Определение инверсии – симметрии относительно окружности.[1]

1.2. Определение инверсии – симметрии относительно окружности.[1]

Определение 1. Углом между двумя окружностями называется угол между касательными к окружностям в точке их пересечения.

Если окружности не имеют общих точек, то угол между ними не определен.

Определение 2. Углом между окружностью S и прямой l называется угол между прямой l и касательной к окружности S в точке пересечения этой окружности с l.

Опять же, если прямая и окружность не имеют общих точек, то угол между ними не определен.

Из определения 2 следует, что окружности, центры которых лежат на данной прямой l, и только эти окружности, перпендикулярны к прямой l.

Теорема 1. Все окружности, перпендикулярные прямой l и проходящие через точку А, проходят и через точку В, симметричную точке А относительно прямой l.

□ Рассмотрим произвольную окружность с центром на прямой l, проходящую через точку А. Введем систему координат таким образом, что прямая l является действительной осью, а начало координат располагается в центре нашей окружности, и радиус ее равен 1.

Действительная ось имеет уравнение , и формула осевой симметрии относительно l будет . Окружность имеет уравнение .

Если точка А имеет координату а, то симметричная ей точка В будет иметь координату . Докажем, что она тоже лежит на окружности.

Действительно, поскольку А ей принадлежит, то , что и означает принадлежность точки В() этой окружности. ■

Если А не лежит на действительной оси, то больше общих точек у пучка окружностей, проходящих через А и перпендикулярных l, нет. Если бы была еще общая точка С, то рассматриваемые окружности проходили бы через точки А, В и С, то есть все совпадали бы.

Если А лежит на действительной оси, то у окружностей также больше нет общих точек, поскольку центр их лежит на этой оси, и если есть еще одна общая точка В (не лежащая не действительной оси, иначе окружности банально совпадут), то есть еще одна общая точка – симметричная ей, и у окружностей есть три общие точки, то есть они все совпадут, что невозможно.

Значит, если окружности перпендикулярны прямой l и проходят через точку А, и точка В симметрична точке А относительно прямой l (точки А и В могут совпадать), то это единственные общие точки этих окружностей.

Поэтому можно дать такое определение симметрии относительно прямой.

Определение 3. Точки А и В называются симметричными относительно прямой l, если все окружности, перпендикулярные прямой l и проходящие через точку А, проходят и через точку В.

Введем теперь понятие симметрии относительно окружности. Докажем сначала следующую теорему.

Теорема 2. Все окружности, перпендикулярные данной окружности Σ и проходящие через данную точку А, не лежащую на Σ, проходят одновременно и через некоторую точку В, отличную от точки А.

□ Рассмотрим некоторую окружность w, удовлетворяющую нашим условиям.

Введем систему координат таким образом, что начало координат располагается в центре окружности Σ и радиус ее равен 1, а точка А лежит на действительной оси.

Тогда Σ задается уравнением , w задается уравнением , где s – координата центра, r – радиус. Перпендикулярность окружностей дает равенство . Раз А лежит на w, то верно , а с учетом предыдущего равенства .

Точка А, по условию, не лежит на окружности Σ, и А лежит на действительной оси, поэтому  и , то есть , откуда . Последнее число, очевидно, тоже является действительным. Тогда докажем, что точка с координатой  лежит на w, то есть верно . Но это равносильно , или , что верно. Значит, точка с координатой  лежит на w. Так как она отлична от точки А, а окружность w бралась произвольно, то мы нашли другую общую точку всех наших окружностей, что и требовалось. ■

Заметим, что точка А не может совпадать с центром окружности Σ, поскольку тогда касательная к w будет иметь с последней две общие точки, что невозможно.

Естественно, что других общих точек у окружностей, перпендикулярных окружности Σ и проходящих через точку А, не лежащую на Σ, нет, поскольку тогда пучок этих окружностей проходил бы через три точки, то есть все окружности бы совпадали.

Заметим также, что точки с координатами 0, а и  коллинеарны. Две последние точки лежат по одну сторону от центра Σ. Причем если А лежит внутри окружности Σ, то В – вне ее, и наоборот. Также произведение расстояний от этих точек до центра окружности постоянно и равно действительному числу – квадрату радиуса данной окружности.

Если А лежит на Σ, то других общих точек у пучка таких окружностей нет. Действительно, если бы была еще одна точка, не лежащая на Σ, то по теореме была бы к тому же общей и не совпадающая с ней точка, не лежащая на окружности, то есть не совпадающая с А. Тогда у окружностей три общих точки и они все совпадут, что невозможно. Если же еще одна общая точка  окружностей лежит на Σ, то можно поступить так. Точка А лежит на Σ, поэтому  или . Но мы всегда можем перенаправить действительную ось в противоположную сторону, поэтому будем считать, что . Тогда из верного равенства  получаем, что . Так как В лежит на w, то верно , но В лежит и на Σ, тогда последнее равенство запишется как . Получаем систему  Û  Û .

Так как , то и левая часть первого условия не должна равняться нулю. Значит, из первого условия можно смело находить центр w. Но тогда все окружности пучка совпадут, так как радиус окружностей находится как расстояние , что невозможно.

Также заметим, что и в этом случае квадрат расстояния от точки А до центра окружности равен квадрату радиуса данной окружности.

Теперь становится естественным следующее определение:

Определение 4. Точка А называется симметричной точке В относительно окружности Σ, если каждая окружность, проходящая через А и перпендикулярная Σ, проходит через точку В.

Для каждой точки А существует только одна ей симметричная. Причем, очевидно, что если А лежит на Σ, то у нее нет отличных от нее симметричных точек, она симметрична сама себе. Также очевидно, что если А совпадает с центром окружности симметрии, то у нее нет симметричной ей точки.

Еще ясно, что произведение расстояний от центра данной окружности до симметричных точек равно квадрату радиуса этой окружности.

Если точка А симметрична точке В относительно окружности Σ, то и точка В симметрична точке А относительно окружности Σ. Это позволяет говорить о точках, симметричных относительно окружности. Совокупность всех точек, симметричных точкам некоторой фигуры F относительно окружности Σ, образует фигуру F’, симметричную фигуре F относительно окружности Σ.

Симметрия относительно прямой является предельным случаем симметрии относительно окружности, так как прямую можно рассматривать как окружность бесконечного радиуса.

Симметрия относительно окружности называется также инверсией; в этом случае окружность, относительно которой производится симметрия, называется окружностью инверсии, центр этой окружности – центром инверсии, а квадрат ее радиуса – степенью инверсии.

Инверсию можно еще определить и так:

Определение 5. Инверсией плоскости с центром в точке S и степенью инверсии k называется преобразование, которое всякую точку М плоскости, отличную от S, отображает в такую точку М’, что точка М’ лежит на луче SM и произведение .

Докажем равносильность определений 4 и 5.

4Þ5. Вспомним, что при доказательстве теоремы 2 и далее в рассуждениях мы пришли к факту, что симметричные относительно окружности точки лежат на одной прямой с центром окружности Σ и по одну сторону от него, причем произведение их расстояний до центра этой окружности равно постоянному действительному числу – квадрату радиуса окружности. Это было показано для каждой точки, отличной от центра окружности.

5Þ4. Проведем окружность с центром в точке S и радиусом . Нам дано, что . Но любая окружность, перпендикулярная проведенной и проходящая через точку М, не лежащую на проведенной окружности, проходит и через точку М’, мы это показали ранее. Значит, действительно, точки М и М’ симметричны в смысле определения 4.

Чтобы это было действительно преобразование, допускают, что точка S отображается в бесконечно удаленную точку, и наоборот (в данном случае нам удобнее мыслить бесконечно удаленную область как одну точку).

Определение 5 менее геометрично, чем предыдущее, но обладает преимуществом большей простоты. Исходя из этого определения, инверсию иногда еще называют преобразованием обратных радиусов. С этим определением связано также название «инверсия» (от латинского слова inversio – обращение).

Очевидно, слова «точка М’ лежит на луче SM и произведение » можно с успехом заменить словами «точки S, M и М’ коллинеарны и скалярное произведение векторов ». Здесь k всегда положительно. Но иногда полезно рассмотреть преобразование, которое переводит точку M в М’ так, что и точки S, M и М’ коллинеарны, но M и М’ лежат по разные стороны от точки S. Тогда, очевидно, k будет отрицательным. Такое преобразование называют инверсией с центром в точке S и отрицательной степенью. Здесь также допускают, что центр инверсии переходит в бесконечно удаленную область, и наоборот.

Вообще, говоря об инверсии, имеют в виду обычно инверсию с положительной степенью. Если знак степени инверсии может быть любым, то такое преобразование называют обобщенной инверсией. Его определение будет таким.

Определение 6. Обобщенной инверсией плоскости с центром в точке S и степенью инверсии k называется преобразование, которое всякую точку М плоскости, отличную от S, отображает в такую точку М’, что точки S, M и М’ коллинеарны и скалярное произведение векторов . При этом считают, что S переходит в бесконечно удаленную область, и наоборот.

Это преобразование инволютивное, поскольку точки М и М’ входят в формулу  равноправно, а для центра инверсии и бесконечно удаленной области все очевидно.

1.3. Формула инверсии в комплексно сопряженных координатах. Найдем формулу обобщенной инверсии при задании точек комплексными числами. Пусть точкам S, M и М’ соответствуют комплексные числа s, z и z’.

По формуле скалярного произведения векторов . Коллинеарность точек S, M и М’ дает равенство . Отсюда имеем  Û , откуда и получаем искомую формулу .

Итак, обобщенная инверсия имеет формулу  или, что то же самое, . При k>0 получаем инверсию с положительной степенью, при k<0 – с отрицательной.

Но всякое ли преобразование плоскости, заданное формулой , является обобщенной инверсией? Если принять , , то достаточно потребовать, чтобы и  для обобщенной и  для обычной инверсии (с положительной степенью).

Значит, всякое преобразование плоскости, задаваемой формулой , есть обобщенная инверсия.

1.4. Неподвижные точки и окружность инверсии. Исследуем уравнение инверсии на неподвижные точки: для них должно выполняться равенство  Û . Мы не рассматриваем центр инверсии и бесконечно удаленную область, так как мы доопределили, что они не остаются неподвижными, а переходят друг в друга. Тогда будет выполняться равенство .

Очевидно, что если , то все искомые точки образуют окружность с центром в точке с координатой s и радиусом . Эта окружность при  называется окружностью инверсии. Если обозначить радиус окружности инверсии через R, то выполняется . И формулу инверсии для k>0 можно переписать более наглядно: .

Если степень инверсии отрицательна, то преобразование не имеет неподвижных точек (поскольку невозможно изобразить на плоскости, даже комплексной, точки, координаты которых удовлетворяют равенству ). Но иногда эту мнимую окружность также называют окружностью инверсии, ее центр расположен в центре инверсии, а радиус будет равен ==.

Так как , то, очевидно, инверсию отрицательной степени легко представить в виде коммутативной композиции инверсии с положительной степенью  и центральной симметрии  с общим центром в s.

1.5. Образы прямых и окружностей при обобщенной инверсии. Без ограничения общности рассуждений можно принять , и формула инверсии примет вид , более удобный для практики. Ведь нам пока не важны коэффициенты в получающейся формуле, важно, какую фигуру она описывает.

Пусть задана прямая l с уравнением , . При подстановке в это уравнение  и  получаем: . Умножим на , это будет равносильным преобразованием, поскольку ; получим, опуская в полученном результате штрихи: .

Если q = 0, то получаем уравнение . Так как , то умножим обе части уравнения на , получим . Это уравнение прямой, совпадающей с заданной прямой l. Если , то получаем уравнение окружности , так как . Она содержит центр инверсии, ее центр расположен в точке , а радиус равен . Заметим, что центр лежит на прямой , проходящей через центр инверсии перпендикулярно l.

Итак, прямая, содержащая центр инверсии, отображается при этой инверсии в себя; прямая, не содержащая центр инверсии, отображается в окружность, проходящую через него. Поскольку инверсия инволютивна, то окружность, содержащая центр инверсии, отображается в прямую, не содержащую его.

Возьмем теперь окружность , не проходящую через центр инверсии . Тогда выполняется . Ее образ имеет уравнение  (штрихи опущены). При раскрытии скобок получим . Умножим на , это будет равносильным преобразованием, поскольку ; получим . Так как , то этим уравнением задается окружность с центром  и радиусом . Она не проходит через центр инверсии. Интересно, что центр инверсии 0, центр данной окружности s и центр ее образа  коллинеарны, поскольку число  действительное. Но центр окружности при инверсии не переходит в центр окружности образа. Если центр данной окружности s перейдет в , то тогда должно выполняться . Поскольку , умножим на , получим равносильное равенство . Отсюда , то есть , что невозможно. Значит, предположение было неверно, и центр данной окружности не переходит в центр окружности образа.

Итак, окружность, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, также не проходящую через центр инверсии.

В частности, если центр инверсии совпадает с центром окружности, то  и окружность  при инверсии  переходит в окружность , центр которой также совпадает с центром инверсии. Итак, окружность, центр которой совпадает с центром инверсии, при этой инверсии переходит в концентрическую окружность. В частности, окружность с уравнением  инвариантна.

Интересно, что центр инверсии является одновременно и центром гомотетии, переводящей одну окружность в другую. Для нашего случая гомотетия будет иметь уравнение . Убедиться в этом можно простой подстановкой: эта гомотетия переводит окружность  в фигуру . Поделив обе части на , получим окружность с центром  и радиусом , что и требовалось доказать.

Теперь становится ясно, что каждую окружность можно при помощи подходяще выбранной инверсии перевести в другую данную окружность или прямую. Докажем это.

Пусть даны две окружности действительного радиуса. Рассмотрим сначала случай, когда их радиусы не равны.

Мы уже показали, что центры окружностей и центр инверсии должны лежать на одной прямой. Понятно, что центр инверсии не лежит на данных окружностях.

Точки, лежащие на прямой центров, переходят в точки, лежащие на той же прямой. Поэтому могут быть два порядка точек:  и .

Введем систему координат таким образом, что центры окружностей лежат на действительной оси, причем центр одной совпадает с началом координат, а радиус ее равен 1.

Покажем, что существует инверсия для первого случая.

Пусть точки пересечения второй окружности с действительной осью имеют координаты а₁ и а₂. Тогда при инверсии а₁ переходит в -1, а а₂ – в 1. Тогда можно записать, что , . То есть получаем систему: , что равносильно . Вычтем: , откуда, в силу неравности радиусов, . Может статься, что это не является решением. Решением это будет в точности тогда, если совпадут значения k из обоих уравнений.

Из первого уравнения   = .

Из второго условия получаем  =. Тот же самый результат. Итак, получаем единственную инверсию с центром в точке  и степенью .

Точка с координатой а₂ лежит на действительной оси правее точки с координатой а₁, поэтому для определения знака степени нужно знать знак произведения .

Степень инверсии будет положительна в двух случаях: либо , откуда , либо , откуда , то есть когда одна окружность лежит целиком внутри другой. В остальных случаях степень инверсии будет отрицательна.

Рассмотрим второй случай. Тогда при инверсии а₁ переходит в 1, а а₂ – в -1. Можно записать, что , . То есть получаем систему: , что равносильно . Вычтем: , откуда, в силу неравности радиусов, .

Аналогично, может оказаться, что это не является решением. Решением это будет в точности тогда, если совпадут значения k из обоих уравнений.

Из первого уравнения , откуда . Из второго уравнения  = . Тот же самый результат.

Знак степени определяется знаком произведения . Отрицательна она будет только в случае , то есть  или в случае , то есть . Это происходит в точности когда одна окружность лежит внутри другой. Положительной степень будет в противном случае.

Итак, когда радиусы окружностей не равны, одну в другую можно перевести ровно двумя инверсиями, причем одна из них с положительной степенью, а другая – с отрицательной.

Если же радиусы окружностей равны, то все выкладки будут иметь место, но гораздо упростятся. Для первого случая получим из равенства , что , тогда . Причем у нас не может быть случая, когда одна окружность лежит внутри другой, значит, степень положительна.

Для второго же случая получаем верное равенство , но , и получим , то есть окружности концентричны, но в силу равенства радиусов они совпадают. Это невозможно по предположению, значит, такой инверсии не может быть.

Можно сделать вывод, что если радиусы окружностей равны, то одну в другую можно перевести ровно одной инверсией с положительной степенью. В принципе, этого следовало ожидать: у двух окружностей равного радиуса только один центр гомотетии.

Покажем теперь, что существует инверсия, переводящая прямую l в окружность действительного радиуса, и обратно. Ясно, что эта окружность проходит через центр инверсии, а прямая нет. Мы уже показали, что центр инверсии лежит на прямой m, проходящей через центр нашей окружности перпендикулярно l. Значит, он может быть только в одной из точек пересечения окружности с прямой m.

Введем систему координат так, что начало координат располагается в центре окружности, а прямая m совпадает с действительной осью.

Данная прямая l параллельна мнимой оси, поэтому будет иметь уравнение , . Прямая пересекает действительную ось в точке с координатой . Окружность, если обозначить ее радиус r, будет иметь уравнение . Инверсии, если они есть, будут иметь формулы  и , где k₁ и k₂ нам пока не известны. Первая переведет окружность в прямую с уравнением  Û  Û . Чтобы это была l, достаточно потребовать , откуда .

Вторая инверсия переведет окружность в прямую с уравнением  Û  Û . Чтобы это была l, достаточно потребовать , откуда .

Могут получиться следующие случаи:

1)  Û , тогда , ;

2) Û , тогда , , то есть второй инверсии не существует – это происходит при касании прямой и окружности в точке с координатой -r;

3)  Û , тогда , ;

4) Û , тогда , то есть первой инверсии не существует – это происходит при касании прямой и окружности в точке с координатой r, ;

5)  Û , тогда , .

Можно сделать вывод, что если прямая не имеет общих точек с окружностью, то одну в другую можно перевести ровно двумя инверсиями, причем одна из них с положительной степенью, а другая с отрицательной. Если прямая касается окружности, то одну в другую можно перевести только одной инверсией с положительной степенью. Если прямая и окружность пересекаются, то одну в другую можно перевести двумя инверсиями с положительными степенями.

Две же различные прямые никогда не могут быть переведены друг в друга инверсией.