Поведение системы в конкретных условиях

2. Поведение системы в конкретных условиях

  2.1 Дифференциальные уравнения движения системы и их интегрирование

Составим уравнения движения с помощью уравнений Лагранжа 2-го рода. В выбранных обобщенных координатах  и  они принимают вид:

 (2.1.1)

где - кинетическая энергия системы;

- обобщенные силы, соответствующие обобщенным координатам  и .

Найдем кинетическую энергию системы. Она состоит из кинетических энергий всех тел, входящих в систему:

 

Абсолютная скорость шарика  равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей (см. рис. 3), ее величина определяется по формуле:

Тогда для кинетической энергии системы получим:

 (2.1.2)

Введем обозначения:

Найдем все производные левой части уравнений (2.1.3):

Обобщенные силы можно определить двумя способами:

1. Фиксируем координату , даем виртуальное перемещение , находим элементарную работу:

 

Фиксируем координату , даем виртуальное перемещение , находим элементарную работу:

2. Вычислим потенциальную энергию системы:

 

Найдем обобщенные силы:

Подставив производные левой части уравнений (2.1.1) и обобщенные силы  и  в уравнения (2.1.1), получим дифференциальные уравнения движения системы:

Для решения системы дифференциальных уравнений движения механической системы проведем численное интегрирование на ЭВМ. Результаты численного интегрирования приведены в приложении №2.

Для проверки численного интегрирования найдем, исходя из полученных данных, значения потенциальной и кинетической энергии механической системы. Суммируя значения потенциальной и кинетической энергии механической системы проверим, выполняется ли Закон сохранения энергии (см. приложение №2).

2.2 Определение реакций в опорах методом кинетостатики

Выберем для нашей системы неподвижную систему координат О₁X₁Y₁, (cм. рис.4).

Рис.4. Силы, действующие на систему

Уравнения кинетостатики в векторной форме имеют вид

 

 (2.2.1)

где - главные векторы активных сил, реакций связей и сил инерции;

- главные моменты активных сил, реакций связей и сил инерции относительно точки О₁.

Сила инерции шарика как материальной точки, совершающей сложное движение, равна геометрической сумме относительной, переносной и кориолисовой сил инерции:

 

,

 

Сила инерции пластины будет равна:

 

Модули сил инерции равны

 ,  ,   (2.2.2)

Изобразим активные силы, реакции опоры и силы инерции, действующие на механическую систему (рис. 4). Векторные уравнения кинетостатики (2.2.1) в проекциях на оси неподвижной системы координат OX₁Y₁ имеют вид

 (2.2.3)

C учётом выражений для сил инерции (2.2.2), уравнения (2.2.3) принимают вид

Найденные уравнения реакций шарнира и вращательного момента совпадают с теми, что были найдены в предыдущих частях курсовой работы.