Используемые результаты

2. Используемые результаты

 

Теорема 2.1 Конечная группа  тогда и только тогда непроста, когда она содержит такие подгруппы  и , , что  перестановочна с каждой сопряжённой с  в  подгруппой , и, кроме того, .  или  тогда содержаться в некотором собственном нормальном делителе группы .

Теорема 2.2 (Бернсайда) Группа  порядка  разрешима для любых .

Теорема 2.3 (Томпсона – Фейта) Группы нечётного порядка разрешимы.

Теорема 2.4 (Теорема о соответствии) Пусть  – нормальная подгруппа группы . Тогда:

(1) если  – подгруппа группы  и , то  – подгруппа факторгруппы ;

(2) каждая подгруппа факторгруппы  имеет вид , где  – подгруппа группы  и ;

(3) отображение  является биекцией множества S на множество S;

(4) если  S, то  – нормальная подгруппа группы  тогда и только тогда, когда  – нормальная подгруппа факторгруппы .

Теорема 2.5 (Силов) Пусть конечная группа  имеет порядок , где  – простое число и  не делит . Тогда справедливы следующие утверждения:

(1) в группе  существует подгруппа порядка  для каждого ;

(2) если  – -подгруппа группы  и  – подгруппа порядка , то существует такой элемент , что ;

(3) любые две подгруппы порядка  сопряжены в группе ;

(4) число подгрупп порядка  в группе  сравнимо с единицей по модулю  и делит .

Лемма 2.6 Пусть конечная группа  имеет порядок , где  – простое число и  не делит . Тогда:

(1) существует силовская -подгруппа и её порядок равен ;

(2) каждая -подгруппа содержится в некоторой силовской -подгруппе;

(3) любые две силовские -подгруппы сопряжены;

(4) число силовских -подгрупп сравнимо с единицей по модулю  и делит .

Теорема 2.7 Для конечной группы  и её силовской -подгруппы  справедливы следующие утверждения:

(1) если , то  – силовская -подгруппа в , а  – силовская -подгруппа в ;

(2) ;

(3) если  и , то

и

(4) пусть  – все простые делители порядка группы   при , и пусть  – соответствующие им силовские подгруппы. Тогда

а если , то .

Теорема 2.8 Пусть группа  является прямым произведением своих подгрупп  и . Тогда:

(1) каждый элемент  единственным образом представим в виде , где , ;

(2) каждый элемент подгруппы  перестановочен с каждым элементом подгруппы .

Обратно, если выполняются требования (1) и (2), то , подгруппы  и  нормальны в , и .

Теорема 2.9

(1) В каждой группе минимальная нормальная подгруппа характеристически простая.

(2) Характеристически простая группа является прямым произведением изоморфных простых групп.

Теорема 2.10 Для группы  следующие требования эквивалентны:

(1)  – нильпотентная группа;

(2)  – прямое произведение своих силовских подгрупп;

(3) каждая собственная подгруппа отлична от своего нормализатора;

(4) все максимальные подгруппы нормальны;

(5) все подгруппы группы  субнормальны.

Теорема 2.11

(1) В разрешимой неединичной группе минимальная нормальная подгруппа является элементарной абелевой -подгруппой для некоторого простого .

(2) В разрешимой неединичной группе максимальные подгруппы имеют примарные индексы.

(3) Главные факторы разрешимой неединичной группы являются элементарными абелевыми примарными группами.

(4) Композиционные факторы разрешимой неединичной группы имеют простые порядки.

Теорема 2.12

(1) Если группа  содержит нормальную циклическую подгруппу  и факторгруппа  сверхразрешима, то группа  сверхразрешима.

(2) Если факторгруппа  сверхразрешима, то группа  сверхразрешима.

(3) Нильпотентная группа сверхразрешима.

Лемма 2.13 Пусть  – разрешимая группа. Тогда имеют место следующие утверждения:

(1)  имеет силовские системы и всякие две силовские системы группы  сопряжены в .

(2) Если  и  будет силовской системой в , тогда существует силовская система , такая что  для всех .

(3) Если  – силовская система в  и . Тогда  покрывает каждый центральный главный ряд группы .

Лемма 2.14 Пусть  разрешимая группа, тогда:

(1)  имеет картерову подгруппу и любые две картеровы подгруппы из  сопряжены;

(2) ;

(3) если  и цоколь  – минимальная нормальная подгруппа группы , тогда

где .

Лемма 2.15 Пусть  – группа, . Тогда справедливы следующие утверждения:

(1) Если  сверхразрешима, то  и  является -замкнутой, где  – наибольший общий делитель ;

(2) Если ,  сверхразрешимы, то  является сверхразрешимой;

(3)  сверхразрешима, тогда и только тогда, когда  является простым для каждой максимальной подгруппы  группы .

Лемма 2.16 Если  и  – абнормальная подгруппа группы . То справедливы следующие утверждения:

(1)  абнормальна в .

(2) Если , то  абнормальна в .

Лемма 2.17. Если  и  – простое число, то существует такие силовские -подгруппы ,  и  в ,  и  соответственно, для которых .

Лемма 2.18. Пусть ,  подгруппы группы  и . Тогда  для всех .

3. Определения, примеры и общие свойства -перестановочных подгрупп

Напомним, что подгруппа  группы  перестановочна с подгруппой , если . Если  перестановочна со всеми подгруппами группы , то она называется перестановочной [] или квазинормальной в  [].

Так как для двух перестановочных подгрупп  и  произведение  также является подгруппой в , то понятие перестановочных подгрупп является одним из наиболее важных обобщений понятия нормальных подгрупп.

Перестановочные подгруппы имеют много интересных свойств. Как известно, например, что каждая перестановочная подгруппа является восходящей [] и, если она является перестановочной подгруппой в некоторой конечной порождённой группе , то  субнормальна в  [].

Но фактически эти два результата были получены как обобщения следующего наблюдения: каждая перестановочная подгруппа конечной группы является субнормальной [].

Разрабатывая этот результат Ito и Szep доказали, что для каждой перестановочной подгруппы  конечной группы ,  – нильпотентна [].

Немного позже было доказано, что при таких условиях,

 [].

При некоторых естественных условиях мы встречаемся с ситуацией, когда некоторые подгруппы  и  группы  неперестановочны, но существует подгруппа  такая, что  для некоторого .

Основываясь на этом наблюдении мы дадим следующие определения.

Определение 3.1 Пусть ,  – подгруппы группы  и . Тогда мы говорим, что:

(1)  является -перестановочной с , если для некоторого  имеем .

(2) является наследственно -перестановочной с , если  для некоторого .

Заметим, что -перестановочные подгруппы будут являются просто перестановочными подгруппами. Во втором приведённом случае мы имеем дело с -перестановочными подгруппами, которые были исследованы и использованы в [].

Рассмотрим следующих три основных примера:

Пример 3.2 Пусть  – конечная группа,  – силовская -подгруппа ,  – силовская -подгруппа . Тогда в общем случае , но существует  такой, что  – силовская -подгруппа группы .

Подгруппа  конечной группы  называется нормально погружённой, если каждая её силовская подгруппа является силовской подгруппой в некоторой нормальной подгруппе группы .

Пример 3.3 Пусть  – конечная разрешимая группа,  и  – нормально погружённые подгруппы группы . Тогда  является -перестановочной с .

Определение 3.4 Подгруппа  группы  называется (наследственно) -перестановочной, если она (наследственно) -перестановочна со всеми подгруппами группы .

Пример 3.5. Пусть , где  и  – симметричная группа из 3 символов. Ясно, что  не является перестановочной ( для всех не тождественных элементов ). В тоже время  – наследственно -перестановочна.

Рассмотрим теперь общие свойства -перестановочных подгрупп, изложенные в следующей теореме.

Теорема 3.6 Пусть , ,  подгруппы группы  и . Тогда справедливы следующие утверждения:

(1) Если  (наследственно) -перестановочна с , то  (наследственно) -перестановочна с ;

(2) Если  (наследственно) -перестановочна с , то  (наследственно) -перестановочна с  для всех ;

(3) Если  и  (наследственно)

-перестановочна с , тогда  (наследственно) -перестановочна с  в ;

(4) Если  и  (наследственно)

-перестановочна с  в , тогда  (наследственно) -перестановочна с ;

(5) Если ,  наследственно

-перестановочна с , то  наследственно -перестановочна;

(6) Если  (наследственно) -перестановочна с  и , то  (наследственно) -перестановочна с ;

(7) Если  -перестановочна с  и , то  -перестановочна с .

Доказательство:

Утверждения (1), (2), (5), (6) и (7) очевидны.

(3) Пусть  – элемент из  (элемент ) такой что . Тогда

в  и если , тогда

Таким образом подгруппа  – (наследственно) -перестановочна с  в .

Аналогично можно доказать утверждение (4).

Ч.т.д.

4. Конечные группы с заданными -перестановочными подгруппами

Используя понятие  – перестановочности мы рассмотрим новые характеристики классов сверхразрешимых, нильпотентных и разрешимых групп.

Далее мы докажем р-разрешимость конечных групп, в которых собственные подгруппы фиксированного порядка некоторой силовской р-подгруппы перестановочные с каждой силовской подгруппой, порядок которой взаимно прост с р.

Используем следующие обозначения:

 – силовская р-подгруппа группы  и .

 – подгруппа из  и , где  – натуральное число.

 – максимальная подгруппа силовской р-подгруппы .

Остальные обозначения и определения смотри в .

Теорема 4.1. , силовская -подгруппа , -перестановочна с каждой силовской подгруппой из , порядок которой взаимно прост с . Тогда  -разрешима.

Доказательство: Для доказательства леммы применим индукцию по порядку группы .

Пусть  – силовская -подгруппа группы ,

-перестановочная со всеми силовскими подгруппами  группы , порядки которых взаимно просты с .

Предположим . Применяя теорему 3.6 видим, что условие данной теоремы переносится на фактор-группы. Значит мы можем считать, что  – разрешимая группа, что влечёт разрешимость группы . Пусть теперь  тогда, по теореме 2.1 группа  непроста.

Докажем, что любая инвариантная в  подгруппа

-разрешима.

Возьмём подгруппу , инвариантную в , и будем рассматривать подгруппу . Имеем два случая:

1) .

В этом случае . Тогда все -подгруппы для  содержатся в . Подгруппа  -силовская в . Следовательно, имеем

и, согласно индукции,  -разрешима.

2) Пусть .

В этом случае подгруппы  являются

-силовскими в , а  – -силовскими в .

Из  по индукции имеем, что  -разрешима и, следовательно,  -разрешима.

Так как для  условия теоремы выполняются, то по индукции имеем -разрешимость  и .

Теорема доказана.

Теорема 4.2. Пусть  – силовская -подгруппа ,  и каждая максимальная подгруппа  из  перестановочна с каждой силовской подгруппой из , порядок которой взаимно прост с . Тогда  -разрешима.

Доказательство: проведём методом индукции по порядку группы .

Если р-силовская подгруппа  группы  не является циклической, то она содержит две различные максимальные подгруппы  и . Тогда, используя условия теоремы, имеем

Отсюда, согласно теореме 4.1,  p-разрешима.

Пусть  – циклическая подгруппа и  – максимальная подгруппа из .

Предположим . Применяя теорему 3.6 видим, что условие данной теоремы переносится на фактор-группы. Значит мы можем считать, что  – разрешимая группа, что влечёт разрешимость группы . Пусть теперь , тогда по теореме 2.1 группа  непроста.

Пусть  – инвариантная подгруппа , тогда  для  и

Подгруппа  перестановочна с подгруппой .

Действительно,

Если  является силовской р-подгруппой в , то по теореме 4.1  p-разрешима, а следовательно, и  p-разрешима.

Если  не является силовской в , то она максимальная в силовской подгруппе . В том случае, когда , по индукции  и  p-разрешимы.

Когда . По подсчёту порядков имеем

и  – максимальная подгруппа в силовской р-подгруппе из .

Если , то выполняются для подгруппы  условия теоремы в виду

следовательно, по индукции  p-разрешима.

В случае  имеем

и из факторизации  следует , что для циклической  невозможно.

Мы показали, что существует р-разрешимая инвариантная подгруппа группы . Тогда минимальная инвариантная подгруппа  группы  – либо р-подгруппа, либо -подгруппа.

Пусть  – -подгруппа, тогда, согласно индукции, теорема верна.

Если  – -подгруппа, то  будет порядка  ввиду цикличности . Централизатор  содержит . Как ранее показано, любая инвариантная подгруппа группы  p-разрешима, поэтому из р-разрешимости  и  следует р-разрешимость группы .

Если , т.е.  единственная значит  является p-разрешимой.

Теорема доказана.

Теорема 4.3 Пусть в группе G P – силовская р-подгруппа,  . Если для некоторого фиксированного натурального числа  подгруппа   с каждой силовской подгруппой из G, порядок которой взаимно прост с р, то G p-разрешима с .

Доказательство:

Докажем теорему методом индукции по порядку группы G. Пусть G – минимальный контрпример, т.е. для всех групп порядков меньше  теорема верна. Покажем справедливость её для группы G.

Вначале покажем, что в группе G нет инвариантных -подгрупп. Действительно, пусть N – такая подгруппа, то, так как для  условия теоремы выполняются,  и G будут р-разрешимы.

По теореме 2.1 группа G непроста.

Покажем, что любая инвариантная в G подгруппа N р-разрешима. Пусть N – инвариантная подгруппа группы G, индекс которой в G равен степени р. Тогда  для любой силовской подгруппы Q, порядок которой взаимно прост с р. Выберем в P такую максимальную подгруппу , чтобы , и рассмотрим подгруппу .

Если , то для подгруппы  условия теоремы выполняются.

Действительно, возьмём подгруппу , имеем

и

Следовательно, подгруппа , а также подгруппа  р-разрешимы.

Если , то по Теореме 4.2 сама группа

p-разрешима.

Пусть индекс подгруппы  в группе  не равен степени р, тогда

Рассмотрим подгруппу . Для  условия теоремы выполняются. Пусть  – подгруппа порядка  из Р, тогда имеем

и

Итак, подгруппа  р-разрешима и, следовательно,

 p-разрешима.

Так как в группе G отсутствуют инвариантные -подгруппы, то G содержит инвариантную р-подгруппу.

Возьмём в группе G минимальную инвариантную подгруппу  с . Если , то пусть  – инвариантная в  подгруппа порядка  и . Тогда  инвариантна в  для любой силовской подгруппы  группы  порядка, взаимно простого с р, и  инвариантна в , что противоречит минимальности подгруппы . Таким образом, . В том случае, когда  для , условия теоремы выполняются и , а следовательно, и  p-разрешимы. Следовательно, .

В том случае, когда , по Теореме 4.2 имеем р-разрешимость . Следовательно, можно предположить, что .

Предположим, что . В этом случае всякая подгруппа  группы , содержащая , не является циклической и, следовательно содержит две различные максимальные подгруппы  и  порядка . В связи с тем, что  перестановочна со всякой силовской подгруппой , для , т.е.

подгруппы  группы  перестановочны с .

Таким образом, для подгрупп порядка р условия теоремы для  выполняются и по индукции получаем р-разрешимость  и .

Итак, имеем  и, следовательно . Отсюда следует, что  циклическая.

Если , то, так как  инвариантна в группе , она р-разрешима и также  p-разрешима. Таким образом, , т.е.

.

Группа  не содержит инвариантных -подгрупп, следовательно,  является р-группой. Если все подгруппы порядка р содержатся в , то  p-разрешима. Тогда можно предположить, что в  содержится подгруппа , не принадлежащая .

Пусть имеются  такие, что . Тогда, так как  перестановочна с любой  порядка, взаимно простого с p, по Теореме 4.1  p-разрешима.

Следовательно ,  и  перестановочна со всеми сопряжёнными подгруппами с . Рассмотрим фактор-группу . Согласно Теореме 2.1 группа  содержит собственную инвариантную подгруппу.

Если  минимальная инвариантная подгруппа группы , то, так как  p-разрешима,  либо -группа, либо р-группа.

Пусть  – -группа, тогда  и  является характеристической подгруппой в  и поэтому инвариантна в группе . Получили противоречие, так как в группе  нет инвариантных -подгрупп. Следовательно,  – элементарная абилева р-группа.

Из  следует, что . Группы

циклические. Отсюда следует, что в группе  все силовские q-подгруппы для  циклические.

Так как , то  имеет циклическую силовскую 2-подгруппу и по теореме Бернсайда  имеет инвариантное 2-дополнение, а по теореме Томпсона-Фейта  будет разрешимой.

Из р-разрешимости  следует р-разрешимость . Из р-разрешимости следует существование в  p-дополнения .

Из условия теоремы следует, что подгруппы  из силовской р-подгруппы  перестановочны с . По Теореме 2.1 .

Теорема доказана.

Теорема 4.4 Группа  сверхразрешима тогда и только тогда, когда каждая её циклическая подгруппа -перестановочна с каждой максимальной подгруппой группы .

Теорема 4.5 Группа  является нильпотентной тогда и только тогда  имеет нильпотентную абнормальную подгруппа  такую, что каждые две силовские подгруппы группы  – -перестановочны.

Доказательство:

Предположим, что утверждение ложно и пусть группа  имеет минимальный порядок. Тогда

(1)  – нильпотентна для нормальной подгруппы  группы .

Пусть  И  силовская -подгруппы в  и силовская -подгруппа в  соответственно. Пусть  силовская -подгруппа в  и  силовская -подгруппа в . Тогда  и  – силовские подгруппы группы . Следовательно по предположению, что  и  – -перестановочные, а также по Теореме 3.6  – -перестановочна с .  является нильпотентной подгруппой в  и по Лемме 2.16  абнормальна в . Таким образом, наше предположение верно для . Поскольку ,  – нильпотентная по выбору группы .

(2)  для каждой силовской подгруппы  группы .

Для любого  существует элемент  такой, что , а также . Следовательно, .

(3)  является разрешимой.

Пусть  – простой делитель  и  силовская -подгруппа в . Пусть  силовская -подгруппа в . Тогда по второму пункту доказательства , где , тогда по Лемме 2.17 , и следовательно . Так как  – нильпотентная, то , а также . Таким образом,  имеет абелеву минимальную нормальную подгруппу. По (1)  – сверхразрешима, отсюда получаем (3).

(4) , где  – нильпотентная максимальная подгруппа группы  и  является максимальной нормальной подгруппой в , где .

В виду (1) и Леммы 2.15  имеет уникальную минимальную нормальную подгруппу  и . Теперь используя Лемму 2.14 мы получаем (4).

(5) Конечное противоречие.

По предположению  абнормальна в , таким образом  по Лемме 2.16  – картерова подгруппа в . Ясно, что  также является картеровой подгруппой в . Следовательно, по Лемме 2.14 получаем , для некоторого . Теперь предположим, что  – силовская -подгруппа в , где  – простой делитель , отличный от . Тогда , и по (2), , что противоречит Лемме 2.18.

Теорема доказана.

Заключение

Таким образом, в данной работе мы изучили конечные группы с заданными -перестановочными подгруппами, в частности доказали следующие три новых признака p-разрешимости конечных групп

Теорема , силовская -подгруппа , -перестановочна с каждой силовской подгруппой из , порядок которой взаимно прост с . Тогда  -разрешима.

Теорема Пусть  – силовская -подгруппа ,  и каждая максимальная подгруппа  из  перестановочна с каждой силовской подгруппой из , порядок которой взаимно прост с . Тогда  -разрешима.

Теорема Пусть в группе G P – силовская р-подгруппа,  и . Если для некоторого фиксированного натурального числа  каждая подгруппа  порядка  перестановочна с каждой силовской подгруппой из G, порядок которой взаимно прост с р, то G p-разрешима с .

Список использованных источников

Скиба А.Н. «Решётки и универсальные алгебры». Гомель 2003 год.

Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. «Основы теории групп». М.:наука: 1972 год.

Холл Ф. «Теория групп». М.: ИЛ, 1962 год.

Селькин М.В. «Максимальные подгруппы в теории классов конечных групп». Мн.: Беларуская навука. 1997 год.

Монахов В.С. «Введение в теорию групп и их классов». Гомель 2003 год.

K. Doerk and T. Hawkes, «Finite soluble grousp», Walter de gruyter, Berlin/New York, 1992.

O. Ore, Contributions in the theory of groups of finite order. Duke Math. J. 1939.

S.E. Stonehewer, Permutable subgroups in Infinite Groups, Math. Z., 1972.

N. Ito and J. Szйp, Uber die Quasinormalteiler von endlichen Gruppen. Act. Sci. Math. 1962.

J. Buckley, Finite groups whose minimal subgroups are normal, Math. Z. 116, 1970, 15–17.

P. Hanck, A. Martinez-Pastor and M.D. Perez-Ramos, Fitting classes and products of totally permutable groups. J. Algebra 252, 2002, 114–126.

O.H. Kegel, Producte nilpotenter Gruppen, Arch. Math. (Basel), 12, 1961, 90–93.

O.H. Kegel. Sylow-Gruppen and Subnormalteiler endlicher Gruppen, Math. Z., 87, 1962, 205–221.

Rudolf Maier, A completeness property of certain formations, Bull. London Math. Soc., 24, 1992, 540–544.

Gou Wenbin, Shum K.P., Skiba A.N. On Primitive Subgroups. – 2003. – (Препринт/ ГГУ им. Ф. Скорины; №51)

Боровиков М.Т. О р-разрешимости конечной группы. Мн.:Наука и техника, 1986.