ау, А²у и т.д.? Для получения валового выпуска, обеспечивающего конечное потребление у, нужно прежде всего произвести набор товаров, описываемый вектором у. Но этого мало – ведь для получения у нужно затратить ( а значит, сначала произвести) продукцию, описываемую вектором Ау. Но и этого мало – для получения Ау нужно осуществить дополнительные затраты, описываемые вектором А(Ау) = А²у, и т.д. В итоге приходим к заключению, что весь валовой выпуск х должен составляться из слагаемых у, Ау, А²у и т.д., что и зафиксировано в формуле (3.12). В соответствии с этим рассуждением сумму у + Ау + А²у + … называют вектором полных затрат, а сделанное выше заключение формулируют так: вектор валового выпуска х совпадает с вектором полных затрат.

Чтобы сделать заключение более конкретным, рассмотрим такой пример. Пусть речь идет о блоке из трех промышленных отраслей:

1)   металлургия;

2)   электроэнергетика;

3)   угледобыча.

Для получения конечного выпуска у = (у₁ , у₂ , у₃)^Т необходимо прежде всего произвести:

у₁ т металла; у₂ кВт.ч электроэнергии; у₃ т угля.

Но для производства у₁ т металла, в свою очередь, необходимо затратить (а значит, сначала произвести) какие-то количества металла, электроэнергии и угля. То же самое мправедливо и в отношении производства у₂ кВт.ч. электроэнергии и у₃ т угля

В свою очередь, для производства у₁₁ т металла необходимо затратить какие-то количества металла, электричества и угля, и т.д. Искомый валовой выпуск х представляет собой сумму затрат 0-го порядка (вектор у), 1-го порядка (вектор Ау), 2-го порядка (А²у) и т.д.

4. Модель равновесных цен

Рассмотрим теперь балансовую модель, двойственную к модели Леонтьева – так называемую модель равновесных цен. Пусть, как и прежде, А – матрица прямых затрат, х = (х₁ , х₂, …, х_n)^Т – вектор валового выпуска. Обозначим через р = (р₁ , р₂ , …, р_n)^Т вектор цен, i координата которого равна цене единицы продукции i-й отрасли; тогда, например, первая отрасль получит доход, равный р₁ х₁. Часть своего дохода эта отрасль потратит на закупку продукции у других отраслей. Так, для выпуска единицы продукции, ей необходима продукция первой отрасли в объеме а₁₁, второй отрасли в объеме а₂₁, и т.д., n-й отрасли в объеме а_n1. На покупку этой продукции ею будет затрачена сумма, равная а₁₁ р₁ + а₂₁ р₂ + … + а_n1 р_n. Следовательно, для выпуска продукции в объеме х₁ первой отрасли необходимо потратить на закупку продукции других отраслей сумму, равную х₁(а₁₁р₁+а₂₁р₂+…+ а_n1р_n). Оставшуюся часть дохода, называемую добавленной стоимостью, мы обозначим через V₁ (эта часть дохода идет на выплату зарплаты и налогов, предпринимательскую прибыль и инвестиции).

Таким образом, имеет место следующее равенство:

х₁р₁ = х₁(а₁₁р₁+а₂₁р₂+…+ а_n1р_n) + V₁.

Разделив это равенство на х₁ получаем:

р₁ = а₁₁ р₁ + а₂₁ р₂ + … + а_n1 р_n + v₁,

где v₁ = V₁/х₁ – норма добавленной стоимости (величина добавленной стоимости на единицу выпускаемой продукции). Подобным же образом получаем для остальных отраслей

р₂ = а₁₂ р₁ + а₂₂ р₂ + … + а_n2 р_n + v₂,

р_n = а_1n р₁ + а_2n р₂ + … + а_nn р_n + v_n.

Найденные равенства могут быть записаны в матричной форме следующим образом:

р = А^Тр + v,

где v = (v₁, v₂, …, v_n)^Т – вектор норм добавленной стоимости. Как мы видим, полученные уравнения очень похожи на уравнения модели Леонтьева, с той лишь разницей, что х заменен на р, у – на v, А – на А^Т.

Вывод

Модель равновесных цен позволяет, зная величины норм добавленной стоимости, прогнозировать цены на продукцию отраслей. Она также позволяет прогнозировать изменение цен и инфляцию, являющиеся следствием изменения цены одной из отраслей.

Балансовый метод – это метод взаимного сопоставления ресурсов (материальных, трудовых, финансовых) и потребностей в них. Среди множества разновидностей балансового метода наиболее распространен межотраслевой баланс, увязывающий источники и направления использования ресурсов. Как правило, при применении балансового метода производятся вариантные расчеты с помощью вычислительной техники

Межотраслевой баланс представляет собой экономико-математическую модель народного хозяйства, что позволяет проводить многовариантные расчеты структуры общественного производства по заданному объему и структуре конечного продукта. Это имеет важное значение на предварительной стадии составления плана для осуществления вариантов расчетов пропорций, темпов и отраслевой структуры экономики, а также на последующих стадиях планирования для повышения уровня сбалансированности отраслей и анализа межотраслевых связей. Таким образом, разработка межотраслевого баланса является одной из предпосылок развития методологии оптимального планирования.

Данные полученные по модели межотраслевого баланса, дают возможность судить о тенденциях развития технического прогресса, о насыщении экономики производственными фондами, капитальными вложениями, трудовыми ресурсами и т.д. Такой анализ возможен на основе сопоставления матриц прямой и полной фондо-, капитало-, трудоемкости и др.

Межотраслевой баланс, разработанный в трудовых единицах, дает информацию, необходимую для построения рациональной системы цен.

Итак, балансовый метод заключает в себе использование балансов для взаимного сопоставления ресурсов (материальных, трудовых, финансовых) и потребностей в них.

Задача 1

Компания производит продукцию двух видов А и В. Обе требуют работы двух цехов сборочного и отделочного. Сведения о производстве:

Цех	Продукция		Вместе необходимо рабочих часов
	А	В
Сборочный	3	5	15
Отделочный	5	2	10
Валовая прибыль на единицу	5	32

Компания заинтересована в наибольшей прибыльности этих комбинаций продукции. Найти сколько надо производить продукции А и В, чтобы валовая прибыль была максимальная.

Решение

Введем переменные:

х₁ – количество продукции вида А;

х₂ – количество продукции вида В.

Строим математическую модель:

F_мах = 5х₁ + 32х₂ при условиях:

3х₁ + 5х₂ ≤ 15;

5х₁ + 2х₂ ≤ 10.

х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0, т.к. продукция выпускаемая не может быть отрицательной.

Задачу можно решить графическим методом и можно решить или проверить симплекс-методом.

Для решения графическим методом запишем граничные прямые:

1) 3х₁ + 5х₂ = 15;

2) 5х₁ + 2х₂ = 10.

Строим граничные прямые на плоскости, но для этого найдем точки для построения прямых:

1)   х₂ = 0; х₁ = 5; х₁ = 0; х₂ = 3;

2)   х₂ = 0; х₁ = 2; х₁ = 0; х₂ = 5.

ОДЗ – многоугольник ОАВСD.

Для определения ОДЗ (области допустимых значений) необходимо найти направление полуплоскостей.

Для испытания берем точку О(0;0) и подставляем её координаты в неравенство (1) и (2), если неравенство удовлетворяется, то полуплоскость направлена к точке (0;0). При наложении полуплоскостей друг на друга получим ОДЗ.

Строим вектор целевой функции С, перпендикулярно к нему проводим линию уровня (пунктирная линия). Перемещаем линию уровня по ОДЗ в направлении вектора целевой функции С и самая дальняя точка от начала координат – это точка А(0;3) в ней х_опт.

Подставим координаты (0;3) в целевую функцию и получим её максимальное значение

F_mах = 5*0 + 3*32 = 96 ед. стоимости в точке А(0;3).

Для получения прибыли равной 96 ед.ст. необходимо включить в план продукцию типа В.

Задача 2

Фирма дополнительно освоила выпуск продукции четырех видов В₁, В₂, В₃, В₄. Для выпуска это продукции необходимо сырьё четырех видов А₁, А₂, А₃, А₄, которое фирма может ежемесячно покупать в ограниченном количестве. Количество сырья каждого вида, которое необходимо для производства каждого вида ассортимента продукции, а также ежемесячное поступление каждого вида сырья приведены в таблице.

Виды сырья	Ежемесячное поступление сырья	Затраты сырья на единицу каждого изделия
		В1	В2	В3	В4
А1	1290	2	4	6	8
А2	990	2	2	0	6
А3	620	0	1	1	2
А4	300	1	0	1	0
Прибыль от реализации единицы изделия		8	10	12	18

Построить математическую модель и определить, какой ассортимент продукции и в каком количестве должна производить фирма, чтобы прибыль от реализации была максимальной.

Решение

Введем переменные:

х₁ – количество продукции типа В₁;

х₂ – количество продукции типа В₂;

х₃ – количество продукции типа В₃;

х₄ – количество продукции типа В₄.

Строим математическую модель задачи:

F_mах = 8х₁ + 10х₂ + 12х₃ + 18х₄

при условиях:

2х₁ + 4х₂ +6х₃ + 8х₄ ≤ 2110;

2х₁ + 2х₂ + 0*х₃ + 6х₄ ≤ 1810;

0*х₁ + х₂ + х₃ + 2х₄ ≤ 1440;

х₁ + 0*х₂ + х₃ + 0*х₄ ≤ 1120.

х_j ≥ 0; j = 1,4.

Приводим систему ограничений к каноническому виду:

2х₁ + 4х₂ +6х₃ + 8х₄ + х₅ = 2110;

2х₁ + 2х₂ + 6х₄ + х₆ = 1810;

х₂ + х₃ + 2х₄ + х₇ = 1440;

х₁ + х₃ + х₈ = 1120.

х_j ≥ 0; j = 1,8.

Приводим систему ограничений к виду удобному для решения. Для этого проверим наличие единичного базиса в системах ограничений и так как он есть, то решаем задачу прямым симплекс-методом.

№ оп.пл.	Базис	С	bi	8	10	12	18	0	0	0	0
				х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7	х8
	х5	0	2110	2	4	6	<8>	1	0	0	0
	х6	0	1810	2	2	0	6	0	1	0	0
	х7	0	1440	0	1	1	2	0	0	1	0
	х8	0	1120	1	0	1	0	0	0	0	1
	Fj - Сj		0	-8	-10	-12	-18	0	0	0	0
	х4	18	263,75	0,25	0,5	0,75	1	0,125	0	0	0
	х6	0	227,5	<0,5>	-1	-4,5	0	-0,75	1	0	0
	х7	0	912,5	-0,5	0	-0,5	0	-0,25	0	1	0
	х8	0	1120	1	0	1	0	0	0	0	1
	Fj - Сj		4747,5	-3,5	-1	1,5	0	2,25	0	0	0
	х4	18	150	0	1	<3>	1	0,5	-0,5	0	0
	х1	8	455	1	-2	-9	0	-1,5	2	0	0
	х7	0	1140	0	-1	-5	0	-1	1	1	0
	х8	0	665	0	2	10	0	1,5	-2	0	1
	Fj - Сj		6340	0	-8	-30	0	0,1667	7	0	0
	х3	12	50	0	0,3333	1	0,3333	0,1667	0,1667	0	0
	х1	8	905	1	1	0	3	0,5	0,5	0	0
	х7	0	1390	0	0,6667	0	1,6667	0,1667	0,1667	1	0
	х8	0	165	0	-1,333	0	-3,333	-0,333	-0,333	0	1
	Fj - Сj		7840	0	2	0	10	2	2	0	0

Ответ: F_mах = 7840 ед. стоимости; х_опт = (905; 0; 50; 0; 0; 0; 1390; 165).

Для получения прибыли равной 7840 ед. стоимости необходимо включить в план продукцию первого и третьего вида в количествах:

В₁ = 905 ед.;

В₃ = 50 ед.,

При этом остались недоиспользованные ресурсы в количествах:

А₃ = 1390 ед.

А₄ = 165 ед.

Задача 3

Для откорма группы животных на ферме необходимо наличие в ежедневном рационе не менее как В₁, единиц питательных веществ В₂ и т.д. – не менее как В_m. Указанные питательные вещества содержатся в n разных кормовых продуктах, которые можно закупить.

Составить такой ежедневный кормовой рацион, при котором будет удовлетворена потребность в питательных и затраты на откорм будут минимальны.

Питательные вещества	Кормовые продукты				Суточная необходимость Вi = В0 + n1
	В1	В2	В3	В4
А1	1	2	2	1	64 + 9
А2	0	3	1	1	39 + 9
А3	2	1	0	3	35 + 9
Стоимость 1 кг кормов	2	1	3	4

Составить математическую модель и решить ЗЛП.

Решение

Введем переменные:

х₁ – количество кормового продукта В₁

х₂ – количество кормового продукта В₂

х₃ – количество кормового продукта В₃

х₄ – количество кормового продукта В₄

Строим математическую модель:

F_mах = 2х₁ + х₂ + 3х₃ + 4х₄

при условиях:

х₁ + 2х₂ + 2х₃ + х₄ ≥ 155;

3х₂ + х₃ + х₄ ≥ 130;

2х₁ + х₂ + 3х₄ ≥ 126;

х_j ≥ 0; j = 1,4.

Приведем систему ограничений к каноническому виду:

х₁ + 2х₂ + 2х₃ + х₄ – х₅ = 155;

3х₂ + х₃ + х₄ – х₆ = 130;

2х₁ + х₂ + 3х₄ – х₇ = 126;

х_j ≥ 0; j = 1,7.

Приведем систему ограничений к виду удобному для решения:

х₁ + 2х₂ + 2х₃ + х₄ – х₅ + х₈ = 155;

 3х₂ + х₃ + х₄ – х₆ + х₉ = 130;

2х₁ + х₂ + 3х₄ – х₇ + х₁₀ = 126;

х_j ≥ 0; j = 1,10.

Переменные х₈, х₉, х₁₀ являются искусственными и они введены на знак «=», поэтому для корректировки задачи эти переменные вводят в целевую функцию с коэффициентом +М.

F_min = 2х₁ + х₂ + 3х₃ + 4х₄ + Мх₈ + Мх₉ + Мх₁₀.

Задача решается модифицированным симплекс-методом (метод искусственного базиса).

№ о/п	Ба- зис	С	bi	С1=2	С2=1	С3=3	С4=4	С5=0	С6=0	С7=0	С8=М	С9=М	С10=М
				Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Х7	Х8	Х9	Х10
	х8	М	155	1	2	2	1	-1	0	0	1	0	0
	х9	М	130	0	<3>	1	1	0	-1	0	0	1	0
	х10	М	126	2	1	0	3	0	0	-1	0	0	1
	Fj - Сj		0	-2	-1	-3	-4	0	0	0	0	0	0
	М		411	3	6	3	5	-1	-1	-1	0	0	0
	х8	М		1	0	4/3	1/3	-1	2/3	0	1		0
	х2	1		0	1	1/3	1/3	0	-1/3	0	0		0
	х10	0		<2>	0	-1/3	8/3	0	1/3	-1	0		1
	Fj - Сj			-2	0	-8/3	-	0	-1/3	0	0		0
	М		151	3	0	1	3	-1	1	-1	0		0
	х8	М	27	0	0	<>	-1	-1	1/2	1/2	1
	х2	1		0	1	1/3	1/3	0	-1/3	0	0
	х1	2		1	0	-1/6	4/3	0	1/6	-1/2	0
	Fj - Сj		126	0	0	-3	-1	0	0	-1	0
	М		27	0	0	3/2	-1	-1	1/2	1/2	0
	х3	3	18	0	0	1	-2/3	-2/3	1/3	<1/3>
	х2	1		0	1	0	5/9	2/9	-4/9	-1/9
	х1	2		1	0	0	11/9	-1/9	2/9	-4/9
	Fj - Сj		180	0	0	0	-3	-2	1	0
	х6	0	54	0	0	3	-2	-2	1	1
	х2	1		0	1	4/3	-1/3	-2/3	0	1/3
	х1	2		1	0	-2/3	5/3	1/3	0	-2/3
	Fj - Сj		126	0	0	-3	-1	0	0	-1

Каждый опорный план проверяем на оптимальность.

В 5-м опорном плане в индексной строке все разности F_j - С_j ≤ 0, следовательно этот план является оптимальным (F→min).

Можно записать ответ:

F_min = 126 ед.стоимости,

Х_опт = (97/3 = 32,33; 184/3 = 61,33; 0; 0; 0; 54).

Для получения минимальной себестоимости на изготовление кормовой продукции равной 126 ед. ст. необходимо включить в план кормовые продукты 1-го В₁ = 32,33 ед. и второго вида В₂ = 61,33 ед. и остались недоиспользованы ресурсы по А₃ в количестве 54 ед.

Задача 4

С четырех карьеров к трем керамическим заводам перевозят глину.

Карьеры	Керамические заводы			Мощность карьера Вj = Воj + n
	В1	В2	В3
А1	15	6	12	45 + 9
А2	4	6	8	38 + 9
А3	24	21	5	23 + 9
А4	12	9	12	84
Вj + Воj + n	70 + 9	65 + 9	55 + 9	190 + 3*9

Сделать математическую постановку задачи и спланировать перевозку глины на керамические заводы так, чтобы транспортные затраты были минимальны.

Решение

Данная задача относится к типу транспортных задач линейного программирования и её математическая модель в сокращенной форме записи будет выглядеть так:

m n

S_min = Σ Σ C_ijХ_ij,

i=1 j=1

при условиях по ресурсам:

n

Σ х_ij = А_i,, i = 1,m

j=1

m

Σ х_ij = В_j, j = 1,n

i=1

х_ij ≥ 0; i = 1,m; j = 1,n.

Существует два вида моделей:

m n

закрытая Σ А_i= Σ В_j;

i=1 j=1

m n

открытая Σ А_i≠ Σ В_j.

i=1 j=1

Если в условии задачи дана открытая модель, то её нужно привести к закрытой, путем введения фиктивного поставщика или потребителя с нулевыми стоимостями перевозок, но ноль считается как максимально большое число. Закрытую модель можно решить методом потенциалов.

Проверяем в данной задаче тип модели:

Σ А_i = 217; Σ В_j = 217.

Строим первый опорный план по правилу минимального элемента:

Поставщики	Потребители			U
	В1 = 79	В2 = 74	В3 = 64
А1 = 54	15 32- ρ	6 22 + ρ	12	U1 = 0
А2 = 47	4 47	6	8	U2 = -11
А3 = 32	24	21	5 32	U3 = -4
А4 = 84	12 +ρ	9 52-ρ	12 32	U4 = 3
V	V1 = 15	V2 = 6	V3 = 9	Smin = 1812

Далее делается проверка системы ограничений:

n m =

Σ х_ij = А_i,, Σ х_ij = В_j,

j=1 i=1

убеждаемся, что все ресурсы распределены и потребители удовлетворены максимальным образом.

Проверяем план на вырожденность: количество заполненных клеток должно быть равно: m + n – 1 = 4 + 3 – 1 = 6.

Считаем стоимость перевозок:

S_min = 15*32 + 6*22 + 4*47 + 5*92 + 9*52 + 12*32 = 1812.

Так как неизвестно, является ли этот план оптимальным, т.е. стоимость перевозок = 1812 ед.ст. или её можно уменьшить, то проверим каждую свободную клетку на оптимальность, а для этого необходимо найти потенциалы U и V, они находятся для заполненных клеток по формуле:

С_ij = U_i + V_j, х_ij > 0.

После чего проверяем свободные клетки на оптимальность по формуле:

S_ij = С_ij – (U_i + V_j) ≥ 0.

Оказалось, что одна клетка не оптимальна S₄₁ = -6.

Ставим в эту клетку +ρ – это величина для перераспределения ресурсов. От этой клетки строим цикл пересчета – это многоугольник любой конфигурации с прямыми циклами, расположенными в заполненных клетках. По углам этого цикла (прямоугольника) ставим +ρ и –ρ, чтобы был баланс по строкам и столбцам.

Определяем величину перераспределения груза (ресурсов):

ρ = min {32;52} = 32.

Строим новый опорный план:

Поставщики	Потребители			U
	В1 = 79	В2 = 74	В3 = 64
А1 = 54	15	6 54	12	U1 = 0
А2 = 47	4 47	6	8	U2 = -5
А3 = 32	24	21	5 32	U3 = -4
А4 = 84	12 32	9 20	12 32	U4 = 3
V	V1 = 9	V2 = 6	V3 = 9	Smin = 1620

и весь алгоритм повторяется снова:

S_min 2 = 6*54 + 4*47 + 5*32 + 12*32 + 9*20 + 12*32 = 324 + 188 + 160 + 384 +180+ + 384 = 1620.

Все S_ij ≥ 0, следовательно 2-й опорный план является оптимальным.

Ответ: минимальная стоимость перевозок равна 1620 ед. стоимости.

Поставки глины: х₁₂ = 54 т; х₂₁ = 47 т; х₃₃ = 32 т; х₄₁ = 32 т; х₄₂ = 20 т; х₄₃ = 32 т.

Список литературы

1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1986.

2. Архангельский Ю.С., Коваленко И.И. Межотраслевой баланс. – К.: Выща шк. Головное изд-во, 1988.

3. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. – М.: Наука, 1984.

4. Вентцель Е.С. Исследование операций: Задачи, принципы, методология. – М.: Наука, 1980

5. Вивальнюк Л.М. Елементи лінійного програмування. – К.: Вища школа, 1975.

6. Гейл Д. Теория линейных экономических моделей. – М.: ИЛ, 1963.

7. Гольштейн Е.Г., Юдин Д.Б. Линейное программирование (теория, методы и приложения). – М.: Наука, 1969.

8. Данциг Дж. Линейное программирование, его обобщения и приложения. – М.: Прогресс, 1966.

9. Деордица Ю.С., Нефедов Ю.М. Исследование операцій в планировании и управлении. – К.: Вища школа, 1991.

10. Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы. – М.: Наука, 1972.

11. Зайченко Ю.П. Исследование операций. – К.: Вища школа, 1979.

12. Исследование операций. / Под ред. Н.С. Кремера. – М.: Бизнес и банки, ЮНИТИ, 1997.

13. Кузнецов Ю.Н. и др. Математическое программирование. – М.: Высшая школа, 1980.

14. Карпелевич Ф.М., Садовский Л.Е. Математическое программми-рование. – И.: Наука, 1967.

15. Лотов А.В. Введение в экономико-математическое моделирование. – М.: Наука, 1984.

16. Математика в экономике: Учебник: в 2-х ч. Ч.1/ А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандра. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2006.

17. Математические методы и модели в планировании и управлении. Сборник задач. К.: Вища школа, 1985.

18. Терехов Л.Л., Куценко В.А.Ж, Сиднев С.П. Экономико-математические методы и модели в планировании и управлении. – К.: Вища школа, 1984.