Конечные группы с заданными перестановочными подгруппами

Курсовая работа

"Конечные группы с заданными -перестановочными подгруппами"

 

 

Содержание

Перечень условных обозначений

Введение

1. Необходимые определения и обозначения

2. Используемые результаты

3. Определения, примеры и общие свойства -перестановочных подгрупп

4. Конечные группы с заданными -перестановочными подгруппами

Заключение

Список использованных источников

Перечень условных обозначений

 – знак строгого включения множеств;

 – знак включения множеств;

 – принадлежность элемента множеству;

 – объединение множеств;

 – пересечение множеств;

 –  является подгруппой группы ;

 –  является собственной подгруппой группы ;

 –  является максимальной подгруппой группы ;

 –  является нормальной подгруппой группы ;

 –  является субнормальной подгруппой группы ;

 –  является минимальной нормальной подгруппой группы ;

Скобки  применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.

 – подгруппа, сопряжённая подгрупп  посредством элемента ;

 – циклическая группа порядка ;

 – симметрическая группа степени ;

 – ядро подгруппы  в группе , т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с  в ;

 – подгруппа, порожденная всеми подгруппами, сопряженными с подгруппой  из  элементами  из , то есть ;

 – централизатор множества T в группе G;

 – центр группы G;

 – нормализатор подгруппы  в группе ;

 – наибольшая нормальная подгруппа нечетного порядка группы ;

 – наибольшая нормальная –подгруппа группы ;

 – –холловская подгруппа группы ;

 – силовская –подгруппа группы ;

 – дополнение к силовской –подгруппе в группе , т.е. –холловская подгруппа группы ;

 – группа G изоморфна группе ;

Пусть  – группа,  и , тогда:

 – правый смежный класс,

 – левый смежный класс;

 – правая трансверсаль подгруппы

в группе ;

 – левая трансверсаль подгруппы

в группе ;

 – индекс подгруппы  в группе ;

 – порядок группы G;

Пусть и  – подгруппы группы  и , тогда:

 – двойной смежный класс группы  по подгруппам

 и ;

 – факторгруппа группы  по подгруппе ;

 – прямое произведение подгрупп A и B;

 – цоколь группы ;

 – коммутатор элементов  и ;

 – коммутант группы G;

 – множество всех простых чисел;

 – дополнение к  во множестве , где  – некоторое множество простых чисел;

–-длина группы .

Введение

Напомним, что подгруппа  группы  перестановочна с подгруппой , если . Если  перестановочна со всеми подгруппами группы , то она называется перестановочной [6] или квазинормальной в  [7].

Так как для двух перестановочных подгрупп  и  произведение  также является подгруппой в , то понятие перестановочных подгрупп является одним из наиболее важных обобщений понятия нормальных подгрупп.

Перестановочные подгруппы имеют много интересных свойств. Как известно, например, что каждая перестановочная подгруппа является восходящей [8] и, если она является перестановочной подгруппой в некоторой конечной порождённой группе , то  субнормальна в  [8].

Но фактически эти два результата были получены как обобщения следующего наблюдения: каждая перестановочная подгруппа конечной группы является субнормальной [7].

Разрабатывая этот результат Ito и Szep доказали, что для каждой перестановочной подгруппы  конечной группы ,  – нильпотентна [9].

Немного позже было доказано, что при таких условиях,  [18].

При некоторых естественных условиях мы встречаемся с ситуацией, когда некоторые подгруппы  и  группы  неперестановочны, но существует подгруппа  такая, что  для некоторого .

Основываясь на этом наблюдении мы дадим следующие определения.

Определение 1 Пусть ,  – подгруппы группы  и . Тогда мы говорим, что:

(1)  является -перестановочной с , если для некоторого  имеем .

(2) является наследственно -перестановочной с , если  для некоторого .

Заметим, что  – перестановочные подгруппы также являются перестановочными подгруппами. Во втором приведённом случае мы имеем дело с -перестановочными подгруппами, которые были исследованы и использованы в [].

Определение 2 Подгруппа  группы  называется (наследственно) -перестановочной, если она (наследственно) перестановочна со всеми подгруппами группы .

Целью данной работы является изложение некоторых известных разделов теории перестановочных подгрупп, изучение и применение некоторых свойств -перестановочных подгрупп.