Кратные интегралы

Министерство образования и науки Российской Федерации

Курсовая работа

По дисциплине: Высшая математика

(Основы линейного программирования)

На тему: КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Выполнил: ______________

Преподаватель:___________

Дата ___________________

Оценка _________________

Подпись ________________

ВОРОНЕЖ 2008

Содержание

1 Кратные интегралы

1.1 Двойной интеграл

1.2 Тройной интеграл

1.3 Кратные интегралы в криволинейных координатах

1.4 Геометрические и физические приложения кратных интегралов

2 Криволинейные и поверхностные интегралы

2.1 Криволинейные интегралы

2.2 Поверхностные интегралы

2.3 Геометрические и физические приложения

Список используемой литературы

1 Кратные интегралы

 

1.1  Двойной интеграл

Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область D, ограниченную линией L. Разобьем эту область какими-нибудь линиями на п частей , а соответствующие наибольшие расстояния между точками в каждой из этих частей обозначим d₁, d₂, ..., d_n. Выберем в каждой части  точку Р_i.

Пусть в области D задана функция z = f(x, y). Обозначим через f(P₁), f(P₂),…, f(P_n) значения этой функции в выбранных точках и составим сумму произведений вида f(P_i)ΔS_i:

, (1)

называемую интегральной суммой для функции f(x, y) в области D.

Если существует один и тот же предел интегральных сумм (1) при  и , не зависящий ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек P_i в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D и обозначается

. (2)

Вычисление двойного интеграла по области D, ограниченной линиями  x = a, x = b ( a < b ), где φ₁(х) и φ₂(х) непрерывны на [a, b] (рис. 1) сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов, или так называемого двукратного интеграла:

Рис. 1

 =  (3)

1.2  Тройной интеграл

Понятие тройного интеграла вводится по аналогии с двойным интегралом.

Пусть в пространстве задана некоторая область V, ограниченная замкнутой поверхностью S. Зададим в этой замкнутой области непрерывную функцию f(x, y, z). Затем разобьем область V на произвольные части Δv_i , считая объем каждой части равным Δv_i , и составим интегральную сумму вида

, (4)

Предел при  интегральных сумм (11), не зависящий от способа разбиения области V и выбора точек P_i в каждой подобласти этой области, называется тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области V:

 . (5)

Тройной интеграл от функции f(x,y,z) по области V равен трехкратному интегралу по той же области:

. (6)

1.3 Кратные интегралы в криволинейных координатах

Введем на плоскости криволинейные координаты, называемые полярными. Выберем точку О (полюс) и выходящий из нее луч (полярную ось).

   

Рис. 2 Рис. 3

Координатами точки М (рис. 2) будут длина отрезка МО – полярный радиус ρ и угол φ между МО и полярной осью: М(ρ,φ). Отметим, что для всех точек плоскости, кроме полюса, ρ > 0, а полярный угол φ будем считать положительным при измерении его в направлении против часовой стрелки и отрицательным – при измерении в противоположном направлении.

Связь между полярными и декартовыми координатами точки М можно задать, если совместить начало декартовой системы координат с полюсом, а положительную полуось Ох – с полярной осью (рис. 3). Тогда x=ρcosφ, у=ρsinφ . Отсюда , tg.

Зададим в области D, ограниченной кривыми ρ=Φ₁ (φ) и ρ=Φ₂ (φ), где φ