Приложение теории комплексных чисел к решению уравнений

2.4. Приложение теории комплексных чисел к решению уравнений

3- и 4-й степени

Рассмотрим решение кубического уравнения

 (1)

на конкретном примере.

Пример 1. Решите уравнение

.

Решение. Приведем сначала наше уравнение к уравнению, не содержащему квадрат неизвестной (такое уравнение называется приведенным), т.е. к уравнению вида:

,

для чего произведем подстановку:

Получим уравнение:

.

Раскрыв скобки и приведя подобные члены, приходим к уравнению:

,

где ,  и

(Замечание.

Переход к приведенному кубическому уравнению можно осуществить с помощью схемы Горнера, разложив многочлен  по степеням двучлена )

Для корней кубического уравнения

 (2)

имеется так называемая формула Кардано, хотя правильнее было бы ее называть формулой дель Ферро – Тартальи - Кардано.

Впервые приведенное кубическое уравнение

решил профессор Болонского университета Сципион дель Ферро в конце XV века. Затем в 1535 году те же формулы были выведены Николо Тартальей. Наконец, в 1545 году решение уравнения (1) было изложено в книге Джероламо Кардано "Ars Magna" ("Великое искусство").

Формулы Кардано имеют вид:

,

где  – значения радикала

Практически корни  находятся проще.

Пусть  – одно (любое) значение радикала u. Тогда два других значения можно найти следующим образом:

;

где e1 и e2 – значения корня кубического из 1 , т.е.

 

Если вычислитьто получим:

; .

Действительно,

Аналогично доказывается равенство .

Подставляя полученные значения  и  в формулу

,

находим практические формулы:

;

;

.

В нашем случае:

Таким образом, положим . Тогда

следовательно,

, , .

Из последних равенств, учитывая, что  получаем:

, , .

Ответ: ; ; .

Для приведенного кубического уравнения

 (3)

дискриминант вычисляется по формуле:

.

При этом:

а) если , то уравнение (3) имеет один действительный и два комплексно сопряженных корня;

б) если , то уравнение (3) имеет три действительный корня, два из которых равны;

в) если , то уравнение (3) имеет три различных действительный корня.

Таким образом, в любом случае уравнение (3) с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень.

 Рассмотрим решение уравнения 4-й степени методом Феррари на конкретном примере.

Пример 2. Решите уравнение

Решение.

Оставим в левой части уравнения члены, содержащие и :

.

Дополним левую часть полученного уравнения до полного квадрата:

,

или

 (1)

Введем в полный квадрат левой части равенства (1) параметр r:

Откуда с учетом равенства (1) получим:

 (2)

Подберем значение параметра r таким образом, чтобы дискриминант правой части равенства (2) обратился в нуль (т.е. чтобы в правой части равенства (2) также получился полный квадрат).

Дискриминант D равен нулю тогда и только тогда, когда число r является корнем уравнения:

;

.

В частности, , если .

Подставив значение  в равенство (2), получим:

,

или

.

Откуда,

,

,

 или .

Следовательно,

; ;

;

Ответ: ; ; ;

Задача 69. Решите уравнение .

Решение

Данное уравнение – приведенное. Здесь , . Следовательно,

.

Для извлечения кубического корня из комплексного числа

представим его в тригонометрической форме:

,

поэтому , где

При  получаем:

.

Значит,

,

поэтому .

Следовательно,

, , .

Ответ: 2; ; .

Задача 70. Решите уравнение .

Решение

Положив , получаем приведенное уравнение относительно неизвестной переменной y:

.

По формулам Кардано:

.

Легко видеть, что .

Следовательно, число  является одним из значений кубического

корня из комплексного числа  (тот же результат получается, если применить формулу извлечения корня n-й степени из комплексного числа).

Таким образом, , , тогда

, .

Итак, ,

,

.

Отсюда находим корни квадратного уравнения:

,

,

.

Ответ: ; ;

.

Задача 71. Не решая следующие уравнения, определите характер корней каждого их них:

а) ;

б) ;

в) .

Решение.

а) .

Дискриминант , т.е. , то уравнение имеет один действительный и два комплексно сопряженных корня.

 б) .

Переходя к приведенному кубическому уравнению, получаем:

 (б*). Откуда дискриминант , т.е. , то уравнение (б*), а, значит, и (б) имеет три различных действительный корня.

в) .

Переходя к приведенному кубическому уравнению, получаем:  (в*). Отсюда , , то уравнение (в*), а, значит, и уравнение (в) имеет один действительный и два комплексно сопряженных корня.

Ответ: а) один действительный и два комплексно сопряженных корня; б) три различных действительный корня; в) один действительный и два комплексно сопряженных корня.

Задача 72. Решите уравнения: а) ;

б) .

Решение.

а) .Переходя к приведенному кубическому уравнению с помощью подстановки , получим уравнение:

, где , .

Зная, что:

;

;

.

По формулам Кардано:

 

Таким образом, получаем , значит , , , .

Следовательно, ; ; .

Откуда, , , .

б) .

Переходить к приведенному кубическому уравнению не нужно, так как исходное уравнение само является приведенным, причем , .

Таким образом, получаем: , .

Тогда , , , .

Следовательно, , .

Ответ: а) , , ;

б) , .

Задача 73. Решите уравнения: а) ;

б) .

Решение.

а) Преобразуем уравнение  (а) по методу Феррари: ,

,

. (а*)

Введем в полный квадрат левой части равенства параметр r:

Откуда с учетом равенства (а*) находим:

,

(а**).

Теперь подберем такое значение параметра r, чтобы дискриминант

правой части равенства (а**) обратился в нуль.

Дискриминант D равен нулю тогда и только тогда, когда число r является корнем уравнения:

;

;

.

В частности, , если .

Подставив найденное значение в равенство (а*), получим:

, или .

Откуда, ,

,

 или .

Следовательно, ; ; ; .

б) .

Преобразуем это уравнение по методу Феррари:

,

,

. (б*)

Введем в полный квадрат левой части равенства параметр r:

Откуда с учетом равенства (б*) находим:

(а**).

Подберем такое значение параметра r, чтобы дискриминант квадратного трехчлена в правой части равенства (а**) обратился в нуль.

Легко видеть, что дискриминант D равен нулю, если . следовательно, подставив значение  в равенство (б**), получим:

;

.

Откуда, ,

 или .

Следовательно,

; ; ; .

Ответ: а) ; .

б) ; 3; 1.