Крайові задачі конвективної дифузії розчинених речовин при профільній фільтрації

3.6.     Крайові задачі конвективної дифузії розчинених речовин при профільній фільтрації

Процес масопереносу розчинних у підземних водах речовин описується системою диференціальних рівнянь у частинних похідних іншого порядку зі змінними коефіцієнтами, яка в разі двовимірної плосковертикальної (профільної) фільтрації підземних вод за умови сталості коефіцієнта конвективної дифузії має вигляд

(3.96)

(3.97)

(3.98)

де D - коефіцієнт конвективної дифузії, м³/доб; c,N - концентрації дифундуючої речовини відповідно в рідинній і твердій фазах (кг/м³ ); v_x(x, y, t) , v_y(x, y, t) - координати швидкості фільтрації v, м/доб;  - пористість або активна пористість ґрунту, у якому здійснюється рух вод і конвективна дифузія розчиненої речовини; t - час, доба; -стала масообміну (швидкості сорбції); - коефіцієнт розподілу речовини між; рідинною і твердою фазами в умовах рівноваги між; рідинною і твердою фазами за законом лінійної ізотреми Генрі, який виражається рівністю c_p = N , c_p - рівновагова концентрація розчину, яка за величиною дорівнює кількості речовини, що поглинається твердою фазою; - потенціал швидкості фільтрації; - коефіцієнт фільтрації. м/доба; - напір, м; p- тиск, Н/м²=кг/м·c² ;  - щільність, кг/м³ ;  -прискорення сили тяжіння, м/c² .

Будемо розглядати конвективну дифузію тих розчинних речовин, які нейтральні до порід, що наявні в ґрунті, тобто сорбцією та іншими видами поглинання речовин, що забруднюють підземні води, будемо нехтувати й розглядати систему рівнянь фільтрації та конвективної дифузії (гідравлічної дисперсії):

(3.99)

(3. 100)

рис. 3.3.

Будемо вважати, що розв'язки фільтраційних завдань для кожної конкретної схеми (мал. 3.3 -3.5) відомі, а також; відомі для цих схем відповідні області комплексного потенціалу (3.6), . Знайдемо розв'язки різних крайових задач для рівняння (3.100).

3.6.1.  Крайові й початкові умови для шуканої функції с(х, у, t) :

При конвективній дифузії речовин, що забруднюють підземні води, на вході АВ фільтраційного потоку (3.3,3.4) можна прийняти одну із наступних крайових умов:

а)задана концентрація розчиненої у водоймі (річці) речовини

(3. 101)

б)задана умова Данкверста, яка враховує як конвективний, так й дифузійний механізми відведення речовини на водопроникненій ділянці межі області фільтрації:

(3. 102)

рис. 3.4.

рис. 3.5.

де n - нормаль до межі; v_n - нормальна складова швидкості фільтрації.

На водонепроникних ділянках межі області фільтрації z та на кривих депресії виконується умова (наприклад, ділянка BC на мал. 3.3,а-г)

(3. 103)

На ділянці виходу фільтраційного потоку (на мал. (3.4) (11.18) - водопроникнені ділянки CD) можна прийняти одну із наступних крайових умов:

а) задана концентрація дифундуючої речовини або задана умова Данкверста(такі умови приймаються, коли не спостерігається інтенсивний відвід вод на виході фільтраційного потоку)

 (3. 104)

б) задана умова, яка враховує тільки конвективне перенесення через межу (приймається в разі інтенсивного відведення вод на виході фільтраційного потоку; наприклад,

рис. 3.6.

вихід у дренаж CD на мал. 3.3б-г):

(3. 105)

Умови (3.103) і (3.105) начебто рівнозначні. Алі це не так, бо ці умови треба враховувати разом із межовими умовами для рівнянь фільтрації підземних вод, які різні для водопроникнених і водонепроникних ділянок межі області фільтрації (у першому випадку v_n = 0, в іншому v_n0).

При конвективній дифузії солей і гіпсів, що залягають на визначеній глибині T фільтраційного потоку, на межі із сіллю або гіпсом зазвичай приймається умова

(3. 106)

де c - концентрація повної насиченості солі або гіпсу.

Початкові умови, що приймаються при розв'язанні задач про забруднення та засолювання підземних вод, мають вигляд

 (3. 107)

або

(3. 108)

де c₀ - задана концентрація дифундуючої речовини в області фільтрації в момент години до настання процесу. Складність, що виникає при розв'язанні стаціонарних і нестаціонарних крайових завдань, які описують двовимірні процеси, пов'язана не тільки з виглядом рівнянь у частинних похідних й виглядом крайових умов, але головним чином, із виглядом (геометрією) області, у якій відшукується розв'язок.

Тож, у рівняннях конвективної дифузії та наведених вище крайових умовах перейдемо до нових незалежних змінних - координат області комплексного потенціалу , які, як відомо, мають вигляд многокутника зі сторонами, паралельними прямокутній системі координат.

Нехай відома характеристична функція течії

, (3.109)

яку можна знайти, наприклад, методом конформних відображень. Тоді, виконуючи в рівнянні конвективної дифузії (3.100) заміну змінних  і отримаємо рівняння:

(3. 110)

де

(3. 111)

Після заміни змінних у крайових умовах через підстановку (3.109) отримуємо таке: межові умови (3.101), (3.102) набудуть вигляду відповідно

 (3. 112)

 (3. 113)

межову умову (3.103) перепишемо у вигляді

(3. 114)

межові умови (3.104), (3.105) набудуть вигляду відповідно

  (3. 115)

(3. 116)

(3. 117)

(3. 118)

Межові умови (3.101)-(3.106) і відповідні до них умови (3.112)-(3.118) справджуються як для нестаціонарних, так і для стаціонарних крайових задач. Початкові умови (3.107), (3.108) перетворюються на умови

 (3. 119)

 (3. 120)

Перейдемо до розгляду завдань конвективної дифузії, розв'язання яких для різних схем фільтрації (мал. 3.5в) будемо шукати в областях комплексного потенціалу, які зображуються у вигляді прямокутників (мал. 3.5г-є).

При заданій концентрації розчинної речовини на межі з водоймами виникає така крайова задача: у прямокутнику ABCD знайти розв'язок  рівняння (3.110). що задовольняє межові умови

 (3. 121)

 (3. 122)

 (3. 123)

У разі усталеної конвективної дифузії отримуємо таку крайову задачу:

(3. 124)

 (3. 125)

розв'язок якої, вочевидь, не залежить від змінної  і має вигляд:

 (3. 126)

Якщо враховувати механізм дифузійного відводу речовини на вході фільтраційного потоку, то отримаємо крайову задачу

(3. 127)

(3. 128)

розв'язок якої можна записати у вигляді

(3. 129)

Осереднюючи величину , що є в правій частині рівняння (3.110), по області приведеного комплексного потенціала  і замінюючи її деякою середньою величиною , розглянемо типи двох нестаціонарних крайових завдань.

Похожие работы

Моделювання забруднення ґрунтів

Скачать

35924

3

4

... що концентрація речовини, яка поглинається снігом, пропорційна наземній концентрації. Застосовуючи тепер метод прямих до рівняння (6) для розрахунку забруднення по однорідному профілю, отримаємо рівняння:  (8) 5. Моделювання забруднення ґрунту пестицидами Одним із найбільш важливих інтегральних показників, які відбивають кінцевий результат взаємодії пестицидів, середовища і зовнішніх ...

Вплив на атмосферу підприємств харчової промисловості та шляхи його зниження (на прикладі ВАТ "Жашківський маслозавод")

Скачать

73446

5

6

... параметрів очисного пристрою; проектування та вибір очисного пристрою або фільтра 3.2 Заходи по охороні атмосферного повітря на ВАТ "Жашківський маслозавод" Основними й найбільш дійовими методами боротьби з забрудненням атмосфери на підприємстві є екологічні, діє продумана система заохочувальних і заборонних заходів, які допомагають запобігти забрудненню. Впровадження підприємством певних ...