Интерполяция функций

Министерство образования Российской Федерации.

Хабаровский государственный Технический Университет.

Кафедра «Прикладная математика и информатика»

Лабораторная работа №4

по дисциплине «Вычислительные методы линейной алгебры».

Интерполяция функций.

Вариант 4

Выполнил: ст. гр. ПМ 11 Крамарев Д. В.

Проверил: д.ф.-м.н., проф. Чехонин К.А.

Хабаровск 2003

Задание.

1) Построить интерполяционный многочлен Ньютона. Начертить график и отметить на нем узлы интерполяции. Вычислить значения в точке х=1.25.

xi	1	1.5	2	2.5	3	3.5
yi	0.5	2.2	2	1.8	0.5	2.25

2) Построить интерполяционный многочлен Лагранжа. Начертить график и отметить на нем узлы интерполяции. Вычислить значение в точке х=1.2.

xi	0	0.25	1.25	2.125	3.25
yi	5.0	4.6	5.7	5.017	4.333

3) Выполнить интерполяцию сплайнами третьей степени. Построить график и отметить на нем узлы интерполяции.

xi	7	9	13
yi	2	-2	3

Постановка задачи интерполяция.

Пусть известные значения функции образуют следующую таблицу:

x0	x1	x2	...	Xn-1	xn
y0	y1	y2	...	yn-1	yn

При этом требуется получить значение функции f в точке x, принадлежащей
 отрезку [x₀..x_n] но не совпадающей ни с одним значением x_i.Часто при этом не известно аналитическое выражение функции f(x), или оно не пригодно для вычислений.

В этих случаях используется прием построения приближающей функции F(x), которая очень близка к f(x) и совпадает с ней в точках x₀, x₁, x₂,... x_n. При этом нахождение приближенной функции называется интерполяцией, а точки x₀,x₁,x₂,...x_n - узлами интерполяции. Обычно интерполирующую ищут в виде полинома n степени:

P_n(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+a₂x^n-2+...+a_n-1x+a_n

Для каждого набора точек имеется только один интерполяционный многочлен, степени не больше n. Однозначно определенный многочлен может быть представлен в различных видах. Рассмотрим интерполяционный многочлен Ньютона и Лагранжа.

Интерполяционная формула Лагранжа.

Формула Лагранжа является наиболее общей, может применяться к таким узлам интерполяции, что расстояние между соседними узлами не постоянная величина.

Построим интерполяционный полином L_n(x) степени не больше n, и для которого выполняются условия L_n(x_i)=y_i . Запишем его в виде суммы:

L_n(x)=l₀(x)+ l₁(x)+ l₂(x)+...+ l_n(x), (1)

где l_k(x_i)= y_i, если i=k, и l_k(x_i)= 0, если i≠k;

Тогда многочлен l_k(x) имеет следующий вид:

l_k(x)= (2)

Подставим (2) в (1) и перепишем L_n(x) в виде:

Если функция f(x), подлежащая интерполяции, дифференцируема больше чем n+1 раз, то погрешность интерполяции оценивается следующим образом:

 где0<θ<1 (3)

Интерполяционная формула Ньютона.

Построение интерполяционного многочлена в форме Ньютона применяется главным образом когда разность x_i+1-x_i=h постоянна для всех значений x=0..n-1.

Конечная разность k-го порядка:

Δy_i=y_i+1-y_i

Δ²y_i= Δy_i+1- Δy_i=y_i+2-2y_i+1+y_i

………………………………

Δ^ky_i=y_i+k-ky_i+1-k+k(k-1)/2!*y_i+k-2+...+(-1)^ky_i

Будем искать интерполяционный многочлен в виде:

Pn(x)=a₀+a₁(x-x₀)+a₂(x-x₀)(x-x₁)+...+a_n(x-x₀)(x-x₁)...(x-x_n-1)

Найдем значения коэффициентов a₀, a₁, a₂, ...,a_n:

Полагая x=x₀, находим a₀=P(x₀)=y₀;

Далее подставляя значения x₁, x₂, ...,x_n получаем:

a₁=Δy₀/h

a₂=Δ²y₀/2!h²

a₃=Δ³y₀/3!h³

....................

a_n=Δⁿy₀/n!hⁿ

Таким образом:
Pn(x)=y₀+ Δy₀/h*(x-x₀)+ Δ²y₀/2!h²*(x-x₀)(x-x₁)+...+ Δⁿy₀/n!hⁿ*(x-x₀)(x-x₁)...(x-x_n-1) (1)

Практически формула (1) применяется в несколько ином виде:

Возьмем: t=(x-x₀)/h, тогда x=x₀+th и формула (1) переписывается как:

P_n(x)=y₀+tΔy₀+t(t-1)/2! Δ²y₀+...+t(t-1)...(t-n+1)/n!Δⁿy₀ (2)

Формула (2) называется интерполяционной формулой Ньютона.

Погрешность метода Ньютона оценивается следующим образом:

(3)

Интерполяция сплайнами.

При большом количестве узлов интерполяции сильно возрастает степень интерполяционных многочленов, что делает их неудобными для проведения вычислений.

Высокой степени многочленов можно избежать, разбив отрезок интерполирования на несколько частей, с построением в каждой части своего интерполяционного полинома. Такой метод называется интерполяцией сплайнами. Наиболее распространенным является построение на каждом отрезке [x_i, x_i+1], i=0..n-1 кубической функции. При этом сплайн – кусочная функция, на каждом отрезке заданная кубической функцией, является кусочно-непрерывной, вместе со своими первой и второй производной.

Будем искать кубический сплайн на каждом из частичных отрезков [x_i, x_i+1] в виде:

, где a_i,b_i,c_i,d_i – неизвестные.

Из того что S_i(x_i)=y_i получим:

В силу непрерывности потребуем совпадения значений в узлах, т.е.:

,i=0..n-1; (1)

Также потребуем совпадения значений первой и второй производной:

,i=0..n-2; (2)

,i=0..n-2; (3)

Из (1) получим n линейных уравнений с 3n неизвестными

,i=0..n-1;  (1*)

Из (2) и (3) получим 2(n-1) линейных уравнений с теми же неизвестными:

,i=0..n-1; (2*)

,i=1..n-1; (3*)

Недостающие два уравнения определим следующим образом. Предположим, что в точках х₀ и х_n производная равна нулю и получим еще два уравнения. Получим систему из 3*n линейных уравнений с 3*n неизвестными. Решим ее любым из методов и построим интерполяционную функцию, такую что на отрезке [x_i, x_i+1] она равна S_i.

Метод Лагранжа

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

type tip=array of real;

var x,y:tip;

i,j,n:byte;

p,s,xx:real;

begin

n:=edt.Count;

setlength(x,n);

setlength(y,n);

for i:=0 to n-1 do x[i]:=edt.massiv[i];edt.Lines.Delete(0);

for i:=0 to n-1 do y[i]:=edt.massiv[i];edt.Lines.Delete(0);

xx:=strtofloat(edt.Text);

edt.Lines.Delete(0);

s:=0;

for i:=0 to n-1 do

begin

p:=1;

for j:=0 to n-1 do if i<>j then p:=p*(xx-x[j])/(x[i]-x[j]);

p:=p*y[i];

s:=s+p;

end;

edt.writer('',1);

edt.writer('',s,1);

end;

Сплайн – интерполяция (программа составляет систему линейных уравнений, решая которую находим коэффициенты кубических сплайнов).

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var b,c,d,x,y:array of real;

urm:array of array of real;

 i,j,k,n :byte;

begin

n:=edt.Count;

setlength(x,n);setlength(y,n);

for i:=0 to n-1 do x[i]:=edt.massiv[i];edt.Lines.Delete(0);

for i:=0 to n-1 do y[i]:=edt.massiv[i];edt.Lines.Delete(0);

setlength(b,n-1);setlength(c,n-1);setlength(d,n-1);

setlength(urm,3*(n-1),3*(n-1)+1);

for i:=0 to 3*(n-1)-1 do

for j:=0 to 3*(n-1) do urm[i,j]:=0;

for i:=0 to n-1 do edt.writer(' ',y[i],0);

for i:=0 to n-2 do

begin

urm[i,3*i+0]:=x[i+1]-x[i];

urm[i,3*i+1]:=(x[i+1]-x[i])*(x[i+1]-x[i]);

urm[i,3*i+2]:=(x[i+1]-x[i])*(x[i+1]-x[i])*(x[i+1]-x[i]);

urm[i,3*(n-1)]:=y[i+1]-y[i];

end;

for i:=0 to n-3 do

begin

urm[i+n-1,3*i+0]:=1;

urm[i+n-1,3*i+1]:=2*(x[i+1]-x[i]);

urm[i+n-1,3*i+2]:=3*(x[i+1]-x[i])*(x[i+1]-x[i]);

urm[i+n-1,3*i+3]:=-1;

end;

for i:=0 to n-3 do

begin

urm[i+2*n-3,3*i+1]:=1;

urm[i+2*n-3,3*i+2]:=3*(x[i+1]-x[i]);

urm[i+2*n-3,3*i+4]:=-1;

end;

urm[3*n-5,0]:=1; urm[3*n-5,3*(n-1)]:=0;

urm[3*n-4,3*(n-1)-3]:=1;urm[i+2*n-3,3*(n-1)-2]:=2*(y[n-1]-y[n-2])]

urm[3*n-4,3*(n-1)-1]:=3*(y[n-1]-y[n-2]) *(y[n-1]-y[n-2]);

urm[i+2*n-3,3*(n-1)]:=0

for i:=0 to 3*(n-1)-1 do

begin

edt.writer('',1);

for j:=0 to 3*(n-1) do edt.writer(' ',urm[i,j],0);

end;

end;

Выполнить интерполяцию сплайнами третьей степени. Построить график и отметить на нем узлы интерполяции.

xi	7	9	13
yi	2	-2	3

Решение.

Будем искать кубический сплайн на каждом из частичных отрезков [x_i, x_i+1], i=0..2 в виде:

, где a_i,b_i,c_i,d_i – неизвестные.

Из того что S_i(x_i)=y_i получим:

В соответствии с теоретическим положениями изложенными выше, составим систему линейных уравнений, матрица которой будет иметь вид:

При этом мы потребовали равенства производной нулю.

Решая систему уравнений получим вектор решений [b₁,c₁,d₁,b₂,c₂,d₂]:

Подставляя в уравнение значения b₁,c₁,d₁, получим на отрезке [7..9]:

Если выражение упростить то:

Аналогично подставляя в уравнение значения b₂,c₂,d₂, получим на отрезке [9..13]:

или

График имеет вид:

Метод Ньютона

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

type tip=array of real;

var x,y:tip;

i,j,n:byte;

p,s,xx,t,h:real;

kp:array of array of real;

begin

n:=edt.Count;

setlength(x,n);

setlength(y,n);

for i:=0 to n-1 do x[i]:=edt.massiv[i];edt.Lines.Delete(0);

for i:=0 to n-1 do y[i]:=edt.massiv[i];edt.Lines.Delete(0);

xx:=strtofloat(edt.Text);

edt.Lines.Delete(0);

setlength(kp,n,n);

for i:=0 to n-1 do for j:=0 to n-1 do kp[i,j]:=0;

for i:=0 to n-1 do kp[0,i]:=y[i];

for i:= 1 to n-1 do

for j:=0 to n-i-1 do

kp[i,j]:=kp[i-1,j+1]-kp[i-1,j];

for i:= 0 to n-1 do

begin

for j:=0 to n-1 do edt.writer(' ',kp[i,j],0);

edt.writer('',1);

end;

edt.writer('',1);

h:=0.5;

t:=(xx-x[0])/h;

s:=y[0];

for i:=1 to n-1 do

begin

p:=1;

for j:=0 to i-1 do p:=p*(t-j)/(j+1);

s:=s+p*kp[i,0];

end;

edt.writer('',s,1);;

end;

Построить интерполяционный многочлен Ньютона. Начертить график и отметить на нем узлы интерполяции. Вычислить значение функции в точке х=1.25.

xi	1	1.5	2	2.5	3	3.5
yi	0.5	2.2	2	1.8	0.5	2.25

Решение.

Построим таблицу конечных разностей в виде матрицы:

Воспользуемся интерполяционной формулой Ньютона:

P_n(x)=y₀+tΔy₀+t(t-1)/2! Δ²y₀+...+t(t-1)...(t-n+1)/n!Δⁿy₀

Подставив значения получим многочлен пятой степени, упростив который получим:

P₅(x)=2.2x⁵-24x⁴+101.783x³-20.2x²+211.417x-80.7

Вычислим значение функции в точке x=1.25; P(1.25)=2.0488;

График функции имеет вид:

Построить интерполяционный многочлен Лагранжа. Начертить график и отметить на нем узлы интерполяции. Вычислить значение в точке х=1.2.

xi	0	0.25	1.25	2.125	3.25
yi	5.0	4.6	5.7	5.017	4.333

Решение.

Построим интерполяционный многочлен Лагранжа L₄(x), подставив значения из таблицы в формулу:

Напишем программу и вычислим значение многочлена в точке х=1.2:

L₄(1.2)=5.657;

Полученный многочлен имеет четвертую степень. Упростим его и получим:

Построим график полученного полинома: