Спосіб Павловського

3.4.1.  Спосіб Павловського

Спосіб конформного відображення Павловського застосовується у випадку, коли відома границя вихідної області фільтрації G, що будемо позначати також буквою z (тому що область фільтрації розглядається в комплексній площині z=x+ iy). і відома область комплексного потенціалу (ОКП) ω (яка будується в комплексній площині ω= +iψ). Тоді характеристична функція потоку z = F(ω) або зворотна їй функція - комплексні потенціали швидкості фільтрації ω = f(z) - визначається в результаті конформного відображення області ω на область z . Область комплексного потенціалу ω, як правило, можна побудувати тільки в тому випадку, коли границя області фільтрації z складається з водонепроникних і водопроникних ділянок, тобто границя області фільтрації складається з еквіпотенциальних ліній і ліній струму. У цьому випадку проміжки височування й кривих депресій відсутні (напірна фільтрація). Тому що на еквіпотенциальних лініях  = const, а на лініях струму ψ = const, то область комплексного потенціалу ω у розглянутому випадку завжди буде мати вигляд прямокутника або прямолінійного багатокутника, сторони якого паралельні осям координат.

Звичайно будують дві функції, що відображають: конформно, що відображає на область фільтрації z нижню (або верхню) так називану допоміжну напівплощину ζ = ξ + iη і конформно відображає на ОКП ω цю же допоміжну напівплощину ζ. У цьому випадку рішення завдання фільтрації, тобто комплексний потенціал швидкості фільтрації (або характеристичну функцію потоку), можна записати в параметричному виді

z = f₁(ζ), ω = f₂(ζ). (3.51)

Тому що ОКП - прямолінійний прямокутник, то функція ω = f(ζ) знаходиться за допомогою інтеграла Крістофеля-Шварца.

3.4.2. Спосіб Ведерникова-Павловского

У випадку, коли границя області фільтрації z містить криві депресії (так названа безнапірна або вільна фільтрація), положення яких заздалегідь невідомо, конформне відображення області фільтрації z на область ω або напівплощину ζ неможливо, хоча й у цьому випадку, як й у попередньому, область ω цілком визначена й має вигляд прямокутника або прямолінійного багатокутника. У зв'язку з результатами В. В. Ведерникова й Н. Н. Павловського, отриманими незалежно друг від друга, був запропонований спосіб, що усуває труднощі, пов'язані з невизначеністю положення кривої депресії. Скориставшись відомими для функцій (x, y) і ψ(x,y) граничними умовами на кривої депресії B_jC_j

 (3.52)

вони замість області змінно z (область фільтрації) запропонували розглядати область так називаної функції Жуковського G, що визначається рівністю

(3.53)

або

(3.54)

Тепер можна записати граничні умови для функції Жуковського, вірніше, для її уявної частини:

уздовж границі АВ з верхньою водоймою (б'єфом)

(3.55)

χ AB на кривої депресії ВР, розташованої між k-м й (k+1)-м водоймами,

(3.56)

на границі з (k + 1) -м водоймою

(3.57)

де  - наведена фільтраційна витрата в (k+1)-й водоймі; Q - повна фільтраційна витрата.

На водонепроникній ділянці A₁E₁, називаній водоупором, значення функцій u й v невідомі, однак можна вказати межі їхньої зміни:

 (3.58)

(3.59)

З нерівності (3.59) бачимо, що лінія A₁E₁, що є образом водоупора в площині функції Жуковського G, укладена в горизонтальній смузі товщини H.

Таким чином, в області функції Жуковського G криві депресії перетворяться в горизонтальні прямі, інші ділянки - у невідомі лінії, причому водоупор перетвориться в деяку криву лінію, укладену в смузі товщиною H, де H дорівнює різниці оцінок води у верхній і нижній водоймах. При дуже великій глибині залягання водоупора, коли можна покласти , всі ділянки границі області функції Жуковського G будуть відомі, якщо водопроникні ділянки - вертикальні (x = x_k = const). Тоді, відображаючи конформно на область функції Жуковського G, що має вид прямолінійного багатокутника, ОКП ω за допомогою функції G=F(ω) і з огляду на співвідношення (3.53), шукану характеристичну функцію плину знаходимо у вигляді

. (3.60)

Якщо ж зазначене відображення здійснюється через допоміжну напівплощину, то шукане рішення можна записати в параметричній формі

(3.61)

Викладений спосіб можна застосовувати й у тому випадку, коли водопроникні й водонепроникні ділянки не є відповідно горизонтальними й вертикальними. При цьому як вихідну область досить вибрати область функції Жуковського G, а після ОКП ω на область G за допомогою співвідношення (3.53) знайти границі області фільтрації z (напівзворотний спосіб Ведерникова-Павловського). Область G у цьому випадку вибирають так, щоб, з одного боку, її можна було порівняно легко конформно відобразити на область ω або ζ, з іншого боку - побудована для неї область фільтрації z повинна відповідати реальним умовам фільтраційного завдання.

Похожие работы

Моделювання забруднення ґрунтів

Скачать

35924

3

4

... що концентрація речовини, яка поглинається снігом, пропорційна наземній концентрації. Застосовуючи тепер метод прямих до рівняння (6) для розрахунку забруднення по однорідному профілю, отримаємо рівняння:  (8) 5. Моделювання забруднення ґрунту пестицидами Одним із найбільш важливих інтегральних показників, які відбивають кінцевий результат взаємодії пестицидів, середовища і зовнішніх ...

Вплив на атмосферу підприємств харчової промисловості та шляхи його зниження (на прикладі ВАТ "Жашківський маслозавод")

Скачать

73446

5

6

... параметрів очисного пристрою; проектування та вибір очисного пристрою або фільтра 3.2 Заходи по охороні атмосферного повітря на ВАТ "Жашківський маслозавод" Основними й найбільш дійовими методами боротьби з забрудненням атмосфери на підприємстві є екологічні, діє продумана система заохочувальних і заборонних заходів, які допомагають запобігти забрудненню. Впровадження підприємством певних ...