Використання елементарних перетворень для знаходження оберненої матриці

Міністерство освіти і науки України

Факультет інформатики

Курсова робота

Тема:

“Використання елементарних перетворень

для знахожження оберненої матриці ”

Виконав студент ІІ-го курсу

Факультету інформатики

Заочної форми навчання

Науковий керівник:

Ужгород 2009

Зміст

Зміст. 2

Вступ. 3

1. Теория. 4

2. Опис програми. 8

3. Програма. 10

Висновок. 45

Список використаної літератри. 46

Вступ

Квадратна матриця називається виродженою (для особливої), якщо її визначник дорівнює нулю, і невиродженою (чи неособливої) - у протилежному випадку. Відповідно лінійне перетворення невідомих називається виродженим чи невиродженим у залежності від того, чи буде дорівнює чи нулю відмінний від нуля визначник з коефіцієнтів цього приобразования. З теореми випливає наступне твердження:

Добуток матриць, хоча б одна з яких вироджена, буде вродженою матрицею.

Добуток будь-яких невироджених матриць саме буде невирожденою матрицею. Звідси випливає, через зв'язок, що існує між множенням матриць і послідовним виконанням лінійних перетворень, таке твердження: результат послідовного виконання декількох лінійних перетворень тоді і тільки тоді буде невиродженим перетворенням, якщо всі задані перетворення невироджені.

1. Теория

Квадратна матриця називається виродженою (для особливої), якщо її визначник дорівнює нулю, і невиродженою (чи неособливої) - у протилежному випадку. Відповідно лінійне перетворення невідомих називається виродженим чи невиродженим у залежності від того, чи буде дорівнює чи нулю відмінний від нуля визначник з коефіцієнтів цього приобразования. З теореми випливає наступне твердження:

Добуток матриць, хоча б одна з яких вироджена, буде вродженою матрицею.

Добуток будь-яких невироджених матриць саме буде невирожденою матрицею. Звідси випливає, через зв'язок, що існує між множенням матриць і послідовним виконанням лінійних перетворень, таке твердження: результат послідовного виконання декількох лінійних перетворень тоді і тільки тоді буде невиродженим перетворенням, якщо всі задані перетворення невироджені.

Роль одиниці у множенні матриць грає одинична матриця

причому вона перестановочна з будь-якою матрицею А даним порядком

АЕ=ЕА=А (1)

Доводяться ці чи рівності безпосереднім приминением правилаумножения матриць, чи ж на підставі зауваження, що еденичная матриця відповідає тотожному лінійний приобразованию невідомих

x1=y1

x2= y2

... ... ... .

xn= yn

Виконання якого до чи після будь-якого іншого лінійного переутворення, очевидно не змінює цього останнього.

Помітимо, що матриця Е є єдиною матрицею, що задовольняє умові (1) при будь-якій матриці А. Дійсно, якби існувала матриця Е' з цією же властивістю, то ми мали б

E’E=E’, E’E=E,

звідки E’=E.

Питання про існування для даної матирцы А зворотної матриці виявляється болеее складним. Через некомутативности множення матриць ми будемо говорити зараз про праву зворотну матрицю, тоесть про таку зворотну матрицю А-1

Що добуток матриці А праворуч на цю матрицю дає еденичную матрицю,

AA-1=E (2)

Якщо матриця А вырожденная, то, якби матриця А-1 існувала, добуток, що коштує в лівій частині рівності (2), було б, як ми знаємо, вырожденной матрицею, у той час як насправді матриця Е, що коштує в правій частині цієї рівності, є невырожденной, тому що його визначник дорівнює еденице. Таким чином, вырожденная матриця не може мати правої зворотної матриці. Такого ж розуміння показують, сто вона не має і лівої зворотний і тому для вырожденной матриці обратеая матриця воопше не існує.

Переходячи до випадку невырожденной матриці, уведемо спочатку наступне допоміжне поняття. Нехай дана матриця n-го порядку

 a11 a12... a1n

a21 a22... a2n

А=... ... ... ... ... ... ... ... .

an1 an1... ann

Матриця

a11 a12... a1n

A*= a21 a22... a2n

... ... ... ... ... ... ... ... .

an1 an1... ann

Складання з алгебраїчних доповнень до елементів матриці А, причому алгебраїчне доповнення до елементу aіj коштує на перетинанні j-й рядка й і-го стовпця, називається приєднаної (чи взаємної) до матриці А.

Знайдемо добуток АА* і А*А. Використовуючи відому формулу розкладання визначника по чи рядку стовпцю, а також теорему про суму добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) визначника на алгебраїчні доповнення до відповідних елементів іншого рядка (стовпця), і позначаючи через d визначник матриці А,

d=|A|,

ми одержимо наступні рівності:

d 0...0