Навигация
Проверяем результаты на касание. ●
58334
знака
4
таблицы
7
изображений
4. Проверяем результаты на касание. ●
2.2. Применение инверсии при доказательстве. Здесь снова используется тот факт, что зависимость данных и искомых в отображенной фигуре часто гораздо проще, чем в основной фигуре. Замечательно, если в задаче фигурирует окружность: метод дает возможность заменять фигуры, содержащие окружности, более простыми фигурами.
Теорема Птолемея. Для всякого четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, верно 
.
□ Пусть точки A, B, C, D имеют координаты a, b, c, d соответственно.
Примем А за центр инверсии, и пусть степень инверсии равна 1. При этом окружность переходит в прямую. На этой прямой лежат образы точек B, C, D – точки B’, C’, D’, причем порядок точек сохраняется, поскольку по след 5 сохраняется двойное отношение точек В, В, С, D, а это есть простое отношение трех точек В, С, D. По свойству 3 можно записать: 
, 
и 
.
Из-за сохранения порядка точек верно 
, то есть 
. Приведем к общему знаменателю: 
. Это и означает, что 
. ■
Обратная теорема. Если для четырех неколлинеарных точек A, B, C, D верно , то они лежат на одной окружности.
□ Равенство можно записать как 
. Ни одна из точек B, C, D не совпадает с А, так как иначе будет коллинеарность. Тогда это равносильно равенству . Получим при инверсии с центром А и степенью 1. Это значит, что B’, C’, D’ должны лежать на одной прямой и центр инверсии – точка А. При этой инверсии прямая могла быть переведена или из прямой, или из окружности. Никакая другая кривая не могла быть прообразом этой прямой, так как, по инволютивности, эта прямая есть также прообраз этой кривой при той же самой инверсии, то есть эта кривая – окружность или прямая, третьего не дано.
Если это прямая, то она та же самая, и центр инверсии на ней. То есть все точки лежат на одной прямой. Противоречие условию теоремы. Значит, это была не прямая, а окружность. На ней лежат точки B, C, D. Но раз прямая переводится в окружность, то центр инверсии, то есть точка А, расположен на этой окружности. ■
Из этой теоремы следует теорема Пифагора, если четырехугольник является прямоугольником.
Заключение
Необходимо сразу оговориться, что работа не может претендовать на абсолютную полноту изложения данной темы. Однако цели, поставленные в начале работы, достигнуты. Выявлены и систематизированы основные определения и факты, рассмотрены основные виды задач, решаемых с помощью преобразования инверсии.
Интересно было бы рассмотреть симметрию относительно вообще любой плоской кривой, но это уже тема для отдельного исследования.
Дипломная работа может быть полезна студентам и учителям, ведущим факультативные занятия по данной теме. Работа легко может быть преобразована в соответствующую курсовую или дипломную работу по информатике, поскольку необходимые алгоритмы решения задач уже даны, остается только реализовать их на нужном языке программирования.
Библиографический список
1. Адамар, Ж. Элементарная геометрия [Электронный ресурс]: пособие для высших педагогических учебных заведений и преподавателей средней школы. В 2 ч. Ч. 1. Планиметрия / акад. Ж. Адамар; пер. со 2 издания под ред. проф. Д. И. Перепелкина. – Изд. 3-е. – М.: Учпедгиз, 1948. – 608 с. Режим доступа: http://www.mccme.ru.
2. Александров, И. И. Сборник геометрических задач на построение [Электронный ресурс] / И. И. Александров; под ред. Н. М. Наумович. – Изд. 18-е. – М.: Учпедгиз, 1950. – 176 с. Режим доступа: http://www.mccme.ru.
3. Понарин, Я. П. Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах [Текст]: Книга для учащихся математических классов школ, учителей и студентов педагогических вузов / Я. П. Понарин. – М.: МЦНМО, 2004. – 160 с.: ил. – ISBN 5-94057-152-2.
4. Прасолов, В. В. Задачи по планиметрии. [Электронный ресурс] / В. В. Прасолов. – На основе 4-го изд. (М.: МЦНМО, 2001) – М., 2003. – 551 с.: ил. Режим доступа: http://www.mccme.ru.
5. Яглом, И. М. Геометрические преобразования [Электронный ресурс]. В 2 ч. Ч. 2. Линейные и круговые преобразования / И. М. Яглом. – М.: Гос. изд-во технико-теорет. лит-ры, 1956. – 612 с. – (Серия «Библиотека математического кружка»; вып. 8). Режим доступа: http://www.mccme.ru.
[1] Идея этого пункта рассмотрена в [5].
[2] Эти свойства сформулированы в виде фактов и теорем в источниках [1], [2], [3], [4], [5].
[3] Условия взаимного расположения окружностей даны в источнике [3] на с.88.
Похожие работы
... f ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b]. Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...
... неоднородность имеет значительную глубину. Прибор интерференционно-теневой ИАБ-458 Прибор интерференционно-теневой ИАБ-458 предназначен для качественных и количественных исследований теневым методом неоднородностей оптически прозрачных сред. В приборе реализуются следующие методы исследования: светящейся точки, щели и ножа, щели и нити, сдвиговой интерферометрии и голографии. На рис. 2.4 ...
... , имеющие электрический заряд Q = -1 и Q = 1 соответственно. Также являются стабильными частицами нейтрино и антинейтрино, т.к. это самые легкие носители лептонных зарядов Le, , . 3. СВЯЗЬ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ С СИММЕТРИЕЙ СИСТЕМЫ Одним из важных открытий современного естествознания является тот факт, что все многообразие окружающего нас физического мира связано с тем или иным ...
... и в тех, когда физическое качество переходит в химическое, химическое в биологическое, биологическое в надбиологическое, профанное в сакральное и наоборот, - мы неизменно имеем дело с синергетикой, с феноменологией сопряжении и метаморфоз, с ситуацией взаимопревращений противоположностей, с теми неаддитивно-мета-системными переходами, которые в конкретно-образной (мифологической, поэтической) или ...
0 комментариев