Классы конечных групп F, замкнутые относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины"

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

КЛАССЫ КОНЕЧНЫХ ГРУПП , ЗАМКНУТЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОБОБЩЕННО СУБНОРМАЛЬНЫХ -ПОДГРУПП

Курсовая работа

Исполнитель:

Студентка группы М-43 МОКЕЕВА О. А.

Научный руководитель:

доктор ф-м наук, профессор Семенчук В.Н.

Гомель 2008

Содержание

Перечень условных обозначений

Введение

1 Некоторые базисные леммы

2 Критерий принадлежности факторизуемой группы

классическим классам конечных групп

3 Сверхрадикальные формации

Заключение

Список использованных источников

Перечень условных обозначений

Рассматриваются только конечные группы. Вся терминология заимствована из [44, 47].

 --- множество всех натуральных чисел;

 --- множество всех простых чисел;

 --- некоторое множество простых чисел, т. е. ;

 ---

дополнение к  во множестве всех простых чисел; в частности, ;

примарное число --- любое число вида .

Буквами  обозначаются простые числа.

Пусть  --- группа. Тогда:

 --- порядок группы ;

 ---

множество всех простых делителей порядка группы ;

-группа --- группа , для которой ;

-группа --- группа , для которой ;

 --- коммутант группы , т. е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;

 --- подгруппа Фиттинга группы , т. е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;

 --- наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа группы ;

 --- подгруппа Фраттини группы , т. е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;

 --- наибольшая нормальная -подгруппа группы ;

 --- -холлова подгруппа группы ;

 --- силовская -подгруппа группы ;

 --- дополнение к силовской -подгруппе в группе , т. е. -холлова подгруппа группы ;

 --- нильпотентная длина группы ;

 --- -длина группы ;

 --- минимальное число порождающих элементов группы ;

 --- цоколь группы , т. е. подгруппа, порожденная всеми минимальными нормальными подгруппами группы ;

 --- циклическая группа порядка .

Если  и  --- подгруппы группы , то :

 ---  является подгруппой группы ;

 ---  является собственной подгруппой группы ;

 ---  является нормальной подгруппой группы ;

 --

- ядро подгруппы  в группе , т. е. пересечение всех подгрупп, сопряженных с  в ;

 --- нормальное замыкание подгруппы  в группе , т. е. подгруппа, порожденная всеми сопряженными с  подгруппами группы ;

 --- индекс подгруппы  в группе ;

;

 --- нормализатор подгруппы  в группе ;

 --- централизатор подгруппы  в группе ;

 --- взаимный коммутант подгрупп  и ;

 --- подгруппа, порожденная подгруппами  и .

Минимальная нормальная подгруппа группы  --- неединичная нормальная подгруппа группы , не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы ;

 ---  является максимальной подгруппой группы .

Если  и  --- подгруппы группы , то:

 --- прямое произведение подгрупп  и ;

 --- полупрямое произведение нормальной подгруппы  и подгруппы ;

 ---  и  изоморфны;

 --- регулярное сплетение подгрупп  и .

Подгруппы  и  группы  называются перестановочными, если .

Группу  называют:

-замкнутой, если силовская -подгруппа группы  нормальна в ;

-нильпотентной, если -холлова подгруппа группы  нормальна в ;

-разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо -группы, либо -группы;

-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо -группой, либо циклической группой;

нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;

разрешимой, если существует номер  такой, что ;

сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.

Монолитическая группа --- неединичная группа, имеющая единственную минимальную нормальную подгруппу.

-замкнутая группа --- группа, обладающая нормальной холловской -подгруппой.

-специальная группа --- группа, обладающая нильпотентной нормальной холловской -подгруппой.

-разложимая группа --- группа, являющаяся одновременно -специальной и -замкнутой.

Группа Шмидта --- это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.

Добавлением к подгруппе  группы  называется такая подгруппа  из , что .

Цепь --- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп.

Ряд подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.

Ряд подгрупп  называется:

субнормальным, если  для любого ;

нормальным, если  для любого ;

главным, если  является минимальной нормальной подгруппой в  для всех .

Класс групп --- совокупность групп, содержащая с каждой своей группой  и все ей изоморфные группы.

-группа --- группа, принадлежащая классу групп .

Формация --- класс групп, замкнутый относительно факторгрупп и подпрямых произведений.

Если  --- класс групп, то:

 --- множество всех простых делителей порядков всех групп из ;

 --- множество всех тех простых чисел , для которых ;

 --- формация, порожденная классом ;

 --- насыщенная формация, порожденная классом ;

 --- класс всех групп , представимых в виде

где , ;

;

 --- класс всех минимальных не -групп, т. е. групп не принадлежащих , но все собственные подгруппы которых принадлежат ;

 --- класс всех -групп из ;

 --- класс всех конечных групп;

 --- класс всех разрешимых конечных групп;

 --- класс всех -групп;

 --- класс всех разрешимых -групп;

 --- класс всех разрешимых -групп;

 --- класс всех нильпотентных групп;

 --- класс всех разрешимых групп с нильпотентной длиной .

Если  и  --- классы групп, то:

.

Если  --- класс групп и  --- группа, то:

 --- пересечение всех нормальных подгрупп  из  таких, что ;

 --- произведение всех нормальных -подгрупп группы .

Если  и  --- формации, то:

 --- произведение формаций;

 --- пересечение всех -абнормальных максимальных подгрупп группы .

Если  --- насыщенная формация, то:

 --- существенная характеристика формации .

-абнормальной называется максимальная подгруппа  группы , если , где  --- некоторая непустая формация.

-гиперцентральной подгруппой в  называется разрешимая нормальная подгруппа  группы , если  обладает субнормальным рядом  таким, что

(1) каждый фактор  является главным фактором группы ;

(2) если порядок фактора  есть степень простого числа , то .

 --- -гиперцентр группы , т. е. произведение всех -гиперцентральных подгрупп группы .

Введение

Вопросы, посвященные факторизации групп, в теории конечных групп занимают важное место. Под факторизацией конечной группы понимается представление ее в виде произведения некоторых еe подгрупп, взятых в определенном порядке, или попарно перестановочных. Исследуются как способы факторизации заданной группы, так и свойства групп, допускающих ту или иную заданную факторизацию.

Начало исследований по факторизации конечных групп восходит к классическим работам Ф. Холла [62, 63], посвященных изучению строения разрешимых групп. Как известно, Ф. Холлом было доказано [63], что конечная разрешимая группа допускает факторизацию при помощи некоторых своих перестановочных силовских подгрупп различных порядков (составляющих так называемую силовскую базу разрешимой группы).

Следующий важный шаг в данном направлении был сделан С.А.Чунихиным, которым был исследован ряд важных арифметических свойств конечных групп [43]. Вопросами факторизации конечных групп занималось много математиков, и развитию данного направления посвящено много научных работ известных математиков.

Кегель и Виландт [68, 75] установили, что конечная группа, факторизуемая двумя нильпотентными подгруппами разрешима. Теорема Кегеля --- Виландта послужила источником многочисленных обобщений и стимулировала дальнейшее развитие ряда вопросов, связанных с факторизациями конечных групп.

Cреди дальнейших исследований, посвященных факторизации групп, выделяются работы Л.С. Казарина [6, 7, 67], Л.А. Шеметкова [45, 46], В.С. Монахова [13, 14], А.Н. Скибы [12, 61], В.Н. Тютянова [38] и др.

Важную роль для дальнейшего строения факторизуемых групп оказала идея Гашюца о том [59], что внутреннее строение конечной группы удобно исследовать по отношению к некоторому фиксированному классу групп, названному Гашюцем насыщенной формацией.

Напомним, что насыщенной формацией конечных групп называется класс конечных групп, замкнутый относительно гомоморфных образов, подпрямых произведений и фраттиниевых расширений. Такой подход к изучению строения конечных групп привлек внимание многих специалистов по алгебре и исследования, связанные с насыщенными формациями, составили одно из доминирующих направлений современной теории классов групп.

Эффективность метода Гашюца проявилась прежде всего в том, что многие коренные свойства конечных групп имеют инвариантный характер при переходе от одной насыщенной формации к другой.

Известно, что класс нильпотентных групп  замкнут относительно произведения нормальных подгрупп. В работе [64] Хоуксом была поставлена задача об описании наследственных разрешимых формаций Фиттинга, т. е. формаций , замкнутых относительно произведения нормальных -подгрупп. Брайс и Косси в работе [53] доказали, что любая разрешимая наследственная формация Фиттинга является насыщенной. Полное решение проблемы Хоукса было получено В.Н. Семенчуком в работах [27, 30].

Развивая подход Хоукса, Л.А. Шеметков предложил изучать формации , замкнутые относительно произведения -подгрупп, обладающих некоторыми заданными свойствами. В настоящее время данная тематика активно развивается математиками Испании, Китая, Беларуси.

В теории классов конечных групп естественным обобщением понятия субнормальности является понятие -субнормальности и -достижимости. В дальнейшем такие подгруппы будем нызывать обобщенно субнормальными.

Одной из первых классификационных проблем данного направления является проблема Л.А. Шеметкова об описании наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций, т. е. формаций  с тем свойством, что любая группа , где  и  -- -субнормальные -подгруппы, принадлежит .

Данная проблема сразу привлекла пристальное внимание специалистов по теории классов конечных групп. В работе [28] В.Н. Семенчуком в классе конечных разрешимых групп получено полное решение данной проблемы. Л.А. Шеметковым и В.Н. Семенчуком в работе [33] найдены серии произвольных наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций.

Известно, что формация всех сверхразрешимых групп не замкнута относительно произведения нормальных сверхразрешимых подгрупп, но замкнута относительно произведения нормальных сверхразрешимых подгрупп взаимно простых индексов. В связи с этим возникает задача об описании наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно произведения обобщенно субнормальных (-субнормальных, -достижимых) -подгрупп, индексы которых взаимно просты.

Классифицировать наследственные насыщенные формации  с тем свойством, что любая группа , где  и  --- -субнормальные -подгруппы взаимно простых индексов, принадлежит .

В 1996 году В.Н. Тютянов в работе [38] доказал, что любая конечная группа вида , где  и  --- -нильпотентные подгруппы и индексы ,  не делятся на некоторое простое число , является -нильпотентной группой.

Естественно возникает задача об описании наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно произведения -подгрупп, индексы которых не делятся на некоторое фиксированное простое число.

В попытках решения этих и других классификационных проблем выявилась особая роль критических групп формации  ( минимальных не -групп), т. е. групп, не принадлежащих некоторому классу групп , но все собственные подгруппы которых принадлежат . Еще в 1933 году С.А. Чунихин [40] поставил задачу изучения строения группы, в зависимости от свойств ее критических подгрупп. Развивая данную идею С.А. Чунихина, Л.А. Шеметков на восьмом (Сумы, 1982 г.) и девятом (Москва, 1984 г.) Всесоюзных симпозиумах по теории групп отметил особую роль критических групп при изучении не только отдельной группы, но и при описании классов групп.

Таким образом, задача классификации наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно произведения -подгрупп, обладающих заданными свойствами, занимает важное место в современной теории классов групп. На реализацию этой актуальной задачи и направлено данное диссертационное исследование.

1. Некоторые базисные леммы

В теории конечных групп одним из основных понятий является понятие субнормальности подгрупп, введенное Виландтом в работе [73].

Напомним, что подгруппа  называется субнормальной подгруппой группы , если существует цепь подгрупп

такая, что для любого  подгруппа  нормальна в .

Естественным обобщением понятия субнормальности является понятие -субнормальности, которое для произвольных конечных групп впервые введено Л.А. Шеметковым в монографии [44].

Пусть  --- непустая формация. Подгруппу  группы  называют -субнормальной, если либо , либо существует максимальная цепь

такая, что  для всех .

Несколько другое понятие -субнормальности введено Кегелем в работе [69]. Фактически оно объединяет понятие субнормальности и -субнормальности в смысле Шеметкова.

Подгруппу  называют -субнормальной в смысле Кегеля или -достижимой, если существует цепь подгрупп

такая, что для любого  либо подгруппа  нормальна в , либо .

Для любой непустой формации  множество всех -достижимых подгрупп произвольной группы  содержит множество всех субнормальных подгрупп группы  и множество всех -субнормальных подгрупп группы . Если же  --- непустая нильпотентная формация, то множество всех -достижимых подгрупп в точности совпадает с множеством всех субнормальных подгрупп для любой группы .

В Коуровской тетради [10] Л.А. Шеметковым была поставлена проблема классификации сверхрадикальных формаций.

Напомним, что формация  называется сверхрадикальной, если она удовлетворяет следующим требованиям:

1)  --- нормально наследственная формация;

2) любая группа , где  и  --- -субнормальные -подгруппы из , принадлежит .

В.Н. Семенчуком в работе [28] в классе конечных разрешимых групп было получено полное решение данной проблемы.

В данной главе получено полное решение проблемы Шеметкова для наследственных насыщенных формаций, критические группы которых разрешимы

В данном разделе приводятся некоторые свойства критических групп (минимальных не -групп) и обобщенно субнормальных (-субнормальных и -достижимых) подгрупп, которые будут использоваться при доказательстве основных результатов диссертации.

Напомним, что критической группой формации  ( минимальной не -группой) называется группа, не принадлежащая , все собственные подгруппы которой принадлежат . Множество всех таких групп обозначают . Через  обозначают множество всех разрешимых групп, а через  --- множество всех групп, у которых -корадикал  разрешим.

1.1 Лемма. Пусть  --- насыщенная формация,  --- наследственная насыщенная формация. Если  и , где , то .

Доказательство. Пусть . По теореме 2.2.1,  --- -группа. Очевидно, что . По лемме 2.2.2, , где  --- -группа,  --- -группа и . Так как  и , то . Следовательно,  --- -группа. Пусть  --- -главный фактор . Если  --- -группа, то  -централен.

Пусть  --- -группа. По теореме 2.2.3, . Пусть  и  --- произвольная -абнормальная максимальная подгруппа группы . Тогда . Так как , то, по теореме 2.2.4, . Следовательно, . Поскольку

то . Учитывая, что , по теореме 2.2.5, имеем

где  --- максимальные внутренние локальные экраны, соответственно  и . Если , то . Отсюда и из того, что

следует . А это значит, что  -централен.

Пусть . Так как  --- насыщенная формация и , то . Следовательно,  --- -нормализатор группы . В силу того, что  покрывает , то  -централен. Следовательно, . По теореме 2.2.4, . Лемма доказана.

1.2 Лемма. Пусть  --- непустая наследственная формация. Если  --- -субнормальная подгруппа, то  --- субнормальная подгруппа.

Доказательство. Пусть  --- -субнормальная подгруппа группы . Если , то лемма очевидна. Пусть . Тогда  содержится в максимальной -нормальной подгруппе  группы . По индукции,  --- субнормальная подгруппа из . Так как  и  --- наследственная формация, то . Следовательно, , значит, . Поскольку  --- нормальная подгруппа группы , то  --- субнормальная подгруппа . Лемма доказана.

1.3 Лемма. Пусть  --- наследственная насыщенная формация,  --- -субнормальная подгруппа группы  такая, что . Тогда .

Доказательство. Пусть . Очевидно,

Так как , то по индукции . Следовательно,

Отсюда, согласно лемме 2.2.6,

Пусть . Тогда  --- цоколь группы . По лемме 3.1.2,  --- субнормальная подгруппа группы . По теореме 2.2.7, . Следовательно,  --- нормальная подгруппа группы . Тогда

По теореме 2.2.8, . Отсюда следует, что . Так как  и  --- наследственная формация, то . Получаем , т. е. . Лемма доказана.

В следующих леммах приводятся основные свойства -субнормальных подгрупп.

1.4 Лемма. Пусть  --- непустая наследственная формация. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если  --- подгруппа группы  и , то  --- -субнормальная (-достижимая) подгруппа группы ;

2) если  --- -субнормальная (-достижимая) подгруппа группы , то  --- -субнормальная (-достижимая) подгруппа  для любой подгруппы  группы ;

3) если  --- -субнормальная (-достижимая) подгруппа  и  --- -субнормальная (-достижимая) подгруппа группы , то  --- -субнормальная (-достижимая) подгруппа группы ;

4) если  и  --- -субнормальные (-достижимые) подгруппы группы , то  --- -субнормальная (-достижимая) подгруппа группы ;

5) если все композиционные факторы группы  принадлежат формации , то каждая субнормальная подгруппа группы  -субнормальна в ;

6) если  --- -субнормальная (-достижимая) подгруппа группы , то  -субнормальна (-достижима) в  для любых .

Доказательство. 1) Пусть  --- подгруппа группы  и . Так как  и  --- наследственная формация, то подгруппа  является -субнормальной подгруппой группы . Отсюда, согласно определению -субнормальной подгруппы, существует максимальная цепь

такая, что  для всех . Отсюда, с учетом леммы 2.2.6 получаем, что в группе  существует максимальная цепь

такая, что  для всех .

А это значит, что  --- -субнормальная подгруппа группы .

Пусть  --- подгруппа группы , содержащая , тогда  --- -субнормальная подгруппа группы . А так как любая -субнормальная подгруппа группы  является -достижимой в , то  --- -достижимая подгруппа группы .

2) Пусть  --- -субнормальная подгруппа группы . Тогда, по определению, существует максимальная цепь подгрупп

такая, что для любого  .

Пусть  --- некоторая подгруппа из . Рассмотрим цепь подгрупп

Так как  и формация  наследственна, то из  следует, что

Теперь, ввиду изоморфизма,

имеем . Значит, . Так как , то . Итак, . Отсюда, по определению,  --- -субнормальная подгруппа группы .

Пусть  --- -достижимая подгруппа группы . Тогда, по определению, существует цепь подгрупп

такая, что для любого  либо подгруппа  нормальна в , либо .

Пусть  --- некоторая подгруппа из . Рассмотрим цепь подгрупп:

Если подгруппа  нормальна в , то подгруппа  нормальна в . Пусть . Так как формация  наследственна, то из  следует, что

Теперь, ввиду изоморфизма,

имеем . Значит, . Так как , то . Итак, для каждого  либо подгруппа  нормальна в , либо . Отсюда, по определению,  --- -достижимая подгруппа группы .

Утверждение 3) следует непосредственно из определения -субнормальной (-достижимой) подгруппы.

Утверждение 4) следует теперь из утверждений 2) и 3).

5) Пусть все композиционные факторы группы  принадлежат формации , и пусть  --- субнормальная подгруппа группы . Тогда в группе  существует цепь подгрупп

такая, что для любого  подгруппа  нормальна в .

Согласно условию, , отсюда следует, что . А это значит, что подгруппа  -субнормальна в группе .

Утверждение 6) следует непосредственно из определения -субнормальной (-достижимой) подгруппы. Лемма доказана.

1.5 Лемма. Пусть  --- непустая формация,  и  --- подгруппы группы , причем  нормальна в . Тогда:

1) если  -субнормальна (-достижима) в , то  -субнормальна (-достижима) в  и  -субнормальна (-достижима) в ;

2) если , то  -субнормальна (-достижима) в  тогда и только тогда, когда  -субнормальна (-достижима) в .

Доказательство. Пусть  --- -субнормальная подгруппа группы . Тогда, по определению, существует максимальная цепь подгрупп

такая, что для любого  .

Рассмотрим следующую цепь подгрупп

Так как , то ввиду леммы 2.2.6, . Отсюда следует, что

Итак, для каждого  . Отсюда, по определению,  --- -субнормальная подгруппа группы .

Ввиду леммы 2.2.6,

Поэтому для любого  . Значит,  --- -субнормальная подгруппа группы .

Пусть  --- -достижимая подгруппа группы . Тогда, по опрeделению, существует цепь подгрупп

такая, что для любого  либо  нормальна в , либо . Рассмотрим следующую цепь подгрупп

Если подгруппа  нормальна в , то подгруппа  нормальна в . Пусть . Тогда ввиду леммы 2.2.6, . Отсюда следует, что . Итак, для каждого  либо подгруппа  нормальна в , либо . Отсюда, по определению,  --- -достижимая подгруппа группы .

Ввиду леммы 2.2.6, . Поэтому для любого  либо подгруппа  нормальна в , либо . Значит,  --- -достижимая подгруппа группы .

Утверждение 2) следует из 1) и леммы 2.2.6. Лемма доказана.

2 Критерий принадлежности факторизуемой группы классическим классам конечных групп

В работе [3] А.Ф. Васильевым была предложена задача об описании наследственных насыщенных формаций, замкнутых относительно произведения подгрупп  и , у которых любая силовская подгруппа -субнормальна в . В этой же работе было получено описание таких формаций в классе конечных разрешимых групп. Развитию данного направления были посвящены работы [4, 16].

В данном разделе найдены серии наследственных насыщенных формаций, не входящих в класс конечных разрешимых групп, обладающих отмеченным выше свойством.

В теории классов групп важную роль играет класс всех -групп ( --- некоторое множество простых чисел), который обозначается через . Большинство важнейших классов групп можно построить из классов вида  с помощью операций пересечения и произведения классов.

Напомним, что произведением классов групп  и  называется класс групп , который состоит из всех групп , таких, что в  найдется нормальная -подгруппа  с условием .

Пусть  --- множество всех натуральных чисел. Обозначим через  некоторое подмножество из . Пусть ,  --- некоторые множества простых чисел, а ,  --- классы всех -групп и -групп соответственно. В дальнейшем рассматриваем формации вида:

Напомним, что группа  называется -замкнутой ( -нильпотентной), если ее силовская -подгруппа (силовское -дополнение) нормальна в . Группа  называется -разложимой, если она одновременно -замкнута и -нильпотентна.

Через  обозначим дополнение к  во множестве всех простых чисел, если , то вместо  будем просто писать . Тогда  --- класс всех -нильпотентных групп,  --- класс всех -замкнутых групп,  --- класс всех -разложимых групп,  --- класс всех нильпотентных групп, где  пробегает все простые числа.

Группа  называется -нильпотентной ( -разложимой), если она -нильпотентна (-разложима) для любого простого числа  из . Классы всех -нильпотентных (-разложимых) групп можно записать в виде

Группа  называется -замкнутой, если она имеет нормальную -холлову подгруппу. Тогда  --- класс всех -замкнутых групп.

2.1 Лемма. Пусть  --- наследственная формация. Если  --- -субнормальная -подгруппа группы , то композиционные факторы группы  содержатся среди композиционных факторов групп из .

Доказательство. Если , то лемма верна. Пусть . Тогда  содержится в -нормальной максимальной подгруппе  группы . По индукции, . Так как , то . Отсюда, и из , получаем . Лемма доказана.

2.2 Лемма. Пусть  --- наследственная формация,  --- класс всех групп. Тогда формация  совпадает с формацией .

Доказательство леммы осуществляется непосредственной проверкой.

2.3 Теорема [10-A, 13-A]. Пусть  --- наследственная формация. Тогда всякая формация , представимая в виде , содержит любую группу , у которой  и силовские подгруппы из подгрупп  и  -субнормальны в .

Доказательство. Пусть  --- формация указанного вида и  --- такая группа, что , где  и любая силовская подгруппа из  и  -субнормальна в . Индукцией по порядку  докажем, что . Рассмотрим сначала случай, когда  --- класс всех групп.

Пусть  --- минимальная нормальная подгруппа из . Ясно, что любая силовская подгруппа из  и  имеет вид , , где  и  --- силовские подгруппы из  и  соответственно. Согласно лемме 3.1.5,  и  --- -субнормальные подгруппы фактор-группы . По индукции, . Так как  --- формация, то отсюда следует, что  имеет единственную минимальную нормальную подгруппу . Очевидно, что . Так как  --- насыщенная формация, то нетрудно показать, что .

Пусть  --- силовская подгруппа из . Покажем, что .

Пусть  --- абелева группа. Так как  --- -субнормальная подгруппа группы , то, согласно теореме 2.2.8, .

Пусть  --- неабелева группа. В этом случае  есть прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп и .

Рассмотрим подгруппу . Согласно лемме 3.1.5,  --- -субнормальная подгруппа группы . Пусть . Так как  и  --- собственная -субнормальная подгруппа группы , то равенство  невозможно. Итак, .

Так как  и  --- насыщенная формация, то . Отсюда следует, что

А это значит, что . Если , то . Последнее равенство невозможно, так как  согласно лемме 3.1.4 --- собственная -субнормальная подгруппа .

Итак,  --- собственная подгруппа . Если , то

Так как  и  --- наследственная формация, то . Но тогда нетрудно заметить, что .

Так как , то согласно лемме 3.1.4,  --- -субнормальная подгруппа. Так как  и  --- наследственная формация, то любая силовская подгруппа  -субнормальна в . Согласно лемме 3.1.4,  --- -субнормальная подгруппа группы . По индукции, . Отсюда следует, что  для любой .

Аналогичным образом доказывается, что  для любой , где  --- любая силовская подгруппа из . Из того, что , следует .

Рассмотрим два случая:  и .

Пусть . Покажем, что .

Если  --- абелева, то  --- примарная -группа, где . Отсюда следует, что .

Если  --- неабелева, то  есть прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп.

Так как  --- нормальная подгруппа из , то

Так как , то очевидно, что . Так как , то  для любой . Следовательно, .

Пусть теперь . Если  --- неабелева, то . Тогда . Отсюда следует, что . А это значит, что . Отсюда следует, что , где  --- любое простое число из .

Рассмотрим подгруппу , где  --- любая силовская подгруппа из .

Если , то, как и выше, получаем, что .

Если , то, как и выше, получаем, что . Отсюда следует, что , где  --- любое простое число из . Согласно лемме 2.2.9, любая силовская подгруппа  группы  есть , где  --- силовские подгруппы из  и  соответственно. Отсюда следует, что любое простое число  из  принадлежит . Следовательно, . А это значит, что .

Пусть  --- абелева группа, то . Но тогда .

Ввиду , получаем, что  для любой . А это значит, что .

Пусть теперь  --- произвольная наследственная формация и . По лемме 3.2.1, композиционные факторы группы  содержатся среди композиционных факторов групп из . Это значит, что  принадлежит .

Пусть . Так как , то ввиду леммы 3.2.2, силовские подгруппы из  и  -субнормальны в . По доказанному, . Так как , то, по лемме 3.2.2, . Теорема доказана.

2.4 Следствие (В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков [33]). Пусть  --- наследственная формация. Тогда всякая формация вида  является сверхрадикальной.

Доказательство. Пусть , где  и  --- -субнормальные -подгруппы группы . Так как  --- наследственная формация, то согласно лемме 3.1.4, любая силовская подгруппа из  (из ) -субнормальна в  (соответственно в ). Отсюда, согласно лемме 3.1.4, любая силовская подгруппа из  и из  -субнормальна в . Теперь требуемый результат следует из теоремы 3.2.3.

2.5 Следствие (В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков [33]). Формация вида  является сверхрадикальной.

2.6 Следствие. Пусть  --- формация всех -нильпотентных групп. Тогда  содержит любую группу , где  и  --- -субнормальные подгруппы группы , принадлежащие .

2.7 Следствие. Пусть  --- формация всех -замкнутых групп. Тогда  содержит любую группу , где  и  --- -субнормальные подгруппы группы , принадлежащие .

2.8 Следствие. Пусть  --- формация всех -разложимых групп. Тогда  содержит любую группу , где  и  --- -субнормальные подгруппы группы , принадлежащие .

2.9 Следствие [10-A, 13-A]. Пусть . Тогда формация  содержит любую группу , у которой  и силовские подгруппы из подгрупп  и  -субнормальны в .

2.10 Следствие [10-A, 13-A]. Пусть  --- формация всех -нильпо- тентных групп. Тогда  содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из подгрупп  и  -субнормальны в .

2.11 Следствие [10-A, 13-A]. Пусть  --- формация всех -замкнутых групп. Тогда  содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из подгрупп  и  -субнормальны в .

2.12 Следствие [10-A, 13-A]. Пусть  --- формация всех -разложимых групп. Тогда  содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из подгрупп  и  -субнормальны в .

2.13 Лемма. Пусть  --- непустая наследственная формация. Пусть все композиционные факторы группы  принадлежат . Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1)  --- -субнормальная подгруппа группы ;

2)  --- -достижимая подгруппа группы .

Доказательство. Пусть  --- -субнормальная подгруппа группы . Тогда, по определению,  --- -достижимая подгруппа группы .

Пусть  --- -достижимая подгруппа группы . Тогда существует цепь

в которой для любого  либо  нормальна в , либо .

Пусть . Уплотним участок от  до  цепи  до максимальной -цепи.

Ввиду утверждения 1) леммы 3.1.4, все подгруппы , содержащие , -субнормальны в . Пусть теперь  нормальна в . Можно считать, что  --- максимальная нормальная подгруппа  (в противном случае уплотняем участок от  до  до композиционной -цепи). Ввиду условия леммы , т. е. . Пришли к рассматриваемому выше случаю. Теперь, ввиду утверждения 1) леммы 3.1.4, подгруппа  -субнормальна в . Лемма доказана.

2.14 Лемма. Пусть  --- наследственная насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) любая группа , где  и любые силовские подгруппы из подгрупп  и  -субнормальны в , принадлежит ;

2) любая группа , где  и любые силовские подгруппы из подгрупп  и  -достижимы в , принадлежит .

Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2). Доказательство проведем индукцией по порядку группы .

Пусть  --- минимальная нормальная подгруппа группы . Очевидно, что . Пусть  --- произвольная -силовская подгруппа из . Ясно, что  --- -силовская подгруппа из . По лемме 3.1.5,  --- -достижимая подгруппа группы . Аналогичным образом доказыватся, что любая силовская подгруппа из  -достижима в . Так как , то по индукции, . Предположим, что  и  --- две различные минимальные нормальные подгруппы группы . Выше показано, что , . Так как  --- формация, то . Итак,  имеет единственную минимальную нормальную подгруппу .

Покажем, что . Предположим противное. Тогда, как и выше, с учетом индукции можно показать, что . Так как  --- наследственная формация, то . Итак, .

Рассмотрим следующие два случая.

1) Пусть  --- абелева, тогда  --- примарная группа. Так как  --- насыщенная формация и , то . Как и выше, с учетом индукции можно показать, что . Теперь, с учетом леммы 3.2.13 и условия следует, что .

2) Пусть  --- неабелева группа. В этом случае

есть прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп и .

Рассмотрим подгруппу . Согласно лемме 3.1.5,  --- -субнормальная подгруппа группы . Пусть . Так как  и  --- собственная -субнормальная подгруппа группы , то равенство  невозможно. Итак, .

Так как  и  --- насыщенная формация, то . Отсюда следует, что

А это значит, что . Если , то . Последнее равенство невозможно, так как , согласно лемме 3.1.4, собственная -субнормальная подгруппа .

Итак,  --- собственная подгруппа . Если , то

Так как  и  --- наследственная формация, то . Но тогда нетрудно заметить, что .

Согласно индукции, группа  принадлежит формации . Согласно лемме 3.2.13, любая -достижимая подгруппа является -субнормальной подгруппой. Согласно условию получаем, что группа  принадлежит .

Непосредственно из определения -субнормальности и -достижимости из 2) следует 1). Лемма доказана.

Непосредственно из данной леммы и теоремы 3.2.3 следует следующая теорема.

2.15 Теорема. Пусть  --- наследственная формация. Тогда всякая формация , представимая в виде , содержит любую группу , у которой  и силовские подгруппы из подгрупп  и  -достижимы в .

2.16 Следствие. Пусть . Тогда формация  содержит любую группу , у которой  и силовские подгруппы из подгрупп  и  -достижимы в .

2.17 Следствие. Пусть  --- формация всех -нильпотентных групп. Тогда  содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из подгрупп  и  -достижимы в .

2.18 Следствие. Пусть  --- формация всех -замкнутых групп. Тогда  содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из подгрупп  и  -достижимы в .

2.19 Следствие. Пусть  --- формация всех -разложимых групп. Тогда  содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из подгрупп  и  -достижимы в .

3. Сверхрадикальные формации

В теории формаций конечных групп одной из известных проблем является проблема Шеметкова об описании сверхрадикальных формаций.

В.Н. Семенчуком в работе [28] получено полное решение проблемы Л.А. Шеметкова в классе конечных разрешимых групп. Оказалось, что все такие формации имеют следующее строение: , где  --- некоторые множества простых чисел, а  --- множество всех разрешимых -групп.

В данном разделе приводится описание наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций, критические группы которых разрешимы.

Приведем примеры сверхрадикальных формаций.

3.1 Пример. Формация всех -групп , где  --- некоторое множество простых чисел является сверхрадикальной формацией.

Действительно. Пусть , где  и  --- -группы,  и  --- -субнормальные подгруппы группы . Так как формация  замкнута относительно расширений, то, очевидно, что  --- -группа.

3.2 Пример. Формации ,  --- сверхрадикальные формации.

Действительно, если  --- -субнормальная подгруппа группы , то  --- субнормальная подгруппа из . Очевидно, что любая группа , где  и  --- нильпотентные субнормальные подгруппы из , нильпотентна.

Если  --- разрешимая -субнормальная подгруппа из , то  разрешима. Следовательно,  --- сверхрадикальная формация.

Аналогичным образом доказывается, что любая нормально наследственная, замкнутая относительно расширений, формация является сверхрадикальной.

Следующая лемма устанавливает связь между сверхрадикальными формациями и формациями Фиттинга.

Напомним, что формациями Фиттинга  называются формации, которые замкнуты относительно взятия субнормальных подгрупп и произведения нормальных -подгрупп.

3.3 Лемма. Пусть  --- наследственная сверхрадикальная формация, тогда  --- формация Фиттинга.

Доказательство. Пусть , где  и  --- нормальные -подгруппы группы . Так как

то . Аналогичным образом, . Согласно лемме 3.1.4,  и  --- -субнормальные подгруппы группы . Так как  --- сверхрадикальная формация, то . Итак,  --- формация Фиттинга. Лемма доказана.

3.4 Лемма. Пусть  --- непустая наследственная формация. Если  содержит любую группу , где для любого  из  силовские -подгруппы  и  принадлежат  и -субнормальные подгруппы в , то  --- сверхрадикальная формация.

Доказательство. Пусть  --- непустая наследственная формация, удовлетворяющая условию леммы. Покажем, что  --- сверхрадикальная формация. Пусть , где  и  --- -субнормальные -подгруппы группы . Пусть  --- произвольное простое число из , а  и  --- силовские -подгруппы из  и  соответственно. Так как  и  принадлежат  и  --- наследственная формация, то  и  принадлежат  и,  и  -субнормальны в  и  соответственно. Так как  и  --- -субнормальные подгруппы группы , то согласно лемме 3.1.4,  и  -субнормальны в группе . Согласно условию леммы,  принадлежит . А это значит, что  --- сверхрадикальная формация. Лемма доказана.

3.5 Лемма. Пусть  --- наследственная насыщенная разрешимая формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1)  --- сверхрадикальная формация;

2)  --- содержит любую группу , где  и для любого простого числа  из  силовские -подгруппы  и  -субнормальны в .

Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).

Пусть  --- сверхрадикальная формация и пусть , где  и для любого простого числа  из   и  --- -субнормальные подгруппы группы . Так как  --- насыщенная формация и , то  и  принадлежат . Так как  --- разрешимая формация и  --- -субнормальная подгруппа группы , то отсюда нетрудно показать, что  --- разрешимая группа. А это значит, что  и  разрешимы.

Согласно теореме Ф. Холла [63], , где . Так как  --- сверхрадикальная формация, то  принадлежит . Так как  и  --- -субнормальные подгруппы группы , то согласно теореме 2.2.10,  --- -субнормальная подгруппа группы . Так как  принадлежит  и  --- сверхрадикальная формация, то подгруппа  принадлежит . Продолжая в аналогичном порядке получаем, что  принадлежит . Аналогичным образом можем доказать, что  принадлежит . Так как  --- сверхрадикальная формация, то .

Тот факт, что из 2) следует 1) вытекает из леммы 3.3.4. Лемма доказана.

В следующей теореме получено решение проблемы Шеметкова о классификации сверхрадикальных формаций для наследственных насыщенных формаций, критические группы которых разрешимы.

3.6 Теорема [20-A]. Пусть  --- наследственная насыщенная формация такая, что . Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1)  --- сверхрадикальная формация;

2) , где  --- некоторые множества простых чисел.

Доказательство. Пусть  --- сверхрадикальная формация. Вначале докажем, что любая минимальная не -группа является либо группой простого порядка, либо группой Шмидта.

Пусть  --- произвольная минимальная не -группа. Согласно условию теоремы,  разрешима. Если , то нетрудно заметить, что  --- группа простого порядка , где .

Рассмотрим случай, когда . Согласно теореме 2.2.5, , где  --- единственная минимальная нормальная подгруппа из ,  --- -группа, ,  --- максимальный внутренний локальный экран формации . Очевидно, что .

Покажем, что  является примарной циклической подгруппой. Предположим противное. Поскольку  --- разрешимая группа, то в  существуют максимальные подгруппы  и  такие, что . Так как , то очевидно, что  и  --- -нормальные максимальные -подгруппы группы . Но тогда . Так как  --- сверхрадикальная формация, то . Противоречие. Итак,  имеет единственный класс максимальных сопряженных подгрупп. Следовательно,  --- циклическая -подгруппа. Поскольку  --- насыщенная формация и , имеем .

Покажем, что . Предположим противное. Пусть , где . Пусть  и  --- циклические группы соответственно порядков  и . Обозначим через  регулярное сплетение . Пусть  --- база сплетения, т. е. . Так как некоторая подгруппа группы  изоморфна , то . Очевидно, подгруппы ,  принадлежат формации .

Пусть , где . Обозначим через  базу сплетения . Тогда .

Так как , то , значит, что подгруппы  и  -субнормальны в . Легко видеть, что , .

Так как  --- сверхрадикальная формация, то . Но , и поэтому .

Полученное противоречие показывает, что . Итак,  --- группа Шмидта. Теперь из леммы 3.1.1 следует, что  --- группа Шмидта.

Пусть  --- максимальный внутренний локальный экран формации . Покажем, что формация  имеет полный локальный экран  такой, что , для любого  из . Действительно, пусть  --- такая формация, у которой есть локальный экран . Покажем, что .

С учетом того, что  для любого простого  из , получим .

Покажем обратное включение. Пусть  --- группа наименьшего порядка из . Так как  --- наследственная формация, то формация  также является наследственной, значит, . Так как  --- насыщенная формация, то нетрудно показать, что .

Выше показано, что  --- либо группа простого порядка, либо группа Шмидта. Пусть  --- группа простого порядка и . Нетрудно показать, что . Так как , имеем . Отсюда следует, что . Противоречие.

Пусть теперь  --- группа Шмидта. Поскольку , то из свойств группы Шмидта следует , где  и . Так как , то . Из того, что , следует . Так как  и  --- наследственная формация, то . Теперь из того, что , где  --- единственная минимальная нормальная подгруппа группы  и , следует что . Получили противоречие. Итак, , значит, .

Так как  --- локальный экран формации , имеем

следовательно,  --- формация из 2).

Пусть . Тогда из следствия 3.2.5 следует, что  --- сверхрадикальная формация. Теорема доказана.

Покажем, что в теореме 3.3.6 условие наследственной насыщенной формации  можно отбросить, в случае, когда  --- разрешимая формация.

3.7 Лемма. Пусть  --- разрешимая нормально наследственная формация. Если  и , то .

Доказательство. Пусть  и . Если , то утверждение леммы очевидно. Пусть . Пусть  --- нормальная максимальная подгруппа группы . Если , то .

Пусть . Ясно, что . Так как  и  --- нормально наследственная формация, то . Индукцией по порядку группы  получаем, что . Лемма доказана.

Если  --- произвольный класс групп, то через  обозначим наибольший по включению наследственный подкласс класса . Более точно