Содержание
Введение
1. Формула Лагранжа
2. Интерполирование по схеме Эйткена
3. Интерполяционные формулы Ньютона для равноотстоящих узлов
4. Формула Ньютона с разделенными разностями
5. Интерполяция сплайнами
Заключение
Список литературы
Введение
Цель работы: изучение и сравнительный анализ методов интерполяции функций; реализация этих методов в виде машинных программ на языке высокого уровня и практическое решение задач интерполяции на ЭВМ.
При разработке математического обеспечения САПР часто приходится иметь дело с функциями f(x), заданными в виде таблиц, когда известны некоторое конечное множество значений аргумента и соответствующие им значения функции. Аналитическое выражение функции f(x) при этом неизвестно, что не позволяет определять ее значения в промежуточных точках аргумента, отсутствующих в таблице. В таком случае решается задача интерполирования, которая формулируется следующим образом.
На отрезке [a, b] заданы n + 1 точки x0, x1, ..., xn, которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции f(x) в этих точках f(x0) = y0, f(x1) = y1, ..., f(xn) = yn. Требуется построить интерполирующую функцию F(x), принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f(x), т.е. такую, что F(x0) = y0, F(x1) = y1, ..., F(xn) = yn.
Геометрически это означает, что нужно найти кривую y = F(x) некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему точек Mi(xi, yi) для i = . Полученная таким образом интерполяционная формула y = F(x) обычно используется для вычисления значений исходной функции f(x) для значений аргумента x, отличных от узлов интерполяции. Такая операция называется интерполированием функции f(x). При этом различают интерполирование в узком смысле, когда x принадлежит интервалу [x0, xn], и экстраполирование, когда x не принадлежит этому интервалу.
В такой общей постановке задача интерполирования может иметь бесчисленное множество решений. Чтобы получить единственную функцию F(x), необходимо предположить, что эта функция не произвольная, а удовлетворяет некоторым дополнительным условиям.
В простейшем случае предполагается, что зависимость y = f(x) на каждом интервале (xi, xi+1) является линейной. Тогда для каждого участка (xi, xi+1) в качестве интерполяционной формулы y = F(x) используется уравнение прямой, проходящей через точки Mi(xi, yi) и Mi+1(xi+1, yi+1), которое имеет вид
. (1)
При программировании процедур линейной интерполяции следует учитывать, что процесс решения задачи интерполирования с использованием формулы (1) включают два этапа: выбор интервала (xi, xi+1), которому принадлежит значение аргумента х; собственно вычисление значения y = F(x) по формуле (1).
На практике в качестве интерполирующей функции F(x) обычно используется алгебраический многочлен
Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn
степени не выше n, такой, что Pn(x0) = y0, Pn(x1) = y1, ..., Pn(xn) = yn. Наиболее известными методами построения интерполяционного многочлена Pn(x) являются метод Лагранжа, итерационные и разностные методы.
1. Формула Лагранжа
Интерполяционная формула Лагранжа обеспечивает построение алгебраического многочлена Pn(x) для произвольно заданных узлов интерполирования. Для n + 1 различных значений аргумента x0, x1, ..., xn и соответствующих значений функции f(x0) = y0, f(x1) = y1, ..., f(xn) = yn интерполяционная формула Лагранжа имеет вид
,
где х - значение аргумента функции, расположенного в интервале [x0, xn].
Необходимо отметить, что формула Лагранжа, в отличие от других интерполяционных формул, содержит явно yi (i =), что бывает иногда важно.
Пример 1. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции, заданной следующей таблицей.
x0 = 0, | x1 = 1, | x2 = 2, | x 3 = 5, |
y0 = 2, | y1 = 3, | y2 = 12, | y 3 = 147. |
Заменив переменные xi, yi (i = ) их числовыми значениями, получим интерполяционный многочлен
Интерполирование по формуле Лагранжа связано с большим объемом вычислений, значительная часть которых повторяется при получении нескольких значений Pn(x) для одной функции f(x). В том случае, когда формула Лагранжа используется для многократного получения значений одной функции при различных значениях аргумента, можно значительно уменьшить объем вычислений. Для этого формула Лагранжа представляется в виде
Произведение элементов i-й строки обозначается через Ki. Отсюда лагранжевы коэффициенты вычисляются по формуле
где Пn+1(x) = (x - x0)(x - x1)…(x - xn) - произведение элементов главной диагонали таблицы (эти элементы подчеркнуты). Тогда формула Лагранжа принимает вид:
Использование формулы (2) позволяет сократить значительную часть вычислений по определению лагранжевых коэффициентов Li(n)(x) при различных значениях аргумента. Для этого произведение элементов i-й строки таблицы разностей представляется как Ki = (x – xi)Di, где Di - произведение всех элементов строки, кроме расположенного на главной диагонали. Величина Di (i=) не зависит от значения аргумента x и может быть вычислена для заданной функции только один раз.
... при построении итерационных методов решения уравнения =0. Например взяв за корень линейного интерполяционного алгебраического многочлена, построенного по значениям и в узле или по значениям и в узлах и , приходят соответственно к методу Ньютона и метода секущих , где - разделенная разность функций для узлов и . Другой подход к построению численных методов решения уравнения ...
... она одновременно проходила через все точки. Поскольку приближенное уравнение изгиба пружинистого бруса имеет вид , то можно допустить, что ее форма между узлами есть алгебраический полином 3-й степени. Вероятно, интерполирующую функцию между каждыми двумя узлами можно взять, например, в таком виде: (*) . Неизвестные коэффициенты ai, bi, ci, di найдем с условий в узлах интерполяции. ...
... видно, с ростом числа измерений различие между результатами, вычислениями по распределению Стьюдента и по нормальному распределению уменьшается. Контрольные вопросы 1. Цель математической обработки результатов эксперимента; 2. Виды измерений; 3. Типы ошибок измерения; 4. Свойства случайных ошибок; 5. Почему среднеарифметическое значение случайной величины при нормальном законе ее ...
... Как видно, с ростом числа измерений различие между результатами, вычислениями по распределению Стьюдента и по нормальному распределению уменьшается. Контрольные вопросы Цель математической обработки результатов эксперимента; Виды измерений; Типы ошибок измерения; Свойства случайных ошибок; Почему среднеарифметическое значение случайной величины при нормальном законе ее распределения является ...
0 комментариев