Для матриці A знайти обернену матрицю

1. Для матриці A знайти обернену матрицю.

Рішення. Знаходимо спочатку детермінант матриці А:

Це означає, що обернена матриця існує і ми її можемо знайти по формулі , де А_ij (i,j=1,2,3) - алгебраїчні доповнення до елементів а_ijпочаткової матриці.

 

 

 

 

 звідки .

2. Знайти матрицю, обернену до матриці.

A =

Знаходимо спочатку визначник матриці A:

 =  = 1(-1)⁴⁺¹ = (-1) =

= (-1)1(-1)³⁺¹= -1 0. Отже обернена матриця існує.

Знаходимо алгебраїчні доповнення:

A₁₁=(-1)¹⁺¹= 2 A₂₁=(-1)²⁺¹= -1

A₃₁=(-1)³⁺¹= -1 A₄₁=(-1)⁴⁺¹= -1

A₁₂=(-1)¹⁺²= -1 A₂₂=(-1)²⁺²= 1

A₃₂=(-1)³⁺²= 0 A₄₂=(-1)⁴⁺²= 0

A₁₃=(-1)¹⁺³= -1 A₂₃=(-1)²⁺³= 0

A₃₃=(-1)³⁺³= 1 A₄₃=(-1)⁴⁺³= 0

A₁₄=(-1)¹⁺⁴= -1 A₂₄=(-1)²⁺⁴= 0

A₃₄=(-1)³⁺⁴= 0 A₄₄=(-1)⁴⁺⁴= 1

Підставляючи у формулу (3) знайдені значення, одержуємо:

A^-1 =

Перевірка. Одержаний результат можна легко перевірити.

Оскільки, AA^-1 = E, де E –це одинична матриця, то:

AA^-1 =  =

 =

=

Отже, обернену матрицю знайдено вірно.

Висновки

Отже, висвітливши основні поняття обернених матриць, можна прийти до висновку, що процес знаходження обернених матриць за допомогою формули є швидким і простим методом аналізу стану певного об’єкта.

Список використаної літератури

 

1. Ващук Ф.Г., Поляк С.С. Практикум з вищої математики. - Ужгород, 2005. 6 – 24 с.

2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - Москва, 1968. 95–99 с.

Додаток

  Дану задачу можна реалізувати на мові програмування Turbo Pascal

Лістінг програми

Program InversMatrix;

const max_size=10; {max size matrix }

type matr=array[1..max_size,1..max_size] of real;

label 1;

var

 a,invers,tmp_matrix : matr;

 size : Integer; {size matrix}

 i,j :Integer;

 dt : real;

procedure PrintMatr(m:matr;n:integer);

var i,j:integer;

 begin

 for i:=1 to n do

 begin

 for j:=1 to n do

 write(m[i,j]:8:3);

 writeln;

 end;

 end;

Function Pow (x:Integer; y:Integer):Integer;

var

 i,z :Integer;

begin

 z := 1;

 for i:=1 to y do

 z := z * x;

 Pow := z;

end;

procedure GetMatr(a:matr; var b:matr; m,i,j:integer);

var ki,kj,di,dj:integer;

 begin

 di:=0;

 for ki:=1 to m-1 do

 begin

 if (ki=i) then di:=1;

 dj:=0;

 for kj:=1 to m-1 do

 begin

 if (kj=j) then dj:=1;

 b[ki,kj]:=a[ki+di,kj+dj];

 end;

 end;

 end;

Function Determinant(a:matr;n:integer):real;

var i,j,k:longint;

 b:matr;

 d : real;

 begin

 d:=0; k:=1;

 if (n<1) then

 begin

 writeln('Determinant: Cann''t run. N=',n); halt;

 end;

 if (n=1)

 then d:=a[1,1]

 else if (n=2)

 then d:=a[1,1]*a[2,2]-a[2,1]*a[1,2]

 else { n>2 }

 for i:=1 to n do

 begin

 GetMatr(a,b,n,i,1);

 {writeln('i=',i,' a[',i,',1]=',a[i,1]);

 PrintMatr(b,n-1);}

 d:=d+k*a[i,1]*Determinant(b,n-1);

 k:=-k;

 end;

 Determinant:=d;

 end;

begin

 Write('Enter size matrix [1..10] :');

 ReadLn(size);

 for i:=1 to size do

 for j:=1 to size do

 begin

 Write('a[',i,',',j,']=');

 ReadLn(a[i,j]);end;

 begin

 if determinant(a,size)=0 then

 begin write ('matryca vyrudzena,obernenoi ne isnue!');

 goto 1; end;

 end;

 WriteLn('================================================');

 WriteLn(' Source matrix ');

 WriteLn;

 PrintMatr(a,size);

 dt:=Determinant(a,size);

 WriteLn('================================================');

 writeln('Determinant = ',dt:8:3);

 {sozdaem matrix is dopolneniy}

 for i:=1 to size do

 for j:=1 to size do

 begin

 GetMatr(a,tmp_matrix,size,j,i);

 invers[i,j]:=Pow(-1,i+j)*Determinant(tmp_matrix,size-1)/dt;

 end;

 WriteLn('================================================');

 WriteLn(' Inverse matrix ');

 WriteLn;

 PrintMatr(invers,size);

 1:readln;

end.

Контрольні приклади

Приклад 1.

Вхідні дані –

Розмірність матриці – 3

1 2 3 -2.00 4.00 -1.00

1 1 2 → обернена матриця→ 0.00 -1.00 0.00

1 0 2 1.00 -2.00 1.00

Приклад 2.

Вхідні дані –

Розмірність матриці – 4

обернена матриця